高考物理一轮复习讲义练习第十六章 学科素养聚焦　科学思维方法指导：动量守恒定律在核反应中的应用模型

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核反应包括衰变、人工转变、裂变和聚变，在核反应中，由于内力作用远大于外力作用，故在核反应前后原子核的总动量保持不变，即动量守恒。由于原子核的比结合能发生变化，因此在核反应中要涉及核能与机械能的相互转化，此过程遵循能量守恒定律。
【例1】 (多选)(2025·河南重点中学高三联考)1898年，居里夫妇发现了一种能够发出很强射线的新元素—钋( eq \\al(210, 84)P)，为此居里夫人获得了诺贝尔化学奖。现把 eq \\al(210, 84)P原子核静止放在匀强磁场中的a点，某一时刻发生β衰变，产生了新核At，形成了如图所示的A和B两个圆轨迹。下列说法正确的是( AC )
A． eq \\al(210, 84)P的衰变方程为 eq \\al(210, 84)P―→ eq \\al(210, 85)At＋ eq \\al( 0,－1)e
B．把 eq \\al(210, 84)P放在磁场中，其半衰期会增大
C．A、B两个圆的半径之比为85∶1
D．释放出的粒子和反冲核圆周运动的旋转方向均为顺时针方向
【解析】 eq \\al(210, 84)P的衰变方程为 eq \\al(210, 84)P→ eq \\al(210, 85)At＋ eq \\al( 0,－1)e，故A正确；放射性元素的半衰期是由原子核内部自身的因素决定的，跟原子所处的物理环境和化学状态没有关系，故B错误；原子核发生衰变时，由动量守恒定律可知粒子和反冲核的动量大小相等、方向相反，在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，则有qvB＝ eq \f(mv2,R)，解得圆周运动半径R＝ eq \f(mv,qB)＝ eq \f(p,qB)，p为动量，则半径R与电荷量q成反比，两粒子的电荷量大小分别为e和85e，则RA∶RB＝85∶1，故C正确；由左手定则知，反冲核的速度方向向右，做圆周运动的旋转方向为逆时针方向，粒子的速度方向向左，做圆周运动的旋转方向为顺时针方向，D错误。
【例2】 (多选)如图所示，匀强磁场磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，一静止的 eq \\al(238, 92)U核在匀强磁场中发生α衰变，α粒子与新核运动轨迹为两个圆周。已知小圆和大圆半径分别为R1和R2。电子所带电荷量为e，α粒子与新核的核子平均质量为m0，衰变过程中释放的核能全部转化为动能。下列说法正确的是( BC )
A．小圆为α粒子的运动轨迹
B．衰变过程中释放的核能为 eq \f(119e2B2R eq \\al(2,2),234m0)
C．R2＝45R1
D．α粒子和反冲核的运动周期之比为 eq \f(92,117)
【解析】 根据牛顿第二定律得qvB＝m eq \f(v2,r)，解得r＝ eq \f(mv,qB)，衰变时动量守恒，而α粒子电荷量较小，所以运动轨迹半径较大，A错误；根据动量守恒定律得4m0v＝(238－4)m0v′，衰变过程中释放的核能E＝ eq \f(1,2)×4m0v2＋ eq \f(1,2)(238－4)m0v′2，结合半径公式得R1＝ eq \f(234m0v′,90eB)＝ eq \f(4m0v,90eB)，R2＝ eq \f(4m0v,2eB)，联立解得R2＝45R1，E＝ eq \f(119e2B2R eq \\al(2,2),234m0)，B、C正确；根据周期公式T＝ eq \f(2πm,qB)得 eq \f(Tα,T)＝ eq \f(\f(mα,qα),\f(m,q))＝ eq \f(4,234)· eq \f(90,2)＝ eq \f(90,117)，D错误。
【跟踪训练1】 静止的 eq \\al(239, 94)Pu核发生α衰变，产生的新核为 eq \\al(235, 92)U，释放出的α粒子的动能为E，假设衰变时能量全部以动能形式释放出来，则衰变过程中总的质量亏损是(光速为c)( B )
