【中考数学】2025年四川省德阳市试卷【附解析】

这是一份【中考数学】2025年四川省德阳市试卷【附解析】，共28页。试卷主要包含了本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，如图等内容，欢迎下载使用。
说明：1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷．第Ⅰ卷为选择题，第Ⅱ卷为非选择题．全卷共6页．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效，考试结束后，将试卷及答题卡交回．
2．本试卷满分150分，答题时间为120分钟．
第Ⅰ卷（选择题，共36分）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，有且仅有一项是符合题目要求的．）
1．下列数是正数的是（ ）
A．1B．0C．D．
2．下列各式计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．如图：一条水渠两次转弯后和原来方向相同，如果第一次拐角，则第二次拐角（ ）
A．B．C．D．
4．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值是（ ）
A．2B．0C．D．
5．下列图形中可以作为正方体的展开图的是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，要使平行四边形ABCD是矩形，需要增加的一个条件可以是（ ）
A．B．C．D．
7．德阳市正积极推进城市轨道交通建设，假设已经规划的5条线路长度分别为28公里、30公里、30公里、26公里、32公里．若后续又新增一条线路，使得新增后这6条线路长度的中位数变为29公里，众数保持不变，那么新增线路长度可能是（ ）
A．25公里B．28公里C．29公里D．30公里
8．如图，在中，，将沿方向向右平移至处，使恰好过边的中点D，连接，若，则（ ）
A．3B．2C．1D．
9．在2000多年前的《九章算术》中记载了“共买鸡问题”：“今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数，物价各几何？”题意是：有若干人一起买鸡，如果每人出9文钱，就多11文钱；如果每人出6文钱，就差16文钱．问买鸡的人数，鸡的价钱各是多少？设买鸡的人数为x人，则x为（ ）
A．5B．7C．8D．9
10．如图：点E、F、G、H分别是四边形边、、、的中点，如果，四边形的面积为24，且，则（ ）
A．4B．5C．8D．10
11．六方钢也称六角棒，是钢材的一种，其截面为正六边形．六方钢可以通过切割、钻孔、车削等方式进行加工，广泛应用于各种建筑结构和工程结构，如房梁、桥梁柱、输电塔等．在学校开展的综合实践活动中，兴趣小组对六方钢截面图（如图所示）的性质进行研究，测得边长，那么图中四边形的面积是（ ）
A．B．C．D．
12．已知抛物线（a，b，c是常数，）过点，且，该抛物线与直线（k，c是常数，）相交于两点（点A在点B左侧）．下列说法：①；②；③点是点A关于直线的对称点，则；④当时，不等式的解集为．其中正确的结论个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
第Ⅱ卷（非选择题，共114分）
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分，将答案填在答题卡对应的题号后的横线上．）
13．函数y＝的自变量x的取值范围是 ．
14．公元前世纪，古希腊科学家阿基米德发现：若杠杆上的两物体与支点的距离与其重量成反比，则杠杆平衡．后来人们把它归纳为“杠杆原理”：阻力阻力臂动力动力臂．已知阻力和阻力臂分别为和，当动力为时，动力臂是 ．
15．在平面直角坐标系中，已知，，如果的面积为，那么点的坐标可以是 ．（只需写出一个即可）
16．甲乙两射击运动员参加射击选拔比赛，若他们射击训练成绩的平均数相同，且甲运动员训练成绩的方差，乙运动员训练成绩的方差，你认为应该选择 参加比赛．（填甲或者乙）
17．等宽曲线是指在任何方向上的直径都相等的一种几何图形，它在我们的日常生活中应用比较广泛，例如可以利用等宽曲线设计自行车的车轮等．如图，分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形就是等宽曲线（图中阴影部分），如果，那么这个等宽曲线的周长是 ．
