【中考数学】2025年四川省乐山市试卷【附解析】

这是一份【中考数学】2025年四川省乐山市试卷【附解析】，共11页。试卷主要包含了计算，如图，，，，，则的长为，若方程的两个根是和，则的值为等内容，欢迎下载使用。
本试题卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题），共8页，考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效．满分150分，考试时间120分钟，考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回，考生作答时，不能使用任何型号的计算器．
第I卷（选择题共30分）
注意事项：
1．选择题必须使用2B铅笔将答案标号填涂在答题卡对应题目标号的位置上，
2．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．
一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分．
1．2025年“五一”期间，乐山大佛“夜游凌云山”项目营收突破300万元，创下同期历史新高．数据3000000用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
2．如图，两条平行线、被第三条直线所截．若，则（ ）
A．B．C．D．
3．如图是由4个相同的正方体堆成的物体，则它的俯视图是（ ）
A．B．C．D．
4．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
5．计算：的结果为（ ）
A．B．C．D．1
6．如图，，，，，则的长为（ ）
A．4B．6C．8D．10
7．若方程的两个根是和，则的值为（ ）
A．B．1C．D．2
8．某学校食堂有7元、8元和9元三种价格的午餐供师生选择（每人限定一份），5月份销售情况如图所示，则师生购买午餐的平均价格为（ ）
A．7.8元B．7.9元C．8元D．8.1元
9．醇是一类由碳、氢、氧元素组成的有机化合物，下图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中代表碳原子，代表氧原子，代表氢原子．第1种如图1有4个氢原子，第2种如图2有6个氢原子，第3种如图3有8个氢原子，第4种如图4有10个氢原子，……按照这一规律，第9种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是（ ）
A．18B．20C．22D．24
10．已知二次函数的图象经过、两点，有下列结论：
①二次函数的图象开口向上，对称轴为直线；
②当时，二次函数的图象与轴有两个交点；
③若，则；
④当时，二次函数的图象与的图象有两个交点，则．
其中，正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
第II卷（非选择题 共120分）
注意事项：
1．考生使用0.5mm黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答，答在试题卷上无效，
2．作图时，可先用铅笔画线，确认后再用0.5mm黑色墨迹签字笔描清楚．
3．解答题应写出文字说明、证明过程或推演步骤．
二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分．
11．的相反数是 ．
12．某校举行演讲比赛，5位评委对某选手给出的评分如下：7.5，7.5，7，7.5，8，则评分的众数为 ．
13．如图，的度数为 ．
14．已知：，则， ．
15．如图，在中，对角线与相交于点．小乐同学欲添加两个条件使得四边形是正方形，现有三个条件可供选择：①；②；③．则正确的组合是 （只需填一种组合即可）．
16．定义：在平面直角坐标系中，到原点的距离等于1的点叫做“单位圆点”．
（1）下列三个函数的图象上存在“单位圆点”的是 （填番号）；
①；②；③．
（2）若一次函数的图象上存在“单位圆点”，则的取值范围为 ．
三、解答题：本大题共10个小题，共102分．
17．计算：．
18．解不等式组：
19．先化简，再求值：，其中．
20．如图，已知线段、相交于点，，．求证：．
21．某校开展“综合与实践”项目学习，拟开设四个项目供学生选择：．体育中的数学，．绘制公园平面地图，．改进我们的课桌椅，．高度的测量，若每名学生只选择其中一个项目进行学习，现随机调查部分学生的选择情况并绘制成统计图表，如图所示，
根据以上信息，解答下列问题：
(1)本次调查抽取的学生总人数为______人，请补全条形统计图；
(2)已知该校共有800名学生，请估计选择项目的学生人数；
(3)现准备从四个项目中随机选择两个项目在全校作汇报展示，请利用画树状图或列表的方法，求恰好选到项目和项目的概率．
22．如图，在中，，，．
(1)求的长；
(2)求点到线段的距离．
23．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点、．
(1)求、的值和反比例函数的表达式；
(2)若在轴上存在点，使得的面积为6，求的值．
24．如图，为的外接圆，直径垂直于弦，垂足为点．点为圆外一点，连结、、，．
(1)求证：为的切线；