A． eq \f(4E,235c2) B． eq \f(239E,235c2)
C． eq \f(239E2,4c2) D． eq \f(235E,4c2)
解析：假设新核质量为m1、速度为v1，α粒子质量为m2、速度为v2，由动量守恒定律可得m1v1＋m2v2＝0，得 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(v1,v2)))＝ eq \f(m2,m1)＝ eq \f(4,235)，新核的动能与α粒子的动能之比为 eq \f(E1,E2)＝ eq \f(m1v eq \\al(2,1),m2v eq \\al(2,2))＝ eq \f(4,235)，所以E1＝ eq \f(4,235)E2＝ eq \f(4,235)E，由质能方程可得E＋ eq \f(4,235)E＝Δm·c2，解得Δm＝ eq \f(239E,235c2)，故选B。
【跟踪训练2】 静止在匀强磁场中的碳14原子核发生衰变，放射出的粒子与反冲核的运动轨迹是两个内切的圆，两圆的直径之比为7∶1，如图所示，那么碳14的衰变方程为( D )
A． eq \\al(14, 6)C―→ eq \\al( 0,－1)e＋ eq \\al(14, 5)B B． eq \\al(14, 6)C―→ eq \\al(4,2)He＋ eq \\al(10, 4)Be
C． eq \\al(14, 6)C―→ eq \\al(2,1)H＋ eq \\al(12, 5)B D． eq \\al(14, 6)C―→ eq \\al( 0,－1)e＋ eq \\al(14, 7)N
解析：原子核的衰变过程满足动量守恒，粒子与反冲核的速度方向相反，根据左手定则，粒子与反冲核的电性相反，则知粒子带负电，所以该衰变是β衰变，此粒子是β粒子，符号为 eq \\al( 0,－1)e，根据动量守恒定律可得m1v1＝m2v2，带电粒子在匀强磁场中做圆周运动，满足qvB＝m eq \f(v2,r)，可得半径为r＝ eq \f(mv,qB)，因mv大小相等，r与q成反比，因大圆与小圆的半径之比为7∶1，则得粒子与反冲核的电荷量之比为1∶7，所以反冲核的电荷量为7e，电荷数是7，其符号为 eq \\al(14, 7)N，所以碳14的衰变方程为 eq \\al(14, 6)C―→ eq \\al( 0,－1)e＋ eq \\al(14, 7)N，故A、B、C错误，D正确。
【跟踪训练3】 在磁感应强度为B的匀强磁场中，一个静止的放射性原子核发生了一次α衰变。放射出的α粒子( eq \\al(4,2)He)在与磁场垂直的平面内做圆周运动，其轨道半径为R。以m、q分别表示α粒子的质量和电荷量。
(1)放射性原子核用 eq \\al(A,Z)X表示，新核的元素符号用Y表示，写出该α衰变的核反应方程；
(2)α粒子的圆周运动可以等效成一个环形电流，求圆周运动的周期和环形电流大小；
(3)设该衰变过程释放的核能都转化为α粒子和新核的动能，新核的质量为M，求衰变过程的质量亏损Δm。
解析：(1)核反应方程为 eq \\al(A,Z)X―→ eq \\al(A-4,Z－2)Y＋ eq \\al(4,2)He。
(2)设α粒子的速度大小为v，
由qvB＝m eq \f(v2,R)，T＝ eq \f(2πR,v)，
得α粒子在磁场中运动的周期T＝ eq \f(2πm,qB)，
环形电流大小I＝ eq \f(q,T)＝ eq \f(q2B,2πm)。
(3)由qvB＝m eq \f(v2,R)，解得v＝ eq \f(qBR,m)，
设衰变后新核Y的速度大小为v′，系统动量守恒，有Mv′－mv＝0，
联立可得v′＝ eq \f(mv,M)＝ eq \f(qBR,M)，
由Δmc2＝ eq \f(1,2)Mv′2＋ eq \f(1,2)mv2，
解得Δm＝ eq \f((M＋m)q2B2R2,2mMc2)。
答案：(1) eq \\al(A,Z)X―→ eq \\al(A-4,Z－2)Y＋ eq \\al(4,2)He
(2) eq \f(2πm,qB) eq \f(q2B,2πm) (3) eq \f((M＋m)q2B2R2,2mMc2)