第12讲　第1课时　对数的运算高考数学一轮复习讲义练习

这是一份第12讲　第1课时　对数的运算高考数学一轮复习讲义练习，共11页。试卷主要包含了 化简4lg16x2的结果为， 计算， 下列各式正确的是， 改)计算，301，lg 3≈0等内容，欢迎下载使用。
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1. 化简4lg16x2的结果为( A )
A. |x|B. eq \f(1,|x|)
C. xD. eq \f(1,x)
2. 计算：2lg525＋3lg264－8lg71＝( C )
A. 14 B. 8
C. 22 D. 27
3. (人A必一P126练习T1改)下列各式正确的是( B )
A. lg3(27×92)＝5B. lg 5＋lg 2＝1
C. ln 3＋ln eq \f(1,3)＝1D. lg35－lg315＝ eq \f(1,3)
【解析】 对于A，lg3(27×92)＝lg3(33×34)＝7，故A错误；对于B，lg 5＋lg 2＝lg 10＝1，故B正确；对于C，ln 3＋ln eq \f(1,3)＝ln 1＝0，故C错误；对于D，lg35－lg315＝lg3 eq \f(1,3)＝－1，故D错误．
4. (人A必一P126练习T3(2)改)计算：2(lg43＋lg83)(lg32＋lg92)＝( D )
A. 1B. eq \f(3,2)
C. 2D. eq \f(5,2)
【解析】 2(lg43＋lg83)(lg32＋lg92)＝2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(lg23,lg24)＋\f(lg23,lg28))) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(lg22,lg23)＋\f(lg22,lg29)))＝ eq \f(5,3)lg23× eq \f(3,2lg23)＝ eq \f(5,2).
5. (人A必一P127习题T5改)(多选)已知lg 2＝a，lg 3＝b，则下列各式正确的是( AD )
A. lg 6＝a＋bB. lg34＝ eq \f(2b,a)
C. lg212＝a＋2bD. lg eq \f(3,2)＝b－a
【解析】 对于A，lg 6＝lg (2×3)＝lg 2＋lg 3＝a＋b，故A正确；对于B，lg34＝ eq \f(lg 4,lg 3)＝ eq \f(2a,b)，故B错误；对于C，lg212＝ eq \f(lg 12,lg 2)＝ eq \f(lg (4×3),lg 2)＝ eq \f(2a＋b,a)，故C错误；对于D，lg eq \f(3,2)＝lg 3－lg 2＝b－a，故D正确．
聚焦知识
1. 对数的概念及运算性质
2. 常用结论：
(1) lgab＝ eq \f(1,lgba)；
(2) lgab·lgbc·lgcd＝lgad.
研题型 素养养成
举题说法
对数式的化简与求值
例1 (1) 计算：31＋lg35－24＋lg23＋103lg 3＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))lg25＝_－ eq \f(29,5)_．
【解析】 31＋lg35－24＋lg23＋103lg 3＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))lg25＝3×3lg35－24×2lg23＋(10lg 3)3＋(2lg25)-1＝3×5－16×3＋33＋5-1＝－ eq \f(29,5).
(2) 计算：(lg 2)2＋lg 2·lg 50＋lg 25＋(lg32＋lg92)·(lg43＋lg83)＋27ln 8－8ln 7＝_ eq \f(17,4)_.
【解析】 设m＝ln 8，则em＝8，所以7ln 8－8ln 7＝7m－(em)ln 7＝7m－(eln 7)m＝7m－7m＝0，所以(lg 2)2＋lg 2·lg 50＋lg 25＋(lg32＋lg92)·(lg43＋lg83)＋27ln 8－8ln 7＝(lg 2)2＋lg 2(lg 5＋1)＋2lg 5＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lg32＋\f(1,2)lg32)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)lg23＋\f(1,3)lg23))＋20＝(lg 2)2＋lg 2lg 5＋lg 2＋2lg 5＋ eq \f(3,2)lg32× eq \f(5,6)lg23＋1＝lg 2(lg 2＋lg 5)＋lg 2＋2lg 5＋ eq \f(5,4)＋1＝ eq \f(13,4)＋1＝ eq \f(17,4).
(1) 将同底对数的和、差、倍合并；
(2) 对数运算中的常用结论：lga1＝0，lgaa＝1，algaN＝N.
