湖北省荆州市沙市中学2025-2026学年高一上学期10月月考数学试题 Word版含解析含答案解析

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命题人：郭松 审题人：冷劲松
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 命题“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】存在量词命题的否定，将存在改为任意，并否定原结论，即可得.
【详解】由题意有“，”的否定是“，”，
故选：D.
2. 满足⫋的集合A的个数为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】根据集合之间的关系直接得出结果.
【详解】集合A可以是，共3个.
故选：B.
3. 以下函数中，在上单调递减且是奇函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】A选项，根据解析式直接得到函数在上单调递减，且为奇函数；BC选项，判断出函数为偶函数，D选项，函数不满足在单调递减.
【详解】A选项，在R上单调递减，且，
故是奇函数，满足要求，A正确；
B选项，定义域为R，且，故为偶函数，B错误；
C选项，定义域为R，且，
故为偶函数，C错误；
D选项，在上单调递增，D错误.
故选：A
4. 已知函数在区间上的值域为，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分析的函数值，结合图象确定出值域为时的范围.
【详解】因为，且，
令，解得或，作出图象如下图所示，
由图象可知，当时，若的值域为，则，
故选：C.
5. 设正数x，y满足，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由，可将化为，然后由基本不等式可得答案.
【详解】因，则.
当且仅当，即时取等号.
故选：A
6. 已知函数，若对于，且，都有，则实数a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由函数单调性的定义推出在R上单调递增，再由分段函数的性质求解即的.
【详解】不妨设，由，可得：，
则函数，在R上单调递增，
则，解得，
即实数a的取值范围为．
故选：B．
7. 函数.若，使得，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查函数的值域.由题可得在上的值域，以及在上的值域，要使，有，则在上的值域为在上的值域的子集，利用集合间的基本关系确定参数的范围即可.
【详解】由题可得，要使，有，
则在上的值域为在上的值域的子集，
在上单调递减，∴函数在上的值域为，
为开口向上的二次函数，其对称轴为，
当，即时，在上单调递增，在上的值域为，
∴，解得，无解；
当，即时，在上单调递减，在上的值域为，
∴，解得，无解；
当，即时，在上的值域为，
∴，解得，∴.
综上，的取值范围为.
故选：A.
8. 已知函数，，若存在实数、、，使得，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由对勾函数的单调性可得出，由作差可得出，再结合已知条件得出，化简代数式，利用基本不等式可求得的最小值.
【详解】因为函数在上单调递减，在上单调递增，
由题意可知，
由可得，
即，
因为，则，故，
因为，则，
所以，
，
因为，函数、在上单调递减，
故函数在上单调递减，当时，，
所以，，
当且仅当时，即当时，等号成立，
因此，的最小值为.
故选：C.
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分．）
9. 关于的不等式（）的解集可以是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据给定条件，分类求解不等式，进而判断得解.
【详解】不等式中，当时，，解得，A可能；
当时，不等式化为，解得，
当时，不等式化为，若，则；B可能；
若，则或；若，则或，
C不可能，D可能.
故选：ABD
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 函数的定义域为，则函数的定义域为
B. 函数在定义域内是减函数
C. 函数的值域为
D. 定义在上的函数满足，则
【答案】AD
【解析】
【分析】求出抽象函数定义域判断A；由单调性判断B；求出函数值域判断C；利用方程组法求出解析式判断D.
【详解】对于A，在函数中，，则，因此函数的定义域为，A正确；
对于B，函数的定义域为，在定义域内不单调，B错误；
对于C，函数的定义域为R，，则，C错误；
对于D，由，得，联立解得，D错误.
故选：AD
11. 若存在函数，使得函数满足，则称是“变量函数”.已知函数，，，若是“变量函数”，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.
C. 的最小值为
D. 若恒成立，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据题意列出不等式，令可判断A；根据一元二次不等式恒成立的条件可判断BD，利用配方法可判断C.
【详解】由题意可知在上恒成立，令得，
即，故A正确；
由可得，代入不等式组中整理得，
所以，故B错误；
由可得，所以，所以的最小值为，故C正确；
若恒成立，即恒成立，
所以有，故D正确.
