【中考数学】2025年四川省内江市试卷【附解析】

这是一份【中考数学】2025年四川省内江市试卷【附解析】，共11页。试卷主要包含了在函数中，自变量x的取值范围是，下列计算正确的是，阿基米德曾说过，按如下步骤作四边形等内容，欢迎下载使用。
本试卷分为A卷和B卷两部分，A卷1至4页，满分100分；B卷5至6页，满分60分．全卷满分160分．考试时间120分钟．
注意事项：
1．答题前请仔细阅读答题卡上的注意事项．
2．所有试题的答案必须按题号填写在答题卡相应位置上，在试卷和草稿纸上作答无效．
3．考试结束后，监考人员将答题卡、试卷、草稿纸一并收回．
A卷（共100分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．中国是世界上最早使用负数的国家，负数早已广泛应用到生产和生活中．例如，零上记作，则零下记作（ ）
A．B．C．D．
2．古钱币是我国珍贵的历史文化遗产．下列选项是在《中国古代钱币》特种邮票中选取的部分图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．2025年5月14日12时12分，全球首个太空计算星座在酒泉卫星发射中心成功发射，此次发射的太空计算星座共有12颗卫星，其中10颗为“内江城市卫星星群”成员，若每颗卫星每天处理的数据量为字节，则“内江城市卫星星群”每天处理的总数据量可达到字节，将数据用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
4．在函数中，自变量x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．某体育用品专卖店在一段时间内销售了双运动鞋，其中几种尺码运动鞋的销售量如下表所示：
这双运动鞋的尺码组成的一组数据的众数和中位数分别是（ ）
A．，B．，C．，D．，
6．如图是正方体的表面展开图，与“共”字相对的字是（ ）
A．安B．全C．校D．园
7．下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
8．阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是（ ）
A．B．C．D．
9．学校准备添置一批课桌椅，原订购60套，每套100元．店方表示：如果多购，可以优惠．结果校方购了72套，每套减价3元，但商店获得同样多的利润．求每套课桌椅的成本．设每套课桌椅的成本为x元，则可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
10．按如下步骤作四边形：（1）画；（2）以点为圆心，个单位长为半径画弧，分别交、于点、：（3）分别以点和点为圆心，个单位长为半径画弧，两弧交于点；（）连接、、．若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
11．若关于x的一元二次方程有实数根，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．且D．且
12．对于正整数x，规定函数．在平面直角坐标系中，将点中的，分别按照上述规定，同步进行运算得到新的点的横、纵坐标（其中，均为正整数）．例如，点经过第次运算得到点．经过第次运算得到点，经过第次运算得到点，经过有限次运算后，必进入循环圈，按上述规定，将点经过第次运算后得到点是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．）
13．分解因式：= ．
14．在英文单词“”中任选一个字母，字母“a”被选中的概率是 ．
15．如图，是的弦．半径于点D，且．则的长是 ．
16．如图，在矩形中，，点E、F分别是边上的动点，连接，点G为的中点，点H为的中点，连接，则的最大值是 ．
三、解答题（本大题共5小题，共48分．解答应写出必要的文字说明或推演步骤．）
17．（1）计算：；
（2）化简：．
18．如图，点B、F、C、E在同一条直线上，．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
19．内江，东汉建县，古称汉安，是一座依江而生、因水得名的城市．“成渝之心、大千故里、甜蜜之城”是新时代内江的三张靓丽名片，也是“心里甜”的由来，为弘扬内江传统文化，我市将举办中小学生“知内江、爱内江、兴内江”知识竞赛活动．某校举办选拔赛后，随机抽取了部分学生的成绩，成绩按百分制分为A、B、C、D四个等级，并绘制了如下两幅不完整的统计图表．
根据统计图表中的信息解答下列问题：
(1)表中______；扇形统计图中，表示成绩等级为D的扇形圆心角为______度．
(2)若全校有3000人参加了此次选拔赛，其中成绩等级为A的学生大约有多少人？
(3)现从成绩等级为A的甲、乙、丙、丁4人中随机选出2人参加市级比赛，请通过列表或画树状图的方法求出甲、乙两人同时被选中的概率．
20．在综合与实践活动中，某学习小组计划测量内江麻柳坝大桥桥塔的高度（如图甲）．他们设计了如下方案：如图乙，点B、D、C依次在同一条水平直线上，在B处测得桥塔顶部A的仰角为，在C处测得桥塔顶部A的仰角为，又测得，，垂足为D，求桥塔的高度（结果保留根号）．
21．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于、两点．
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)当时，请根据函数图象，直接写出关于x的不等式的解集；
(3)过直线上的点C作轴，交反比例函数的图象于点．若点横坐标为，求的面积．
B卷（共60分）
四、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分．）
22．已知实数a，b满足，则 ．