变式1 (1) 计算：4lg43＋lg2 eq \r(6)－lg169＝_ eq \f(7,2)_．
【解析】 原式＝3＋lg46－lg43＝3＋lg42＝3＋ eq \f(1,2)＝ eq \f(7,2).
(2) 若正实数a，b满足(lg a)2＋(lg b)2＝lg 50，lg a·lg b＝lg eq \r(2)，则(ab)lg (ab)＝_100_．
【解析】 由lg a·lg b＝lg eq \r(2)，得2lg a·lg b＝lg 2①，又(lg a)2＋(lg b)2＝lg 50②，所以①＋②得(lg a)2＋2lg a·lg b＋(lg b)2＝lg 2＋lg 50＝2，即(lg a＋lg b)2＝2.对于(ab)lg (ab)取常用对数可得lg (ab)lg (ab)＝lg (ab)·lg (ab)＝(lg a＋lg b)2＝2，故(ab)lg (ab)＝100.
换底公式的应用
例2 (1) (2024·德州模拟)已知2a＝7b＝k，若 eq \f(2,a)＋ eq \f(1,b)＝1，则k的值为( A )
A. 28B. eq \f(1,14)
C. 14D. eq \f(1,7)
【解析】 因为2a＝7b＝k，所以a＝lg2k，b＝lg7k，所以 eq \f(1,a)＝lgk2， eq \f(1,b)＝lgk7，所以 eq \f(2,a)＋ eq \f(1,b)＝2lgk2＋lgk7＝lgk28＝1，所以k＝28.
(2) 已知lg23＝m，lg37＝n，则lg4256＝( C )
A. eq \f(mn＋3,mn＋1)B. eq \f(m＋n＋3,2m＋n＋1)
C. eq \f(mn＋3,mn＋m＋1)D. eq \f(mn＋3,mn－m＋1)
【解析】 由换底公式得lg27＝lg23·lg37＝mn，则lg72＝ eq \f(1,mn)，所以lg4256＝lg42(7×8)＝lg427＋lg428，其中lg427＝ eq \f(1,lg742)＝ eq \f(1,1＋lg76)＝ eq \f(1,1＋lg72＋lg73)＝ eq \f(1,1＋\f(1,mn)＋\f(1,n))＝ eq \f(mn,mn＋m＋1)，lg428＝3lg422＝ eq \f(3,lg242)＝ eq \f(3,lg26＋lg27)＝ eq \f(3,1＋m＋mn)，故lg4256＝ eq \f(mn,mn＋m＋1)＋ eq \f(3,1＋m＋mn)＝ eq \f(mn＋3,mn＋m＋1).
1. (2024·天津模拟)设4m＝36，3n＝6，则 eq \f(1,m)＋ eq \f(1,n)＝_1_．
【解析】 由4m＝36，得2m＝6，则m＝lg26.由3n＝6，得n＝lg36，所以 eq \f(1,m)＋ eq \f(1,n)＝ eq \f(1,lg26)＋ eq \f(1,lg36)＝lg62＋lg63＝lg66＝1.
2. (2024·宁夏期末)设a＞1，若 eq \f(1,lg9a)－ eq \f(3,lga27)＝1，则a＝_3_．
【解析】 由 eq \f(1,lg9a)－ eq \f(3,lga27)＝ eq \f(2,lg3a)－3lg27a＝ eq \f(2,lg3a)－lg3a＝1，整理得(lg3a)2＋lg3a－2＝0，解得lg3a＝－2或lg3a＝1，即a＝ eq \f(1,9)(舍去)或a＝3.
3. 已知lg 2＝a，lg 3＝b，则lg615＝_ eq \f(1－a＋b,a＋b)_(结果用a，b表示)．
【解析】 lg615＝ eq \f(lg 15,lg 6)＝ eq \f(lg 5＋lg 3,lg 2＋lg 3)＝ eq \f(lg 10－lg 2＋b,a＋b)＝ eq \f(1－a＋b,a＋b).
