江西省吉安市五校联盟2025-2026学年高一上学期第一次大联考试题 数学试卷

这是一份江西省吉安市五校联盟2025-2026学年高一上学期第一次大联考试题 数学试卷，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第一部分（选择题 共 58 分）
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。
1 命题“  x  1, x2  3x  2  0 ” 的否定是（）
A x  1, x2  3x  2  0Bx  1, x2  3x  2  0
Cx  1, x2  3x  2  0Dx  1, x2  3x  2  0
2集合 M  2,4,6,8,10, N  x 1  x  6，则
M ∩ N  （）
A2,4
C2,4,6,8
B2,4,6
D2,4,6,8,10
已知a, b, c  R ,那么下列命题中正确的是（）
ab
A若a  b, 则ac2  bc2B若  ，则a  b
cc
C若a  b ， ab  0 ，则 1  1D若a2  b2 , ab  0 ，则 1  1
abab
“x 1”的一个充分不必要条件是（）
x  1
x  2
x  0
x  1
已知集合 M  x x  3k 1, k  Z, N  x x  3k 1, k  Z，则CZ M ∩ N   （）
x x  3k, k  Z
Cx x  3k  2, k  Z
x x  3k 1, k  Z
Dϕ
已知关于 x 的不等式ax  b  0 的解集为x x  4，则关于 x 的不等式bx2  ax  0 的解集为（）
11
Ax  4  x  0Bx x   4 或x  0

1 

1 
Cx 0  x  4 D x x  0或x  4 

若存在实数 x  0, y  0 ，且3x  y  1 ，使不等式值范围为（）
3
x 1
4
y 1
 m2  2m  3 能成立，则实数m 的取
A 4,2
C 2,4
B ,4∪ 2,
D ,2∪ 4,
设集合 A  x x2  3x  4  0, x  Z , B  x x2  2a 1x  a2  a  2  0, x  Z , A∩ B 的真子集的
个数为 3，则实数 a 的取值范围为（）
Aa 1  a  0或2  a  3
Ca  2  x  1或3  a  4
B a 1  a  0或2  a  3
Da  2  a  1或3  a  4
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．
下列命题中不正确的是（）
ϕ是空集B若a  N ,则 a  N
C集合x x2  2x 1  0中只有一个元素D集合x  Q 6  N 是有限集
x


下列命题中为假命题的是（）
若1  x  5 ，则
1
x 1
1
5  x
的最小值为 1
若a  b  0 ，则c  0 是“ a
b
a  c
”的充要条件
b  c
不等式kx2  kx 1  0 对一切实数 x 恒成立，则 4  k  0
“ x  5 ”是“
3 1 ”的一个必要不充分条件
x 1
若平面点集满足：任意点x, y M ,存在正实数t ，都有点tx, ty M ，则称该点集为“ t 阶集”，则下列说法正确的是（）
若 M  x, y y  2 是“ t 阶集”，则t  1
x


