2024~2025学年广西梧州市普通高中高二（上）期中考试数学试题（学生版）

这是一份2024~2025学年广西梧州市普通高中高二（上）期中考试数学试题（学生版），共6页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 若直线的倾斜角为则实数值为（ ）
A. B. C. D.
3. 与双曲线有公共焦点，且短轴长为2的椭圆方程为（ ）
A. B.
C. D.
4. 如图，在中，D为AB的中点，E为CD的中点，设，，以向量，为基底，则向量（ ）
A B.
C. D.
5. 已知平面的一个法向量为，直线的方向向量为，若，则实数（ ）.
A. 1B. 2C. 3D. 4
6. 在2024年梧州“半程马拉松”活动中，组委会将小明等四位志愿者分配到三个场馆执勤，若每个场馆至少分到一人，且小明不能被分配到场馆，则不同分配方案的种数是（ ）
A. 24B. 36C. 48D. 60
7. 函数的部分图象如图，将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则的单调减区间为（ ）
A. （）
B. （）
C. （）
D. （）
8. 已知是双曲线的右焦点，是左支上一点，，当周长最小时，该三角形的面积为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 人均国内生产总值是人们了解和把握一个国家或地区的宏观经济运行状况的有效工具，即“人均GDP”，常作为发展经济学中衡量经济发展状况的指标，是最重要的宏观经济指标之一.在国家统计局的官网上可以查询到我国2013年至2022年人均国内生产总值（单位：元）的数据，如图所示，则（ ）
A. 2013年至2022年人均国内生产总值逐年递增
B. 2013年至2022年人均国内生产总值的极差为42201
C. 这10年的人均国内生产总值的80%分位数是71828
D. 这10年的人均国内生产总值的增长量最小的是2020年
10. 为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑假开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列说法正确的是（ ）
A. 某学生从中选2门课程学习，共有30种选法
B. 课程“乐”“射”排在相邻两周，共有240种排法
C. 课程“御”“书”“数”排在不相邻的三周，共有72种排法
D. 课程“礼”不排在第一周，课程“数”不排在最后一周，共有504种排法
11. 已知抛物线的焦点为，过点的动直线与交于M，N两点，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 若，则
C. 为定值
D. 为钝角三角形
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 计算_____．
13. 若圆和圆恰有三条公切线，则实数____________．
14. 在正四棱柱中，已知，，则点到平面的距离为______；以A为球心，2为半径的球面与该棱柱表面的交线的总长度为______.
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 在中，角的对边分别为．
（1）求；
（2）若的面积为边上的高为1，求的周长．
16. 近年来，中学生体质健康情况成了网络上的一个热门话题，各地教育部门也采取了相关的措施，旨在提升中学生的体质健康，其中一项便是增加中学生一天中的体育活动时间．某地区中学生的日均体育活动时间均落在区间内，为了了解该地区中学生的日均体育活动时间，研究人员随机抽取了名中学生进行调查，所得数据统计如下图所示．
（1）求的值以及该地区中学生日均体育活动时间的平均数；
（2）求这人日均体育活动时间不少于的人数；
（3）现按比例进行分层抽样，从日均体育活动时间在和中学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取3人，求至多有1人体育活动时间超过的概率．
17. 如图，在以A、B、C、D为顶点的多面体中，四边形是边长为2的正方形.平面，，且.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的正弦值.
18. 已知在平面直角坐标系中平面内动点T满足.记动点T的轨迹为曲线E.
（1）求曲线E方程，并说明是什么曲线；
（2）已知直线过点.
①若直线与曲线E相切，求直线的方程；
②若直线与曲线E交于不同的两点.已知设直线的斜率分别是 问否为定值，若是，求出此定值，若不是，请说明理由.
19. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 为椭圆的一个顶点，离心率为
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设直线与椭圆C交于A，B两点.
①若直线过椭圆右焦点，且的面积为求实数k的值；
②若直线过定点，且，在x轴上是否存在点使得以、为邻边的平行四边形为菱形？若存在，则求出实数t的取值范围；若不存在，请说明理由.