对数的实际应用
例3 (2025·福州一检)大气压强p(单位：kPa)与海拔h(单位：m)之间的关系可以由p＝p0e－kh近似描述，其中p0为标准大气压强，k为常数．已知海拔为5 000 m，8 000 m的两地的大气压强分别为54 kPa，36 kPa.若测得某地的大气压强为80 kPa，则该地的海拔约为(参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)( C )
A. 295 mB. 995 m
C. 2 085 mD. 3 025 m
【解析】 由题知54＝p0e-5 000k①，36＝p0e-8 000k②，①÷②得e3 000k＝ eq \f(3,2)，所以3 000k＝ln eq \f(3,2)③.当p＝80 kPa时，由80＝p0e－kh④，②÷④得ekh-8 000k＝ eq \f(9,20)，所以k(h－8 000)＝ln eq \f(9,20)⑤，由⑤÷③，得 eq \f(h－8 000,3 000)＝ eq \f(ln \f(9,20),ln \f(3,2))＝ eq \f(lg \f(9,20),lg \f(3,2))＝ eq \f(2lg 3－1－lg 2,lg 3－lg 2)≈－ eq \f(0.347,0.176)，解得h≈2 085 m．
变式3 (1) (2024·北京卷)生物丰富度指数d＝ eq \f(S－1,ln N)是河流水质的一个评价指标，其中S，N分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数．生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数S没有变化，生物个体总数由N1变为N2，生物丰富度指数由2.1提高到3.15，则( D )
A. 3N2＝2N1B. 2N2＝3N1
C. N eq \\al(2,2)＝N eq \\al(3,1)D. N eq \\al(3,2)＝N eq \\al(2,1)
【解析】 由题意得 eq \f(S－1,ln N1)＝2.1， eq \f(S－1,ln N2)＝3.15，则2.1ln N1＝3.15ln N2，即2ln N1＝3ln N2，所以N eq \\al(3,2)＝N eq \\al(2,1).
(2) (2025·聊城期中)我国火力发电厂大气污染物排放标准规定：排放废气中二氧化硫最高允许浓度为20mg/m3.已知我国某火力发电厂排放废气中二氧化硫的初始浓度为100mg/m3，现通过某种工艺对排放废气进行过滤处理，处理后废气中剩余二氧化硫的浓度y(单位：mg/m3)与处理时间t(单位：min)满足关系式：y＝N0 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,10))) eq \s\up12(t)，那么从现在起至少经过_16_min才能达到排放标准．(参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1，结果取整数)
【解析】 由题意得100 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,10))) eq \s\up12(t)≤20，即 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,10))) eq \s\up12(t)≤ eq \f(1,5)⇒t lg eq \f(9,10)≤lg eq \f(1,5)⇒t(2lg 3－1)≤－lg 5，故t≥ eq \f(lg 5,1－2lg 3)＝ eq \f(1－lg 2,1－2lg 3)≈ eq \f(1－0.301 0,1－2×0.477 1)≈15.26，所以从现在起至少经过 16min 才能达到排放标准．
随堂内化
1. (多选)下列结论正确的有( AC )
A. lg45·lg58＝ eq \f(1,lg89·lg94)
B. lg62－lg82＝lg84－lg64
C. (lg 2)2＋lg 2·lg 5＋lg 50＝2
D. 若3a＝10，lg925＝b，则lg25＝ eq \f(a,a－b)
【解析】 对于A，lg45·lg58＝ eq \f(lg 5,lg 4)· eq \f(lg 8,lg 5)＝ eq \f(lg 5,2lg 2)· eq \f(3lg 2,lg 5)＝ eq \f(3,2)， eq \f(1,lg89·lg94)＝ eq \f(1,\f(lg 9,lg 8)·\f(lg 4,lg 9))＝ eq \f(1,\f(lg 9,3lg 2)·\f(2lg 2,lg 9))＝ eq \f(1,\f(2,3))＝ eq \f(3,2)，所以lg45·lg58＝ eq \f(1,lg89·lg94)，故A正确；对于B，lg62－lg82＝ eq \f(lg22,lg26)－ eq \f(lg22,lg28)＝ eq \f(1,lg26)－ eq \f(1,3)，lg84－lg64＝ eq \f(lg24,lg28)－ eq \f(lg24,lg26)＝ eq \f(2,3)－ eq \f(2,lg26)，所以lg62－lg82≠lg84－lg64，故B错误；对于C，(lg 2)2＋lg 2·lg 5＋lg 50＝lg 2·(lg 2＋lg 5)＋lg 50＝lg 2·lg (2×5)＋lg 50＝lg 2＋lg 50＝lg (2×50)＝lg 100＝2，故C正确；对于D，因为3a＝10，lg925＝b，所以a＝lg310，b＝lg925＝lg3252＝lg35，所以lg25＝ eq \f(lg35,lg32)＝ eq \f(lg35,lg3\f(10,5))＝ eq \f(lg35,lg310－lg35)＝ eq \f(b,a－b)，故D错误．
2. (2024·武汉2月调研)已知ab≠1，lgam＝2，lgbm＝3，则lgabm＝( D )
A. eq \f(1,6)B. eq \f(1,5)
C. eq \f(5,6)D. eq \f(6,5)
【解析】 由换底公式得lgma＝ eq \f(1,lgam)＝ eq \f(1,2)，lgmb＝ eq \f(1,lgbm)＝ eq \f(1,3)，所以lgabm＝ eq \f(1,lgm(ab))＝ eq \f(1,lgma＋lgmb)＝ eq \f(6,5).