18．如图，在平面直角坐标系中，，，点在直线上，且，连接，，将绕点顺时针旋转到，点的对应点落在直线上，再将绕点顺时针旋转到，点的对应点也落在直线上．如此下去，…，则的纵坐标是 ．
三、解答题（本大题共7个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．）
19．（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中．
20．2025年1月24日至2月16日，以“三星璀璨灵蛇献瑞”为主题的第十六届德阳灯会在玄珠湖公园盛大举行，设置“三星梦境”“德阳光华”等五大主题板块．灯会结束后，主办方随机抽取多名游客进行满意度调查（每人只能选择一项），用A、B、C、D、E分别代表一大主题板块，整理得到以下不完整统计表：
(1)直接写出a、b、c的值；
(2)根据以上抽样调查结果，游客最满意的主题板块是什么？若本届灯会实际接待游客达200000人，请估计最满意此板块的人数；
(3)若灯会工作人员中有4名青年志愿者，其中有2名男性、2名女性，现随机抽取2名青年志愿者进行视频采访，请利用画树状图或者列表的方法，求恰好抽到一男一女的概率．
21．如图，已知菱形，点在轴上，反比例函数的图象经过菱形的顶点，连接，与反比例函数图象交于点．
(1)求反比例函数解析式；
(2)求直线的解析式和点的坐标．
22．在综合实践活动中，同学们将对学校的一块正方形花园进行测量规划使用，如图，点处是它的两个门，且，要修建两条直路，与相交于点（两个门的大小忽略不计）．
(1)请问这两条路是否等长？它们有什么位置关系，说明理由；
(2)同学们测得米，米，根据实际需要，某小组同学想在四边形地上再修一条米长的直路，这条直路的一端在门处，另一端在已经修建好的路段或花园的边界上，并且另一端与点B处的距离不少于米，请问能否修建成这样的直路，若能，能修建几条，并说明理由．
23．中江挂面以“细如发丝、清如白玉、耐煮不糊、入口绵软”闻名遐迩，其独特的空心技艺传承千年，从揉面、开条、上筷到拉扯成型，需经十余道古法工序．数学兴趣小组走进某老字号挂面厂进行调研，已知购买2袋A型与2袋B型挂面共需费用100元，购买3袋A型与2袋B型挂面共需费用120元．
(1)A型、B型挂面的单价分别是多少元？
(2)为进一步推广此非遗美食，兴趣小组决定购买A、B两种型号挂面共40袋．在单价不变，总费用不超过950元，且B型挂面不少于10袋的条件下，共有几种购买方案？其中最低花费多少元？
24．在中直径与弦交于点，，连接，过点作的切线与的延长线相交于点，的延长线与的延长线相交于点．
(1)若，求的度数；
(2)连接，，再连接并延长交于点，
证明：；
若，求的直径．
25．如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)如图2，连接，过点C作与抛物线相交于另一点D．
①求点D的坐标；
②如图3，点E，F为线段上两个动点（点E在点F的右侧），且，连接，．求的最小值．
主题板块
频数（满意人数）
频率（所占比例）
A
180
0.36
B
a
0.20
C
75
D
b
c
E
1．A
【详解】本题考查了正数的概念，熟知正数的概念是解题的关键．
根据正数的定义判断各选项是否符合条件．
【分析】A．1大于0，是正数，故本选项符合题意；
B．0既不是正数也不是负数，故本选不项符合题意；
C．小于0，属于负数，故本选不项符合题意；
D．小于0，属于负数，故本选不项符合题意．
故选：A．
2．C
【分析】本题考查合并同类项、去括号、整式乘法及除法运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．分别根据合并同类项，去括号，单项式的乘除运算法则逐项判断即可．
【详解】解：A：与的字母部分不同（与），不是同类项，无法合并，故本选项的计算错误；
B：，故本选项的计算错误；
C：，故本选项的计算正确；
D：，故本选项的计算错误．
故选：C．
3．D
【分析】此题主要考查了平行线的性质．解题的关键在于熟练掌握平行线的性质；
根据两直线平行，内错角相等，即可解答．
【详解】解：如图，
∵一条公路两次转弯后，和原来的方向相同，
∴，
∴，
故选：D．
4．C
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握相关知识是解题的关键．当判别式时，方程有两个相等的实数根．代入方程系数计算判别式并解方程即可．
【详解】解：∵方程有两个相等的实数根，
∴，
∴．