(2)若，，，求的长．
25．两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现：将一条线段分割成长、短两条线段、，若短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长之比，即，则这种分割称为黄金分割，这个比值称为黄金比，点叫做线段的黄金分割点．
【问题初探】
如图1，已知点为线段的黄金分割点（），求黄金比．
解：设，，则．
，
请补全以上解题过程；
【问题再探】
如图2，在中，，，，请作出的黄金分割点（要求：仅用圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
【知识迁移】
如图3，点为线段的黄金分割点（），分别以、为边在线段同侧作正方形和矩形，连结、．求证：；
【延伸拓展】
如图4，在正五边形中，对角线与交于点．求证：点是的黄金分割点．
26．在一堂函数专题复习课上，刘老师给出了新定义：若两个函数的图象关于某一点成中心对称，则称这两个函数关于点互为“对称函数”．请同学们解决以下问题：
(1)求函数关于点的“对称函数”．小乐同学给出了如下的解题步骤：
第一步：在函数的图象上取两点和；
第二步：分别求出这两个点关于点的对称点_____和______；
第三步：函数关于点的“对称函数”为______．
(2)是否存在点，使得函数关于点的“对称函数”就是它本身？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由；
(3)函数关于点的“对称函数”为，函数与函数所围成的区域（包括边界）记作，横坐标、纵坐标都为整数的点叫做“整点”，
①若，求内的“整点”个数；
②若内至少有个“整点”，至多有个“整点”，求的取值范围．
项目
人数
频率
16
8
4
0.1
1．B
【分析】本题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：，
故选：B
2．D
【分析】本题主要考查了平行线的性质，对顶角相等，由两直线平行，同位角相等可得的度数，再由对顶角相等可得的度数．
【详解】解：如图所示，∵，
∴，
∴，
故选：D．
3．A
【分析】本题考查了三视图的知识，从正面看到的图是正视图，从上面看到的图形是俯视图，从左面看到的图形是左视图，熟练掌握三视图的定义是解题的关键．
根据俯视图是从上面看到的图形解答即可．
【详解】解：∵从上面看到的图形是俯视图，
∴该图形俯视图为：
，
故选：A．
4．C
【分析】本题考查了平面直角坐标系中点位置的确定，能够熟练掌握点的横纵坐标的确定方法是解题关键．
根据点所在的象限，结合点到轴、轴的距离即可求解．
【详解】解：由坐标系可得点在第一象限，且横坐标为，纵坐标为，
∴点的坐标是，
故选：C．
5．D
【分析】本题主要考查了异分母分式加法，先把异分母分式转化成同分母分式进行运算，再约分即可得出答案．
【详解】解：
故选：D
6．B
【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理，找准线段的对应关系是解决本题的关键．
根据得到，再代入数据即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
故选：B．
7．C
【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为和，则，．
【详解】解：∵和是方程的两个根，
∴，，
∴，
故选：C
8．A
【分析】本题考查了加权平均数，根据加权平均数的计算方法，分别用单价乘以相应的百分比，计算即可得解．
【详解】解：由题意得，师生购买午餐的平均价格为（元），
故选：A．
9．B
【分析】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现氢原子个数的变化规律是解题的关键．根据所给图形，依次求出分子结构模型中氢原子的个数，发现规律即可解决问题．
【详解】解：由所给图形可知，
第1种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是：；
第2种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是：；
第3种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是：；
所以第n种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是个．
当时，（个），
即第9种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是20个．
故选：B．
10．C
【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，二次函数与x轴的交点等知识，掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．
【详解】解：二次函数中，，
则二次函数的图象开口向上，对称轴为直线为，故①正确．
令，
则，
当时，则，
则二次函数的图象与轴有两个交点，故②正确．
点到对称轴直线的距离为，二次函数的图象开口向上，则距离对称轴越远的点，函数值越大，