3. (2021·全国甲卷)青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L＝5＋lg V．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为( eq \r(10,10)≈1.259)( C )
A. 1.5B. 1.2
C. 0.8D. 0.6
【解析】 由L＝5＋lg V，当L＝4.9时，lg V＝－0.1，则V＝10-0.1＝10－ eq \s\up6(\f(1,10))＝ eq \f(1,\r(10,10))≈ eq \f(1,1.259)≈0.8.
4. (2024·全国甲卷理)已知a＞1且 eq \f(1,lg8a)－ eq \f(1,lga4)＝－ eq \f(5,2)，则a＝_64_．
【解析】 由题知 eq \f(1,lg8a)－ eq \f(1,lga4)＝ eq \f(3,lg2a)－ eq \f(1,2)lg2a＝－ eq \f(5,2)，整理得(lg2a)2－5lg2a－6＝0⇒lg2a＝－1或lg2a＝6.又a＞1，所以lg2a＝6，故a＝26＝64.
5. (2024·天津二模)若a＞b＞1，且4lgab＋3lgba＝8，则a＋ eq \f(4,b2－1)的最小值为_5_．
【解析】 因为4lgab＋3lgba＝8，所以4lgab＋ eq \f(3,lgab)＝8，解得lgab＝ eq \f(3,2)或 eq \f(1,2).因为a＞b＞1，所以lgab＜1，则lgab＝ eq \f(1,2)，即a eq \s\up6(\f(1,2))＝b.因为a＞1，所以a－1＞0，a＋ eq \f(4,b2－1)＝a＋ eq \f(4,a－1)＝a－1＋ eq \f(4,a－1)＋1≥2 eq \r(4)＋1＝5，当且仅当a－1＝ eq \f(4,a－1)，即a＝3时等号成立．
配套精练
A组 夯基精练
一、 单项选择题
1. (2022·浙江卷)已知2a＝5，lg83＝b，则4a-3b＝( C )
A. 25 B. 5
C. eq \f(25,9) D. eq \f(5,3)
【解析】 因为2a＝5，所以a＝lg25，又b＝lg83＝ eq \f(1,3)lg23，所以a－3b＝lg2 eq \f(5,3)，4a-3b＝22lg2 eq \f(5,3)＝ eq \f(25,9).
2. 已知a＝lg35，b＝lg23，则lg 3＝( A )
A. eq \f(b,ab＋1) B. eq \f(a,ab＋1)
C. eq \f(1,a)＋ eq \f(1,b) D. eq \f(ab,a＋b)
【解析】 由b＝lg23，得 eq \f(1,b)＝lg32，则lg 3＝ eq \f(1,lg310)＝ eq \f(1,lg35＋lg32)＝ eq \f(1,a＋\f(1,b))＝ eq \f(b,ab＋1).
3. (2024·广东大湾区二模)已知正实数m，n满足 eq \f(1,2)ln m＝ln (m－2n)－ eq \f(1,2)ln n，则 eq \f(n,m)＝( B )
A. 1 B. eq \f(1,4)
C. 4 D. 1或 eq \f(1,4)
【解析】 由 eq \f(1,2)ln m＝ln (m－2n)－ eq \f(1,2)ln n，得ln eq \r(mn)＝ln (m－2n)，所以 eq \r(mn)＝m－2n＞0，整理得2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(\f(n,m))))2＋ eq \r(\f(n,m))－1＝0，解得 eq \r(\f(n,m))＝ eq \f(1,2)，即 eq \f(n,m)＝ eq \f(1,4)，经检验符合题意，所以 eq \f(n,m)＝ eq \f(1,4).