故选：C．
5．A
【分析】本题考查了正方体的展开图，熟记展开图的11种形式是解题的关键，
利用不是正方体展开图的“一线不过四、田凹应弃之”（即不能出现同一行有多于4个正方形的情况，不能出现田字形、凹字形的情况）判断也可．
【详解】解：A．可以作为一个正方体的展开图，故本选项符合题意；
B．有 “田” 字格结构，不可以作为一个正方体的展开图，故本选项不符合题意；
C．不可以作为一个正方体的展开图，故本选项不符合题意；
D．不可以作为一个正方体的展开图，故本选项不符合题意．
故选：A．
6．D
【分析】本题主要考查了矩形的判定定理和平行四边形的性质，熟练掌握矩形的判定定理（对角线相等的平行四边形是矩形等 ）是解题的关键．根据矩形的判定定理，逐一分析每个选项，判断哪个条件能使平行四边形成为矩形．
【详解】解：选项A：∵ 平行四边形本身就有的性质，
∴ 此条件不能使平行四边形变为矩形，该选项错误．
选项B：∵ ，平行四边形中邻边相等时是菱形，不是矩形的判定条件，
∴ 此条件不能使平行四边形变为矩形，该选项错误．
选项C：∵ 平行四边形本身就有的性质，
∴ 此条件不能使平行四边形变为矩形，该选项错误．
选项D：∵ 矩形的判定定理之一是“对角线相等的平行四边形是矩形”，平行四边形中，
∴ 平行四边形是矩形，该选项正确．
故选：D ．
7．A
【分析】本题考查中位数，众数．逐项分析，新增线路后，求出中位数与众数，根据题意判定即可．
【详解】解：A、若新增线路长度是25公里，则数据排序为25、26、28、30、30、32．第3、4个数为28和30，平均值为29，即中位数为29．而众数仍为30（出现2次），符合题意．
B、若新增线路长度是28公里，数据排序为26、28、28、30、30、32．第3、4个数为28和30，平均值为29，即中位数为29，但众数变为28和30（各2次），与原众数30不一致，不符合题意．
C、若新增线路长度是29公里，数据排序为26、28、29、30、30、32．第3、4个数为29和30，平均值为29.5，即中位数为29.5，不符合题意．
D、若新增线路长度是30公里，数据排序为26、28、30、30、30、32．第3、4个数均为30，平均值为30，即中位数为30，不符合题意．
故选：A
8．B
【分析】本题考查直角三角形斜边中线性质和平移的性质，熟练掌握直角三角形斜边中线的性质是解题的关键．
根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，结合，得，由平移得到，根据平移对应线段相等，可知，进而得．
【详解】在中，，是中点，
∴，
∵，
∴，
∵沿方向向右平移至，
∴，
故选：B．
9．D
【分析】设买鸡的人数为，根据两种不同出钱方式下鸡的价钱不变这一关系，分别表示出两种情况下鸡的价钱，建立方程求解即可．本题主要考查了一元一次方程的实际应用，熟练掌握根据实际问题中的等量关系（鸡的价钱不变 ）建立方程求解是解题的关键．
【详解】根据题意，每人出9文钱时，总钱数为文，多出11文，故鸡的价钱为文；
每人出6文钱时，总钱数为文，不足16文，故鸡的价钱为文．
列方程：
解得：
故买鸡的人数为9人，
故选：D．
10．B
【分析】本题考查中点四边形，熟练掌握中位线定理是解题的关键
利用三角形中位线定理及特殊四边形的判定与性质求解．
【详解】如图：连接，交于点O，
因为、、、分别是四边形边的中点，
∴，；，；，；， ．
∵，
∴，
∴四边形是菱形．
∴，，
∴，
∵四边形面积为，，
∴，
解得 ．
∴
在中
．
故选：B．
11．A
【分析】本题考查了正六边形的性质，等腰三角形的性质，特殊角三角形函数，菱形的判定及性质等；由正六边形的性质得，，由余弦函数得，四边形是菱形，即可求解；掌握正六边形的性质，等腰三角形的性质，特殊角三角形函数，菱形的判定及性质是解题的关键．
【详解】解：六边形是正六边形，
，
，
，
，
同理可求：，
在中，
，
同理可求：，
四边形是菱形，
四边形的面积是：
；
故选：A．
12．B
【分析】题目主要考查二次函数的性质，与一次函数的交点，理解题意，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
根据抛物线与x轴的交点及开口方向确定系数符号，结合对称轴公式和交点坐标分析各结论的正确性即可．
【详解】解：∵抛物线过点和（），
∴设抛物线为，
∴，
∴，，
∵且，
∴，，
∴，结论①正确；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，结论②错误；