23．对于x、y定义了一种新运算G，规定．若关于a的不等式组恰好有3个整数解，则实数P的取值范围是 ．
24．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点B的坐标为．点E在边上．将沿折叠，点D落在点F处．若点F的坐标为．则点E的坐标为 ．
25．如图，在中，，，，点、、分别是边、、上的动点，则周长的最小值是 ．
五、解答题（本大题共3小题，每小题12分，共36分．解答应写出必要的文字说明或推演步骤．）
26．2025年春节期间，我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》刷新了中国电影票房的新纪录，商家推出A、B两款“哪吒”文旅纪念品．已知购进A款200个，B款300个，需花费14000元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元．
(1)求A、B两款“哪吒”纪念品每个进价分别为多少元？
(2)根据网上预约的情况，如果该商家计划用不超过12000元的资金购进A、B两款“哪吒”纪念品共400个，那么至少需要购进B款纪念品多少个？
(3)在销售中，该商家发现每个A款纪念品售价60元时，可售出200个，售价每增加1元，销售量将减少5个．设每个A款纪念品售价元，W表示该商家销售A款纪念品的利润（单位：元），求W关于a的函数表达式，并求出W的最大值．
27．如图，在中，，的平分线交于点D，点O是边上一点，以点O为圆心、长为半径作圆，恰好经过点D，交于点E．
(1)求证：直线是的切线；
(2)若点E为的中点，，求阴影部分的面积；
(3)连接，若，求的值．
28．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于、两点，与y轴交于点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，过点B的直线与抛物线的另一个交点为点D，点M为抛物线对称轴上的一点，连接，设点M的纵坐标为n，当时，求n的值；
(3)如图2，点N是抛物线的顶点，点P是x轴上一动点，将顶点N绕点P旋转后刚好落在抛物线上的点H处，请直接写出所有符合条件的点P的坐标．
尺码/
销售量/双
等级
成绩
人数
24
14
10
1．C
【分析】本题考查了正数和负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
【详解】解：零上记作，则零下记作，
故选：C．
2．D
【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不合题意；
C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C选项不合题意；
D、既是轴对称图形又是中心对称图形，故D选项符合题意．
故选：D．
3．C
【分析】本题考查了科学记数法．将大数用科学记数法表示时，需将其写成的形式，其中，为整数．
【详解】解：，
故选：C．
4．A
【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，二次根式有意义的条件，根据题意得出，即可求解．
【详解】解：根据题意得：，
解得：
故选：A．
5．B
【分析】本题考查了众数和中位数的定义.
根据众数和中位数的定义，众数是出现次数最多的数据，中位数是将数据从小到大排列后中间两个数的平均值（偶数个数据时）.
【详解】解：根据表格可知，尺码的销售量最多（10双），因此众数为.
总数据个数为20（偶数），需取第10和第11个数据的平均值。将所有尺码按从小到大排列：
第10和第11个数据均为，故中位数为.
综上，众数和中位数均为25，对应选项B.
故选：B．
6．B
【分析】本题考查了正方体的展开图，解题关键是从相对面入手进行分析及解答问题．正方体的平面展开图中，相对面的特点是之间一定相隔一个正方形，据此作答．
【详解】解：∵正方体的平面展开图中，相对面的特点是之间一定相隔一个正方形，
∴在此正方体上与“共”字相对的面上的字是“全”．
故选：B．
7．D
【分析】本题考查了整式的运算，逐一分析各选项的运算是否正确，利用幂的运算、完全平方公式、合并同类项及平方差公式进行判断．
【详解】解：A．，错误．
B．，错误．
C．与不是同类项，无法合并，结果应为，错误．
D．根据平方差公式，，正确．
故选：D．
8．B
【分析】本题考查相似三角形的应用，根据题意构造出相似三角形，然后根据相似三角形的对应边成比例求得的长度．解题的关键是正确判定相似三角形并运用相似三角形的性质列出比例式．
【详解】解：，，
，
，
，
∵动力臂，阻力臂，
，
，
的长为．
故选：B．
9．B
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据利润相等建立方程．原计划利润为，实际利润为，两者相等即可求解．
【详解】解：设每套成本为元．原计划利润为元；实际购买时利润为元．
根据题意得：，
故选B．
10．D
【分析】本题考查了作线段，菱形的性质与判定，根据作图可得四边形是菱形，进而根据菱形的性质，即可求解．
【详解】解：根据作图可得
∴四边形是菱形，则，
又∵，
∴
故选：D．
11．C
【分析】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，根据一元二次方程根的判别式进行判断即可求解．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．根据一元二次方程的定义和根的判别式求解．首先确保二次项系数不为零，再计算判别式并使其非负．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴二次项系数，即．
令，即，
解得．
∴且
故选：C．
12．A
【分析】本题考查了数字类规律探究，点的坐标规律，求函数值，通过计算点每次运算后的结果，发现其变化呈现周期性循环，周期为3次．利用周期性规律，确定第2025次运算后的结果．