4. (2024·苏州三模)酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：100 mL血液中酒精含量达到20～79 mg的驾驶员即为酒后驾车，80 mg及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了三两白酒后，其血液中的酒精含量上升到了1.5 mg/mL.如果在停止喝酒以后，他血液中的酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶？( C )
(参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477，lg 7≈0.845)
A. 8 B. 7
C. 6 D. 5
【解析】 设至少经过n个小时才能驾驶，则由题意得1.5(1－30%)n≤0.2，则0.7n≤ eq \f(2,15)，所以n≥ eq \f(lg \f(2,15),lg 0.7)＝ eq \f(2lg 2－lg 3－1,lg 7－1)≈ eq \f(0.602－0.477－1,0.845－1)≈5.6，所以他至少经过6个小时才能驾驶．
5. 我们已经知道1 ml物质的原子个数为6.02×1023，你知道整个宇宙可观测原子个数是多少吗？据估计，整个宇宙可观测原子个数大约为2290.下列各数中与2290最接近的是(参考数据：lg 2≈0.301)( C )
A. 1085 B. 1086
C. 1087 D. 1088
【解析】 因为lg 2290＝290lg 2≈290×0.301＝87.29，所以2290≈1087.29，与2290最接近的是1087.
二、 多项选择题
6. (2023·新高考I卷)噪声污染问题越来越受到重视，用声压级来度量声音的强弱，定义声压级Lp＝20×lg eq \f(p,p0)，其中常数p0(p0＞0)是听觉下限阈值，p是实际声压．下表为不同声源的声压级：
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则( ACD )
A. p1≥p2 B. p2＞10p3
C. p3＝100p0 D. p1≤100p2
【解析】 对于A，Lp1－Lp2＝20×lg eq \f(p1,p0)－20×lg eq \f(p2,p0)＝20× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lg \f(p1,p0)－lg \f(p2,p0)))＝20×lg eq \f(p1,p2)≥0，所以p1≥p2，故A正确；对于B，Lp2－Lp3＝20×lg eq \f(p2,p3)≤20，所以lg eq \f(p2,p3)≤1，所以 eq \f(p2,p3)≤10，故B错误；对于C，Lp3＝20×lg eq \f(p3,p0)＝40，所以lg eq \f(p3,p0)＝2，所以 eq \f(p3,p0)＝100，故C正确；对于D，Lp1－Lp2＝20×lg eq \f(p1,p2)≤90－50＝40，所以lg eq \f(p1,p2)≤2，所以 eq \f(p1,p2)≤100，故D正确．
7. 若2a+1＝3，2b＝ eq \f(8,3)，则下列结论正确的有( BC )
A. b－a＞1 B. eq \f(1,a)＋ eq \f(1,b)＞2
C. ab＞ eq \f(3,4) D. b2＜2a
【解析】 由题意得a＝lg23－1，b＝lg2 eq \f(8,3)＝3－lg23，则b－a－1＝3－lg29，而lg29＞3，所以b－a－1＜0，即b－a＜1，故A错误；因为a＞0，b＞0，a＋b＝2，a≠b，所以 eq \f(1,a)＋ eq \f(1,b)＝ eq \f(1,2)(a＋b) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋\f(1,b)))＝ eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2＋\f(b,a)＋\f(a,b)))＞ eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2＋2\r(\f(b,a)×\f(a,b))))＝2，故B正确；ab＝(lg23－1)(3－lg23)＝－(lg23)2＋4lg23－3＝－(lg23－2)2＋1，又2＞lg23＞lg2(2 eq \r(2))＝ eq \f(3,2)，所以ab＞－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)－2)) eq \s\up12(2)＋1＝ eq \f(3,4)，故C正确；b2－2a＝(3－lg23)2－2(lg23－1)＝(lg23)2－8lg23＋11＝(lg23－4)2－5，又3lg23＝lg227＜lg232＝5，即lg23＜ eq \f(5,3)，lg23－4＜ eq \f(5,3)－4＝－ eq \f(7,3)，所以b2－2a＝(lg23－4)2－5＞ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7,3))) eq \s\up12(2)－5＝ eq \f(4,9)＞0，所以b2＞2a，故D错误．
三、 填空题
8. (2024·开封三模)已知alg94＝1，则2－a＝_ eq \f(1,3)_．
【解析】 由alg94＝1可得4a＝9，即(2a)2＝9，2a＝3，故2－a＝ eq \f(1,3).
