2025秋九年级数学上册第22章一元二次方程22.5一元二次方程的根与系数的关系习题课件新版华东师大版（含答案）

第22章　一元二次方程22．2 一元二次方程的解法 *5.一元二次方程的根与系数的关系A 返回1．[教材P36习题T11(2)] 已知关于x的一元二次方程x2－5x＋2m＝0有一个根为－2，则另一个根为(　　)A．7　 B．3　 C．－7　 D．－32．[教材P35练习T2] 方程x2＋3x－6＝0与x2－6x＋10＝0的所有实数根的乘积等于(　　)A．－60 B．3 C．－6 D．10【点拨】【答案】C易得方程x2＋3x－6＝0的两根之积等于－6，方程x2－6x＋10＝0没有实数根，∴两方程的所有实数根的乘积等于－6，故选C. 返回3．关于x的方程(x－1)(x＋2)－p2＝0(p为常数)的根的情况，下列结论中正确的是(　　)A．两个正根B．两个负根C．一个正根，一个负根D．无实数根【点拨】【答案】C化简关于x的方程(x－1)(x＋2)－p2＝0(p为常数)，得x2＋x－2－p2＝0，∴Δ＝1＋8＋4p2＝9＋4p2>0，∴方程有两个不相等的实数根．根据根与系数的关系，得方程的两个根的积为－2－p20.当p＝3时，Δ＝p2－4＝9－4＝5＞0；当 p＝－1 时，Δ＝p2－4＝－3＜0.∴p＝3. 返回8．【点拨】【答案】B 返回9．【点拨】【答案】A 返回10．10x2＋3x－1＝0 【点拨】 返回11．已知实数m，n满足m2－am＋1＝0，n2－an＋1＝0，且m≠n.若a≥3，则代数式(m－1)2＋(n－1)2的最小值是________．3【点拨】由题意知，m2＋1＝am，n2＋1＝an，∴(m－1)2＋(n－1)2＝m2－2m＋1＋n2－2n＋1＝am＋an－2m－2n＝a(m＋n)－2(m＋n)＝(a－2)(m＋n)．∵实数m，n满足m2－am＋1＝0，n2－an＋1＝0，且m≠n，∴m，n可看作关于x的一元二次方程x2－ax＋1＝0的两根，∴m＋n＝a，∴(m－1)2＋(n－1)2＝a(a－2)＝a2－2a＝(a－1)2－1.∵a≥3，∴当a＝3时，(m－1)2＋(n－1)2有最小值，最小值为(3－1)2－1＝3. 返回12．已知△ABC的两边AB，AC的长是关于x的一元二次方程x2－2(n－1)x＋n2－2n＝0的两个根，第三边BC的长是10.当△ABC为等腰三角形时，△ABC的周长为________．32或28 【点拨】∵Δ＝[－2(n－1)]2－4(n2－2n)＝4＞0，∴无论x取何值，此方程总有两个不相等的实数根，即AB≠AC.∵第三边BC的长是10，∴当△ABC为等腰三角形时，AB＝BC＝10或AC＝BC＝10，∴x＝10为一元二次方程的一个根，∴100－20(n－1)＋n2－2n＝0，解得n＝12或n＝10.设等腰三角形ABC的底边长为m.①当n＝12时，方程为x2－22x＋120＝0，根据根与系数的关系，得m＋10＝22，∴m＝12，∴△ABC的周长为10＋10＋12＝32；②当n＝10时，方程为x2－18x＋80＝0，根据根与系数的关系，得10＋m＝18，解得m＝8，∴△ABC的周长为10＋10＋8＝28.综上，当△ABC是等腰三角形时，△ABC的周长为32或28. 返回13．[2024遂宁]已知关于x的一元二次方程x2－(m＋2)x＋m－1＝0.(1)求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根；【解】∵Δ＝[－(m＋2)]2－4×1×(m－1)＝m2＋4m＋4－4m＋4＝m2＋8>0，∴无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根．(2)如果方程的两个实数根为x1，x2，且x12＋x22－x1x2＝9，求m的值．∵方程x2－(m＋2)x＋m－1＝0的两个实数根为x1，x2，∴x1＋x2＝m＋2，x1x2＝m－1.∵x12＋x22－x1x2＝9，即(x1＋x2)2－3x1x2＝9，∴(m＋2)2－3(m－1)＝9.整理，得m2＋m－2＝0，解得m1＝－2，m2＝1.∴m的值为－2或1. 返回14． 返回15．请先说明μ＋2α＝1，再直接(不必书写过程)写一个三次方程且使得该三次方程的三个根分别为－α＋β＋γ，α－β＋γ，α＋β－γ.【解】由根与系数的关系，可得α＋β＋γ＝1，αβ＋αγ＋βγ＝－3，αβγ＝10，∴μ＋2α＝(－α＋β＋γ)＋2α＝α＋β＋γ＝1.新方程为x3－x2－13x－93＝0. 【点拨】由题意可设新方程为x3＋mx2＋nx＋p＝0，∵α＋β＋γ＝1，∴新的三次方程的三个根分别可化为1－2α，1－2β，1－2γ，∴(1－2α)＋(1－2β)＋(1－2γ)＝－m，(1－2α)(1－2β)＋(1－2α)(1－2γ)＋(1－2β)(1－2γ)＝n，(1－2α)(1－2β)(1－2γ)＝p，∴m＝－[3－2(α＋β＋γ)]＝－(3－2)＝－1，n＝3－4(α＋β＋γ)＋4(αβ＋αγ＋βγ)＝3－4×1＋4×(－3)＝－13，p＝1－2(α＋β＋γ)＋4(αβ＋αγ＋βγ)－8αβγ＝1－2×1＋4×(－3)－8×10＝－93，∴新方程为x3－x2－13x－93＝0. 返回