【详解】解：初始点：（第0次运算）．
第1次： 横坐标为偶数，； 纵坐标为奇数，； 得到点．
第2次： 横坐标为奇数，； 纵坐标为偶数，； 得到点．
第3次： 横坐标为偶数，； 纵坐标为偶数，； 得到点，与初始点相同，
即三次一循环，
，
∴第次运算后对应点与第3次运算后的点相同，即．
故选：A．
13．．
【分析】利用平方差公式分解因式即可得到答案
【详解】解：．
故答案为：
【点睛】本题考查的是利用平方差公式分解因式，掌握利用平方差公式分解因式是解题的关键．
14．
【分析】此题考查概率的求法：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种可能，那么事件的概率．根据概率公式直接求解即可．
【详解】解：英文单词“”中共有6个字母，字母“a”有3个，
∴字母“a”被选中的概率是，
故答案为：．
15．2
【分析】本题主要考查了垂径定理以及勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键．
先根据垂径定理得到，在中，由勾股定理求解，再由即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴在中，，
∴，
故答案为：2．
16．5
【分析】本题考查了矩形的性质，三角形的中位线定理，勾股定理，通过三角形中位线定理进行转化是解题的关键．连接，先由勾股定理求得，则，再由三角形中位线定理得到，即可求解的最大值．
【详解】解：连接，
∵矩形中，，
∴，
∴，
∴，
∵点G为的中点，点H为的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴当点重合时，取得最大值为5，
故答案为：5．
17．（1）7；（2）3
【分析】本题主要考查了含特殊角的三角函数值的混合运算，同分母的分式减法计算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）分别计算零指数幂，化简绝对值，计算算术平方根以及代入特殊角的三角函数值，再进行加减计算即可；
（2）根据同分母的分式减法运算法则计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
18．(1)见解析
(2)11
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）先根据平行线的性质得到，再由“”直接证明即可；
（2）由，，再由线段和差即可得到，最后由即可求解．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
19．(1)12，60
(2)600
(3)
【分析】本题考查了从扇形统计图获取信息，用样本估计总体，树状图或列表法求解概率，正确读懂统计图是解题的关键．
（1）先由等级人数除以占比求出抽取的人数，再由抽取的人数减去等级的人数即可求解；用乘以等级的占比即可求解成绩等级为D的扇形圆心角；
（2）用样本估计总体的方法即可求解；
（3）先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【详解】（1）解：抽取的人数：（人），
则，
成绩等级为D的扇形圆心角：，
故答案为：12，60；
（2）解：（人），
答：成绩等级为A的学生大约有人；
（3）解：画树状图为：
由树状图可知一共有12种等可能性的结果数，其中甲、乙两人同时被选中的结果数有2种，
∴甲、乙两人同时被选中的概率是．
20．
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，设，解得到，解得到，再由，得到，解方程即可得到答案．
【详解】解；设，
∵，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，
答：桥塔的高度为．
21．(1)；
(2)
(3)
【分析】本题考查了利用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，反比例函数的几何意义、函数图象的特点，掌握理解函数图象的特点是解题关键．
（1）先根据点利用待定系数法可求出反比例函数的表达式；再通过反比例函数的表达式求出点A的坐标，最后利用待定系数法即可求出一次函数的表达式；
（2）所求不等式的解集即为求一次函数的图象位于反比例函数的图象的上方时，的取值范围；
（3）根据题意得出，，根据反比例函数的几何意义得出，则，即可求解．
【详解】（1）解：∵反比例函数的图象过点
∴，
故反比例函数的表达式为
把点代入反比例函数得，，解得
∴点的坐标为
∵一次函数的图象经过、两点
∴，解得
故一次函数的表达式为；
（2）∵
∴，即一次函数图象在反比例函数图象的上方
∴；
（3）∵点横坐标为，代入
解得：
∴
当时，代入，得
解得：
∴
如图，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，
∵，
∴，
∵，
∴．
22．
【分析】本题考查了平方差公式因式分解，根据平方差公式因式分解，将已知等式代入，即可求解．
【详解】解：∵，
∴
故答案为：．
23．
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解的应用，能根据找不等式的解集和已知得出关于P的不等式组是解此题的关键．先根据新定义化简关于的不等式，根据不等式组有3个整数解，得出，进而解不等式组，即可求解．
【详解】解：∵
∴关于a的不等式组即
解不等式①得：
解不等式②得：
∵不等式组有3个整数解，
∴整数解为，
∴
解得：
故答案为：．
24．
【分析】本题考查翻折变换（折叠问题），勾股定理，矩形的判定与性质，正方形的性质，坐标与图形变化-对称，利用勾股定理求出正方形的边长是解题关键．设，可得，在中，利用勾股定理可求出，根据翻折的性质得出，，，设，在中利用勾股定理可求出a值，即可得答案．