若 M  x, y y  2x是“ t 阶集”，则t 为任意正实数
若 M  x, y x2  4 y是“ t 阶集”，则0  t  1
若 M  x, y y x是“ t 阶集”，则t  1
第二部分（非选择题 共 92 分）
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
已知集合 A  N ,则CN A  .
已知正数m, n 满足2m  3n  mn  0 ，则2m  3n 取到最小值时， m  n  .
要制作一个容积为4 m3 ，高为 1 m 的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米 20 元，
侧面造价是每平方米 10 元，则该容器的最低造价是元。
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15（13 分）已知集合 A  x t  x  3  t， B  x x  2或x  3，
1 若 A 中只有一个元素，求实数t 的值；
2若 A ∪ B  R ，求实数t 的取值范围；
3若 A  B ，求实数t 的取值范围。
000
16（15 分）已知a  R ,命题 p : x  1,2, x2  a; 命题q : x  R, x 2  2ax  a  2  0 。
1 若 p 是真命题，求实数 a 的最大值；
2若 p, q 中有且只有一个真命题，求实数 a 的取值范围。
17（15 分）求关于 x 的不等式的解集： ax2  2a 1x  2  0 （其中 a 为常数）。
18（17 分）已知正数a,b 满足 1  1  1，
ab
1 求a  b 的最小值；
2求
4a 
a 1
9b b 1
的最小值；
3求2a2  b2  4a  2b 的最小值。
19（17 分）已知集合 A  a , a , a ,, a  N  ,其中n  N  且n  3 ， a  a  a   a
。若对任
123n123n
意的 x, y  A ， x  y，都有 x  y  xy ， k  N  ,则称集合 A 具有性质 M 。
kk
1 若集合 A  1,2, a具有性质 M 3 ,求实数 a 的最小值；
2已知集合 A 具有性质 M，求证： 1  1
 n 1 ；
a
a
15
1n
15
3已知集合 A 具有性质 M15 ，求集合 A 中元素个数的最大值，并说明理由 。
吉安市五校联盟 2028 届高一第一次大联考（2025.10）数学参考答案
C解析 全称量词命题的否定为存在量词命题
A
C解析 A 选项中 c  0 错误；B 选项中由 a  b 得 a  b  a  b  0 ，可能两种情况；C 选项中，
1b  a
1b  a
ccccc
1111
  0 ；D 选项中  ，当 a  b  0时，   0; 当 a  b  0时，   0 。
bababababab
B解析“x  2”“x  1”，反之不成立。
A解析 M ∪ N 表示被 3 除余数为 1 或 2 的整数集合，则它在整数集中的补集是恰好被 3 整除的整数
集。
C解析 由 ax  b  0得ax  b 。若 a  0 得 x   b ；若 a  0 得 x   b 。故 a  0且 b  4 ，即
aaa
a  0, b  4a  0 。所以4ax2  ax  ax4x 1  0 ，解得0  x  1 。
4
D解 析因 为a  0, b  0,3x  y  1， 所 以3x 1 y 1  5 ， 即
34
 1  3

4 3x 1 y 1 
1 

13 
3y 1
12x 1

1 13  2
312  5 ，
x 1
y 1
5  x 1
y 1
5 x 1
y 1 5


当且仅当 3y 1  12x 1, 即 x  0, y  1 取等号。
x 1y 1
A解析 集合 A  0,1,2,3， 由 x2  2a 1x  a2  a  2  0 得 x  a  2 x  a 1 0 ， 即
a 1  x  a  2 ，所以集合 B  x  Z a 1  x  a  2。若 A∩ B 的真子集的个数为 3，则 A∩ B 中元素
的 个 数 为 2. 若 A ∩ B  2,3, 则 1  a 1  2且3  a  2 ， 解 得 2  a  3 ； 若 A ∩ B  0,1， 则
a 1  0且1  a  2  2 ，解得1  a  0 。所以选 A。
ABD解析 ϕ中有元素ϕ；若 a  0,a  0  N ;若 x  1 , k  Z时x 有无数个符合题目条件。
k
10BC解析由x 1 5  x  4得
x 1 
4
5  x
4
 1，
 11  x 1  5  x   1  2  5  x  x 1   1 2  2  1 ，当且仅当 x  3 等号成立，A 正确；


4


 x 1
5  x 
 4
4 
x 1
5  x 4
a  a  c  ca  b  0 ，是充分条件，但可能c  0, b  c  0 ，不是必要条件，所以 B 错误。C 选项中显
b  cbb  c
然 k  0 也成立，错误；
 1 的充要条件为
3
x 1
2
3
x 1
2
1  4  x  0 ，得1  x  4 ，D 选项正确。
x 1
2
ABC解析A 选项中， xy  2, ty 
，即t
tx
xy  2  t
 1, 又有t  0得t  1；
B 选项中， y  2x, ty  2tx ,所以 y  2x 恒成立， t 为任意正实数；
 2 
C 选项中， x2  4 y, tx2  4ty, tx2  4 y, 所以t   4 y 
x
 1，故0  t  1 ；
x 
max
x,x y
x
t
D 选项中， ty 
0
tx ,
 
 y min
，已知 y 
 1, 故1为
y
的最大值。
23
10解析由
2m  3n  mn  0得 
nm
 1, m  0, n  0. 则
36
9n4m
2m  3n 2  3   12  9n  4m  12  2 24 ，当且仅当即m  6, n  4 取等号。
n
m
m
n
m
n
 