故若，则，故③错误．
联立与，
则，
整理得：，
则，解得：，
令，对称轴为直线，
∵当时，二次函数的图象与的图象有两个交点，
故当时，，
解得：．
解得：，故④正确，
综上：①②④正确，
故选：C
11．
【分析】本题考查了相反数的定义，只有符号不同的两个数，我们称这两个数互为相反数．根据定义求解即可．
【详解】解：的相反数是2．
故答案为：2．
12．
【分析】本题考查了求一组数据的众数，熟练掌握众数的定义是解题的关键．
众数是一组数据中出现次数最多的数据，根据众数的定义就可以求解．
【详解】解：7.5，7.5，7，7.5，8，这一组数据中7.5出现的次数最多，
∴众数是7.5，
故答案为：7.5．
13．##100度
【分析】本题考查的是三角形的外角的定义和性质，熟记三角形的外角的性质是解本题的关键．根据三角形的外角等于和它不相邻的两个内角之和求解即可．
【详解】解：
故答案为：
14．12
【分析】本题主要考查了幂的乘方，同底数幂乘法的逆运算，熟知相关计算法则是解题的关键．先根据幂的乘方求出，再由进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
15．①②或①③（填写一组即可）
【分析】本题考查了正方形，矩形，菱形的判定，熟练掌握正方形，矩形，菱形的判定是解题的关键．
根据正方形，矩形，菱形的判定分析求解即可．
【详解】解：当选择①；②时，
∵四边形是平行四边形，当，
∴四边形是菱形，
∵，
∴，
∴均是等腰直角三角形，
∴，
∴四边形是正方形；
当选择①；③时，
∵四边形是平行四边形，当，
∴四边形是菱形，
∵，
∴四边形是正方形；
当选择②；③，
由于四边形是平行四边形，若或，
均只能得到四边形是矩形，不能证明其为正方形，故不符合题意；
∴选择①②或①③均可以，
故答案为：①②或①③（填写一组即可）．
16． ③
【分析】本题考查新定义问题，理解“单位圆点”的定义．是解题的关键．“单位圆点”∶若点满足，则称点P为“单位圆点”．
（1）对于函数图象上是否存在“单位圆点”，可联立函数解析式与单位圆方程，根据方程是否有解来判断．
（2）对于一次函数，同样联立方程，根据方程有解的条件求出m的取值范围．
【详解】解：（1）①联立，
整理得：，
则，
则此方程无实数解，即函数的图象上不存在“单位圆点”．
②联立，
整理得：，
令，则方程变为，即，
则，
则此方程无实数解，即函数的图象上不存在“单位圆点”．
③联立，
整理得：，
则，
∵恒成立，
∴，
解得：，
当时，，
则点满足，即函数的图象上存在“单位圆点”．
故答案为：③
（2）联立，
整理得：，
则，
解得：，
故答案为：
17．
【分析】本题主要考查了实数的运算，求特殊角三角函数值，先计算特殊角三角函数值，再计算算术平方根和绝对值，最后计算加减法即可得到答案．
【详解】解：
．
18．
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
分别求出不等式的解集，然后根据 “同大取大，同小取小，大于小的小于大的取中间，大于大的小于小的无解”确定不等式组的解集．
【详解】解：
由①得，；
由②得，，
∴原不等式组的解集为：．
19．，
【分析】本题考查了整式的混合运算，化简求值，熟练掌握整式的混合运算法则是解题的关键．
先计算完全平方公式和单项式乘以多项式，再进行合并，然后代入求值即可．
【详解】解：
，
当时，原式．
20．证明见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的几种判定方法及性质是解题的关键．
根据“边角边”证明，再由全等三角形对应边相等即可证明．
【详解】证明：∵线段、相交于点，
∴，
∵，，
∴，
∴．
21．(1)40，补全条形统计图见解析
(2)人数为人
(3)
【分析】本题考查列表法与树状图法求概率、用样本估计总体、频数(率)分布表、条形统计图，能够读懂统计图表，掌握列表法与树状图法、用样本估计总体是解答本题的关键．
（1）用表格中D的人数除以频率可得本次调查抽取的学生总人数；求出选择C项目的人数，补全条形统计图即可；
（2）根据用样本估计总体，用800乘以B的人数所占的百分比，即可得出答案；
（3）列表可得出所有等可能的结果数以及恰好选到项目A和项目B的结果数，再利用概率公式可得答案．
【详解】（1）解：本次调查抽取的学生总人数为 (人)，
∴选择C项目的人数为 (人)，
补全条形统计图如图所示：
故答案为：40；
（2）解：（人），
答：估计选择项目的学生人数为人；
（3）解：列表如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好选到项目A和项目B的结果有：，，共2种，
∴恰好选到项目A和项目B的概率为．
22．(1)
(2)
【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的判定等知识点，正确构造直角三角形是解题的关键．
（1）过点作的垂线，垂足为，先解求出，再得到为等腰直角三角形，最后再运用勾股定理求解；
（2）过点作于点，对运用等面积法得到，即可求解．
【详解】（1）解：过点作的垂线，垂足为，则，
∵在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