∵抛物线与直线的交点满足，
∴解得或，
若点为，对称点的横坐标为（为对称轴），
∴，
∵，
∴；
但若点为另一交点，其横坐标可能远离对称轴，导致超出范围，结论③不一定成立，错误；
当时，方程的根为和，
即，
∵，
∴不等式的解集为，结论④正确．
综上，正确结论为①④，共2个，
故选：B．
13．x≠3的一切实数
【分析】根据分式的意义的条件：分母不等于0，可知：x-3≠0，解得x的范围．
【详解】解：根据题意，则
x﹣3≠0
解得：x≠3
∴自变量x的取值范围是x≠3的一切实数；
故答案为：x≠3的一切实数．
【点睛】主要考查了函数自变量的取值范围的确定和分式的意义．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
14．##
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设动力臂是，根据“阻力阻力臂动力动力臂”列出方程，然后解方程即可，读懂题意，列出方程是解题的关键．
【详解】解：设动力臂是，
由题意得：，
解得：，
故答案为：．
15．（答案不唯一，纵坐标绝对值为即可）
【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的位置，三角形面积公式，由，，得，又的面积为，可得，所以，从而求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，
∵的面积为，
∴，
∴，
∴，
∴点的坐标可以是，
故答案为：．（答案不唯一，纵坐标绝对值为即可）
16．乙
【分析】此题考查了平均数和方差，根据平均数相同时方差越小的成绩越稳定即可解答，正确理解方差与平均数的意义是解题的关键．
【详解】解：∵他们射击训练成绩的平均数相同，，，
∴，
∴应该选择乙参加比赛，
故答案为：乙．
17．
【分析】本题考查了弧长的计算，等边三角形的性质，利用弧长计算公式计算即可．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴这个等宽曲线的周长为．
故答案为：
18．
【分析】本题考查了解直角三角形，一次函数图象上点的坐标特征，旋转性质，勾股定理，设直线与轴交于点，分别过作轴，轴，垂足分别为点，求出点，由，，则，，则有，由勾股定理得，由旋转性质可知，，所以，故有，即的纵坐标为，同理的纵坐标为，由，可判断在直线上，所以的纵坐标为，从而求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：如图，设直线与轴交于点，分别过作轴，轴，垂足分别为点，
由直线得，当时，，
∴点，
∴，
∵，，
∴，，由勾股定理得，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
由旋转性质可知：，，
∴，
∴，即的纵坐标为，
同理的纵坐标为，
∵，
∴在直线上，
∴的纵坐标为，
故答案为：．
19．（1）；（2），．
【分析】本题考查了实数的混合运算，分式的化简求值，掌握相关运算法则是解题的关键．
（）先根据负整数指数幂，二次根式性质，化简绝对值法则进行运算，然后合并即可；
（）先计算括号内的分式减法运算，然后计算分数乘法即可．
【详解】（）解：原式
；
（）解：原式
，
当时，
原式
．
20．(1)，，
(2)游客最满意的主题板块是A板块；当本届灯会实际接待游客达200000人时，估计最满意此板块的人数是72000人
(3)
【分析】本题考查了列表法和树状图法求概率，统计表的综合运用，以及用样本估计总体．
（1）利用A板块的频数和频率求得样本容量，再求出a、b、c的值；
（2）利用样本估计总体求解即可；
（3）利用树状图表示出所有可能，进而利用概率公式求出即可．
【详解】（1）解：人，
∴，
，
；
（2）解：根据以上抽样调查结果，游客最满意的主题板块是A板块．
（人）
答：当本届灯会实际接待游客达200000人时，估计最满意此板块的人数是72000人．
（3）解：画树状图如图：
共有种等可能结果，其中“1名男生和1名女生”的结果有种，
P（一男一女）．
答：恰好是1名男生和1名女生的概率是．
21．(1)；
(2)，．
【分析】本题考查了正比例函数和反比例函数的性质，菱形的性质，勾股定理等知识，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）利用待定系数法即可求解；
（）由得，又四边形是菱形，则，得到，从而求出直线的解析式为，然后联立，即可求解．