9. (2024·重庆三模)已知b＞a＞0，lg4a＋lg2b＝1，且|lg a|＝|lg b|，则a＋b＝_ eq \f(17,4)_．
【解析】 因为b＞a＞0，lg4a＋lg2b＝lg4a＋lg4b2＝lg4(ab2)＝1，所以ab2＝4.因为|lg a|＝|lg b|，所以－lg a＝lg b，所以lg a＋lg b＝0，即ab＝1，所以b＝4，a＝ eq \f(1,4)，则a＋b＝ eq \f(17,4).
10. 已知x，y，z为正数，若3x＝4y＝6z，则 eq \f(y,z)－ eq \f(y,x)＝_ eq \f(1,2)_.
【解析】 由题意，令3x＝4y＝6z＝a，则a＞0，所以x＝lg3a，y＝lg4a，z＝lg6a，所以 eq \f(y,z)－ eq \f(y,x)＝ eq \f(lg4a,lg6a)－ eq \f(lg4a,lg3a)＝ eq \f(ln a,ln 4)× eq \f(ln 6,ln a)－ eq \f(ln a,ln 4)× eq \f(ln 3,ln a)＝ eq \f(ln 6,ln 4)－ eq \f(ln 3,ln 4)＝ eq \f(ln 2,2ln 2)＝ eq \f(1,2).
四、 解答题
11. 求值：
(1) lg28＋lg27×lg7(lg381)；
【解答】 原式＝3＋lg27×2lg72＝3＋2＝5.
(2) lg327－lg 2－lg 5－lg516·lg2 eq \r(5)＋eln 2；
【解答】 原式＝lg327－(lg 2＋lg 5)－lg516·lg2 eq \r(5)＋eln 2＝3－1－4lg52· eq \f(1,2)lg25＋2＝2－2＋2＝2.
(3) 3lg3 2－2lg2 3·lg27 8＋ eq \f(1,2)lg6 16＋4lg6 eq \r(3).
【解答】 原式＝2－2· eq \f(ln 3,ln 2)· eq \f(ln 8,ln 27)＋lg6 eq \r(16)＋lg6( eq \r(3))4＝2－2· eq \f(ln 3,ln 2)· eq \f(3ln 2,3ln 3)＋lg64＋lg69＝2－2＋lg636＝2.
12. 设关于x的方程lg 2x－lg x2＋3p＝0的两个实根分别是α，β.
(1) 求实数p的取值范围；
【解答】 因为lg 2x－lg x2＋3p＝0，即lg 2x－2lg x＋3p＝0，设t＝lg x，则关于t的方程t2－2t＋3p＝0的两根为lg α和lg β，所以Δ＝(－2)2－12p≥0，解得p≤ eq \f(1,3)，故p的取值范围为 eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,3))).
(2) 求lgαβ＋lgβα的取值范围．
【解答】 由韦达定理，得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lg α＋lg β＝2，,lg α·lg β＝3p，))所以lgαβ＋lgβα＝ eq \f(lg β,lg α)＋ eq \f(lg α,lg β)＝ eq \f(lg 2β＋lg 2α,lg α·lg β)＝ eq \f((lg β＋lg α)2－2lg α·lg β,lg α·lg β)＝ eq \f(4－6p,3p)＝ eq \f(4,3p)－2.因为3p≤1且3p≠0，所以 eq \f(4,3p)≥4或 eq \f(4,3p)＜0，所以 eq \f(4,3p)－2≥2或 eq \f(4,3p)－2＜－2，所以lgαβ＋lgβα的取值范围为(－∞，－2)∪[2，＋∞).
B组 能力提升练
13. (2025·南通海安期中)在平面直角坐标系xOy中，曲线y＝ln x上的两点A，B满足OA⊥OB，线段AB的中点M在x轴上，则点M的横坐标为_ eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(e＋\f(1,e)))_.