（2）解：过点作于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴点到线段的距离为．
23．(1)，
(2)或
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数交点的问题，一次函数与几何综合，熟知一次函数与反比函数的相关知识是解题的关键．
（1）分别把点A和点B的坐标代入一次函数解析式中求出m、n的值，进而得到点A和点B的坐标，再把点A坐标代入反比例函数解析式中求出反比例函数解析式即可；
（2）设直线交x轴于C，则，根据可得，据此列式求解即可．
【详解】（1）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点、，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴反比例函数解析式为；
（2）解：如图所示，设直线交x轴于C，
在中，当时，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴或．
24．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先由垂径定理得到，则，再导角证明，则，即可证明；
（2）可证明四边形是平行四边形，则，，然后解求出，连接，设，则，在中，由勾股定理得，求出，再由即可求解．
【详解】（1）证明：∵直径垂直于弦，
∴，，
∴，
∴
∵
∴，
∴，
∴，
即，
∵为半径，
∴为的切线；
（2）解：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
设，
∴，
∴，
∴，
连接，如图：
设，则
在中，由勾股定理得，
∴，
解得：，
∴．
【点睛】本题考查了圆的切线的判定，解直角三角形，垂径定理，勾股定理，平行四边形的判定与性质，熟练掌握各知识点，正确添加辅助线是解题的关键．
25．[问题初探]：黄金比为；[问题再探]：作图见解析；[知识迁移]证明见解析；[延伸拓展] 证明见解析
【分析】[问题初探]代入数据，再解一元二次方程即可；
[问题再探] 以点为圆心，为半径画弧交于点，再以为圆心，为半径画弧与相交，交点记为点，点即为黄金分割点．由勾股定理可得，由作图可得，那么，则，则，而，故，故点即为黄金分割点；
[知识迁移]根据点为线段的黄金分割点，得到，再由正方形的性质得到，则，再由夹角均为直角即可证明；
[延伸拓展]先证明，，则，那么，即可证明．
【详解】[问题初探]
解：设，，则．
，
∴，
解得：，（舍），
∴，
∴黄金比为；
[问题再探]
解：如图，点即为的黄金分割点：
[知识迁移]
证明：∵四边形是正方形，四边形是矩形，
∴，，，
∵点为线段的黄金分割点，
∴，
∴，
∴；
[延伸拓展]
证明：∵五边形是正五边形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴
∴点是的黄金分割点．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，黄金分割的定义，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，正多边形的内角问题，勾股定理，正方形和矩形的性质等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．
26．(1)，，
(2)
(3)①5；②
【分析】（1）根据“关于原点中心对称的两个点，其横纵坐标均互为相反数”，从而求出点和关于点的对称点，再用待定系数法求出函数关于点的“对称函数”；
（2）分析函数解析式可知，函数是由反比例函数向上平移一个单位长度得到的，从而得出函数的图象关于点中心对称；
（3）①当时，：，：，联立，得交点横坐标，结合图形计算可得内的“整点”个数有5个；
②先得出的解析式为，在区域内找出关于点对称的点，得出过点和时的值即可得答案．
【详解】（1）关于原点中心对称的两个点，其横纵坐标均互为相反数，
点和关于点的对称点分别是，；
设函数关于点的“对称函数”为，
将，代入得，
，解得，
函数关于点的“对称函数”为．
（2）函数是由反比例函数向上平移一个单位长度得到的，
而反比例函数关于原点中心对称，
函数的图象关于点中心对称，
存在点，使得函数关于点的“对称函数”就是它本身．
（3）将化成顶点式，其顶点为，
、关于点对称，
的顶点为，
的解析式为
①如图，当时，：，：
联立，解得，
当时，，，有整点，
当时，，，有整点，，，
当时，，，有整点，
故当时，求内的“整点”个数有5个；
②∵的顶点为，
∴的解析式为，
∵函数与的图象关于点成中心对称，
∴点必为区域内的“整点”，
当区域内恰有个“整点”时，其它个“整点”是对关于点对称的点，即和，和，和，和，
此时，当过时，满足题意，即，
解得：，
当区域内恰有个“整点”时，其它个“整点”是对关于点对称的点，在前面个“整点”的基础上增加了、、及个“整点”，
当过时，满足题意，即，
解得：
的取值范围是．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到待定系数法求解析式，新定义函数，二次函数的顶点坐标，成中心对称的点的特征，理解“对称函数”的定义及运用数形结合思想是解题的关键．
A
B
C
D
A
B
C
D