【详解】（1）解：把代入，得，
∴反比例函数解析式为；
（2）解：∵，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
把代入得，
∴
∴直线的解析式为，
∵点是反比例函数与正比例函数的交点，
∴联立解析式，
解得或，
∵，
∴．
22．(1)这两条路与等长，且它们相互垂直；
(2)如果另一端点在花园边界上时，能修建成这样的一条直路，理由见解析．
【分析】本题考查主要了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等面积法等知识，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）由四边形是正方形，则，，证明，故有，，又，则，从而求解；
（）由（）得，，由勾股定理得出，由，即，得到，则有，然后分另一端点在路段上和另一端点在花园边界上时两种情况分析即可．
【详解】（1）解：∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴这两条路与等长，且它们相互垂直；
（2）解：能修建一条这样的直路，理由如下：
由（）得，，
∵米，米，
∴米，米，米，
∴，
∴，
∴，
又∵在中有，
∴，
∴，
∴，
如果另一端点在路段上，
则在中，，
∴此种情况不成立；
如果另一端点在花园边界上时，
设，则在中，有，
∴，
∴，
∵，
∴能修建成这样的一条直路．
23．(1)A型挂面每袋20元，B型挂面每袋30元
(2)共有6种购买方案，最低费用为900元
【分析】本题考查了运用二元一次方程组解应用题，以及综合运用一次函数和一元一次不等式设计方案问题．根据题意列出方程组，不等式组以及一次函数的关系式是解题的关键．
（1）设A型挂面每袋x元，B型挂面每袋y元．根据题意列二元一次方程组求解即可；
（2）设A型挂面每袋x元，B型挂面每袋y元．先根据题意列不等式组求出a的范围为，再根据题意列出w与a的函数关系式为，根据一次函数的增减性可得时，w有最小值，据此求解即可．
【详解】（1）解：设A型挂面每袋x元，B型挂面每袋y元．
则，
得．
答：A型挂面每袋20元，B型挂面每袋30元．
（2）解：设购买B型挂面a袋，则购买A型挂面的数量为袋，总费用为w元．
则，
解得，
又a为正整数，
，11，12，13，14，15．
由题意得．
，
w随a的增大而增大，
时，w有最小值，最小值为（元）．
答：共有6种购买方案，最低费用为900元．
24．(1)；
(2)见解析；．
【分析】（）先由切线的性质可得，则，又，所以，最后通过三角形外角性质即可求解；
（）由，则，因为，故有，则，得到，通过等腰三角形的性质可证明，再根据全等三角形的性质可得，从而求证；
连接，证明，则有，所以，由知，故有，即，然后代入求解即可．
【详解】（1）解：∵是直径，是的切线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵
∴，
∴，
∴；
连接，
∵是直径，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
由知，，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键．
25．(1)
(2)①，②5
【分析】（1）利用两点式求解抛物线解析式；
（2）①延长与x轴相交于点G，证明是等腰直角三角形，从而得到点坐标，求出直线的解析式，联立抛物线解析式求解即可；②过点O作，且，连接，，设交轴为点，然后证明四边形是平行四边形，根据，得出时，最小，进一步求出即可．
【详解】（1）解：在二次函数的图象上，设该二次函数为，
，
．
（2）解：①把代入，
得，
如图，延长与x轴相交于点G．
，
．
，
．
，
．
，
，
．
设直线的解析式为：，把代入，
得解得，
直线的解析式为：，
点D是直线与二次函数的交点，
联立解析式，
解得或，
．
②如图，过点O作，且，连接，，设交轴为点．
，且，
四边形是平行四边形，
．
，
．
为等腰直角三角形，
，
，，
，
．
，
当时，最小．
，
．
此时D、E、H三点共线且轴，
点F的坐标为与点C重合，满足在线段上．
的最小值为5．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，等腰直角三角形的性质，二次函数与一次函数交点问题，二次函数与特殊四边形问题，两点之间线段最短，勾股定理，解题的关键是添加适当的辅助线，通过数形结合的思想求解；