【解析】 设A(x1，ln x1)，B(x2，ln x2)，则 eq \(OA,\s\up6(→))＝(x1，ln x1)， eq \(OB,\s\up6(→))＝(x2，ln x2)，若OA⊥OB，则 eq \(OA,\s\up6(→))· eq \(OB,\s\up6(→))＝x1x2＋ln x1·ln x2＝0.又因为线段AB的中点M在x轴上，则 eq \f(ln x1＋ln x2,2)＝ eq \f(ln (x1x2),2)＝0，可得x1x2＝1，即x2＝ eq \f(1,x1)，则1＋ln x1·ln eq \f(1,x1)＝1－ln 2x1＝0，解得ln x1＝±1，即x1＝e或x1＝ eq \f(1,e)，即可得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x1＝e，,x2＝\f(1,e)))或 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x1＝\f(1,e)，,x2＝e，))所以点M的横坐标为 eq \f(x1＋x2,2)＝ eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(e＋\f(1,e))).
14. 已知x，y满足lg4 eq \r(4x＋1)＋x＝4，4y＋2y＝17，则2x＋y＝_8_．
【解析】 令 eq \r(4x＋1)＝t＞0，则x＝ eq \f(t2－1,4)，由lg4 eq \r(4x＋1)＋x＝4，得lg4t＋ eq \f(t2－1,4)＝4，即4lg4t＋t2＝17，也即lg2t2＋t2＝lg2t2＋2lg2t2＝17.又4y＋2y＝22y＋2y＝17，令f(x)＝2x＋x，易知f(x)＝2x＋x在R上单调递增，所以2y＝lg2t2，即y＝lg2t＝lg2 eq \r(4x＋1)，所以2x＋y＝2x＋lg2 eq \r(4x＋1)＝2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)lg2\r(4x＋1)＋x))＝2(lg4 eq \r(4x＋1)＋x)＝8.
15. 当a＞0且a≠1时，lga(m×n)＝lgam＋lgan对一切m＞0，n＞0恒成立．学生小刚在研究对数运算时，发现有这么一个等式：lg2(1×1)＝lg21×lg21，带着好奇，他进一步对lg2(m×n)＝lg2m×lg2n进行深入研究．
(1) 若正数m，n满足lg2(m×n)＝lg2m×lg2n，当m＝8时，求n的值；
【解答】 当m＝8时，则lg2(8n)＝lg28×lg2n＝3lg2n，所以lg28＋lg2n＝3lg2n，即2lg2n＝3，所以n＝2 eq \s\up6(\f(3,2))＝2 eq \r(2).
(2) 除整数对(1，1)，请再举出一个整数对(m，n)满足lg2(m×n)＝lg2m×lg2n；
【解答】 当m＝4，n＝4时，lg2(4×4)＝lg24×lg24，所以整数对为(4，4).
(3) 证明：当m＞1时，只有一对正整数对(m，n)使得等式lg2(m×n)＝lg2m×lg2n成立．
【解答】 因为lg2(m×n)＝lg2m×lg2n，所以lg2m＋lg2n＝lg2m×lg2n，且m，n∈N*.当m＝2时，1＋lg2n＝lg2n，显然无解．当m＝3时，lg23＋lg2n＝lg23×lg2n，得lg2n＝ eq \f(lg23,lg23－1)＝lg eq \s\d9(\f(3,2))3，无正整数解，同理，当n＝2和n＝3时，m也无正整数解．当m≥4，n≥4时，lg2n＝ eq \f(lg2m,lg2m－1)＝1＋ eq \f(1,lg2m－1)，因为lg2m≥2，所以由复合函数单调性可得1＋ eq \f(1,lg2m－1)∈(1，2].又因为lg2n≥2，所以当且仅当m＝n＝4时，原等式成立，即得证．
概念
一般地，如果a(a＞0，a≠1)的b次幂等于N，即ab＝N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作_lgaN＝b_．其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
以10为底的对数叫做常用对数，将lg10N记作lg N.另外，以无理数e＝2.718 28…为底数的对数叫做自然对数，并将lgeN记作ln N
运算
法则
(1) 对数的性质：
①algaN＝_N_；
②lgaab＝b(a＞0且a≠1)．
(2) 对数的运算法则：如果a＞0且a≠1，M＞0，N＞0，那么
①lga(MN)＝_lgaM＋lgaN_；
②lga eq \f(M,N)＝_lgaM－lgaN_；
③lgaMn＝_nlgaM_(n∈R)；
④lgamMn＝ eq \f(n,m)lgaM(m，n∈R且m≠0)
换底
公式
换底公式：lgaN＝ eq \f(lgbN,lgba)(a，b均大于零且不等于1)
声源
与声源的距离/m
声压级/dB
燃油汽车
10
60～90
混合动力汽车
10
50～60
电动汽车
10
40