160解析设该容器总造价为 y 元，长方体底面矩形为 x 米，则长方体底面矩形宽为 4 米，由题意得
x
4
y  20  4  2  4   80   4   160 ， 当 且 仅 当 x  即 x  2 等 号 成 立 。
x
10 2x
x 
20 x 
x
解析 1 由集合 A 中只有一个元素得t  3  t,即t  3 3分；
2
3t 3
2由A ∪ B  R 得t 2 , 得t  2
5分；
故实数t 的取值范围为 ,27分；
3若 A ϕ, t  3  t得t  3 9分，
2
3t 2
t 3
若 A  ϕ, 由 t 3t , 或t 3t 得t 不存在11分
综上， t  3 ,13分
2
 

解析1 由题意得任意1  x  2, x2  a 恒成立，因为函数 y  x2 在区间1,2内图像得 x2 的最小值为 1，故实数a 的最大值为 1.6分
2若q 真，   2a2  4a  2  07分
解得 a  2或a  19分
由已知 p, q 一真一假得：
2a1
若 p真q假，则a12a1⁝12分， 若 p假q真，则a1 a  114分，
a2或a1
综上，实数a 的取值范围为a  2  a  1或a  115分
解析 因为 ax2  2a 1x  2  ax 1x  2 2分
所以当 a  0时，方程 ax2  2a 1x  2  0 的根为 2 3分
当 a  0时，方程 ax2  2a 1x  2  0 的根为 2和1 4分
a
若 a  0时，不等式 x  2  0 解得 x  2 5分
若 1  2 即 a   1 时，不等式为 1 x  22  0 解得 x  2 6分
a22
111
若 a   , 则
a
 2 解得 x  2或x 
8分
a
1
若  a  0,则1
a
1
 2 解得 x  1
a
1
或x  210分
若 a  0则
a
2 解得 2  x 
1
12分
a
1 
综上， a   2 , 时，不等式的解集为x x  2或x  a ;

a   1 时，不等式的解集为x x  2，
2
11
 2  a  0时，不等式的解集为x x  a 或x  2，

a  0时，不等式的解集为x x  2，
1 
a  0时 不等式的解集为x  2  x  a  。15分

1 a  b  a  b 1  1   2  a  b  2  2  4
a
b
b
a
解析
 ，

当且仅当 a  b  2 的时候等号成立。
所以 a  b 的最小值为 4.3分
2原式49，设1 1  x ，1 1  y ，则 x  y  1。
1 1
a
49
1 1a
b
 49 
b
4 y9x
36
所以上式
     x  y  13 
xyxy
 13  2
y
 25 7分

4 y  9x 即2 y 3x , 得x  2 y  3 ,
当且仅当 x
x y 1
5,5
此时 a  5 , b  5 ,9分，
32
所以 4a  9b 的最小值为 25.10分
a 1b 1
3由1  1  1得a 1b 1  1
ab
原式 2a2  4a  2 b2  2b 1
 2a 12  b 12  3
2a 12 b 12
 2
 3  2
2
 1  1 1
 3 14分
ab
当 且 仅 当
 2a12 b12

a  1 1 , b  1 4 2,
时 等 号 成 立 ，
4 2
， 即
16分
2
所以2a2  b2  4a  2b 的最小值为2 317分。
 a1 a
3
解析
1

由 M 3 的定义得
a2 2a
3
，得 a  6 ，
 a  N
又
,所以a
的最小值为 6
4分
2
由 题 意 得
ai  ai1
 ai1
 ai
 aiai1 , i  1,2,3,n 1
， 且
15
a1  a2
 a3
  a
n ， 所 以
1  1  1 7分
aiai1
1
15
1 11  11 
 11 
n 1
所以 a  a
 
aa
  
a
  
aa
 
a
10分
15
1n 1
2  23 
 n1n 

 a 1
3
2
1
1  n1
n 1  1即n  1611分
由题意和得  a15，故 15
 1
由2
1
同理可证 a
 1  n  i i  1,2,3,n 1
an15
1
a
，所以
i
n  i
15
a  i
1  n  i
in  i  15
i  1,2,3,, n 1
14分
又由 i
，所以 i
15 ，即在
恒成立
i  n  i2n2

由基本不等式得i n  i  
2
 15
4