【详解】解：在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，如图，设与y轴交于点G，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵点A的坐标为，
∴，
∵将沿折叠，点D落在点F处．若点F的坐标为，
∴，，，
在中，由勾股定理得：，
∴，
解得：，
∴，
设，则，，
在中，由勾股定理得：，
∴，
解得：，
∴点E的坐标为，
故答案为：
25．
【分析】本题考查了轴对称的性质，解直角三角形，垂线段最短，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键，作点关于的对称点，连接，得出是等腰直角三角形，当时，取得最小值，即周长最小，进而求得，即可求解．
【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接，
∴周长为，
当四点共线时取得最小值，
∵是关于的对称点，
∴，
又∵
∴
∴是等腰直角三角形，
∴
∴当时，取得最小值，即周长最小
又∵，，
∴
∴周长最小为
故答案为：．
26．(1)A款“哪吒”纪念品每个进价为40元，B款“哪吒”纪念品每个进价为20元；
(2)至少需要购进B款纪念品200个
(3)，W的最大值为4500
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，二次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程组，函数关系式和不等式是解题的关键．
（1）设A款“哪吒”纪念品每个进价为x元，B款“哪吒”纪念品每个进价为y元，根据购进A款200个，B款300个，需花费14000元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元建立方程组求解即可；
（2）设需要购进B款纪念品m个，则需要购进A款纪念品个，根据购买资金不超过12000元建立不等式求解即可；
（3）根据题意可得每个A款纪念品的利润为元，销售量为个，据此列出W关于a的二次函数关系式，再利用二次函数的性质求出W的最大值即可．
【详解】（1）解：设A款“哪吒”纪念品每个进价为x元，B款“哪吒”纪念品每个进价为y元，
由题意得，，
解得，
答：A款“哪吒”纪念品每个进价为40元，B款“哪吒”纪念品每个进价为20元；
（2）解：设需要购进B款纪念品m个，则需要购进A款纪念品个，
由题意得，，
解得，
∴m的最小值为200，
答：至少需要购进B款纪念品200个；
（3）解：由题意得，
，
∵，
∴当，即时，W最大，最大值为4500．
27．(1)见解析
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了求不规则图形面积，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，切线的判定，勾股定理等等，熟知相关知识是解题的关键．
（1）连接，由角平分线的定义得到，再由等边对等角得到，则，据此可证明，得到，由此可证明是的切线；
（2）根据线段之间的关系证明，解直角三角形可得，则可求出，再根据列式计算即可；
（3）由直径所对的圆周角是直角得到，解得到，设，由勾股定理可得；证明，进而证明，得到，则，，进而可求出，再根据余弦的定义可得答案．
【详解】（1）证明：如图所示，连接，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：∵点E为的中点，
∴，
∵，
∴，
由（1）可得，
在中，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵是的直径，
∴，
在中，，
设，
∴；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，．
28．(1)
(2)
(3)或或或
【分析】（1）直接由待定系数法即可求解；
（2）先联立抛物线与直线求出交点的坐标，再求出对称轴，则得到点的坐标表示，再由两点间距离公式建立方程求解即可；
（3）顶点，设，由旋转得，当时，过点作轴的平行线，过点分别作平行线的垂线，垂足为点，证明，表示出，将点代入，得，解方程即可；当时，作出同样的辅助线，同理可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线与x轴相交于、两点，与y轴交于点，
∴，
解得：，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：联立，
解得：，
∴，
∵，
∴对称轴为直线，顶点为，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴的值为；
（3）解：由（2）得顶点，设，
由旋转得，
当时，
过点作轴的平行线，过点分别作平行线的垂线，垂足为点，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
将点代入，
得，
整理得：，
解得：，
∴或；
当时，过点作轴的平行线，过点分别作平行线的垂线，垂足为点，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
将点代入，
得，
整理得：，
解得：，
或，
综上所述：所有符合条件的点P的坐标为：或或或．
【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，涉及待定系数法求函数解析式，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，两点间距离公式等知识点，难度较大，解题的关键在于构造“三垂直”全等模型．