故选：ACD
三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分．）
12. 已知，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用代入法直接进行求解即可.
【详解】
，
故答案为：
13. 已知，，，则的最小值为___________．
【答案】5
【解析】
【分析】由，，得，则，根据基本不等式即可得出，从而求出的最小值.
详解】由，可得，
则，
当且仅当，即，时等号成立．
因此，的最小值为5．
故答案为：5．
14. 已知函数，记，，若，则实数的取值范围是______.
【答案】或
【解析】
【分析】由时，的两个根为，（设，得到参数间的关系，由两个集合相等得出，进而得，即可验证，当时，根据判别式即可求解.
【详解】当时，所以，解得或，
设的两个根为，（设，
，，，
由，得，
由于，则，
故，此时，,符合题意，
当时，，解得，此时 ，
此时对，故对任意的恒成立，
故,满足，
综上可知或
故答案为：或
四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．）
15. 已知，或．
（1）若，求的取值范围；
（2）若，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）分和两种情况讨论求解即可；
（2）由题意得，从而可求出的取值范围．
【小问1详解】
①当时，，∴，∴．
②当时，要使，必须满足，解得．
综上所述，的取值范围是．
【小问2详解】
∵，，或，
∴，解得，
故所求的取值范围为．
16. 已知函数的图象过点，且满足．
（1）求函数解析式：
（2）求函数在上最小值；
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，结合二次函数的图象与性质，列出方程，求得的值，即可求得函数的解析式；
（2）根据题意，结合二次函数的性质，分类讨论，即可求解.
【小问1详解】
解：函数满足，则函数的图象关于对称，
可得，解得，即，
又由函数的图象过点，可得，解得，
所以函数的解析式为.
【小问2详解】
解：由（1）知，可得其图象开口向上，对称轴为，
当时，可得在区间上单调递增，所以；
当时，可得在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以；
当时，可得在上单调递减，所以，
所以函数在上的最小值.
17. 函数的定义域为，对，，都有；且当时，．已知．
（1）求，；
（2）判断并证明的单调性；
（3）解不等式：．
【答案】（1）；
（2）在上单调递增，证明见解析
（3）或
【解析】
【分析】（1）利用赋值法即可求，的值；
（2）根据函数单调性的定义即可判断的单调性并证明；
（3）结合函数单调性将不等式进行转化，即，可解不等式.
【小问1详解】
令，则，，
令，则，
又，；
【小问2详解】
任取，且，
则，
∵，
∴，
∴，
即，
所以在上单调递增．
【小问3详解】
由，
即，
也就是，
即，因为在上是增函数，
所以，
可得不等式解集为或.
【点睛】关键点点睛：由，即，也就是，即，再结合函数单调性即可解不等式.
18. 已知函数．
（1）若的解集为，求，的值；
（2）若，求不等式的解集；
（3）在（1）的条件下，若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）答案见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根据不等式解集得到方程的两根为1，2，代入后得到方程组，求出答案；
（2）变形为，分，，，和五种情况，得到不等式的解集；
（3）只需，换元后，由基本不等式求出函数最小值，进而得到，求出答案.
【小问1详解】
因为关于的不等式的解集为，
所以关于的方程的两根为1，2，
所以解得
【小问2详解】
因为，所以．
①当时，不等式为，解集为；
②当时，不等式可化为，解集为或；
③当时，，不等式可化为，解集为；
④当时，，不等式可化为，解集为；
⑤当时，，不等式可化为，解集为，
综上，当时，解集为；当时，解集为或；
当时，解集为；当时，解集为；
当时，解集为.
【小问3详解】
由（1）知不等式对任意恒成立，
即对任意恒成立，
只需．
因为，且，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以，，故实数的取值范围为．
19. 给定函数，若实数使得，则称为函数的不动点，若实数使得，则称为函数的稳定点，函数的不动点一定是该函数的稳定点.
（1）求函数的不动点：
（2）设，，且恰好有两个稳定点和.
（i）求实数的取值范围，
（ii），，求实数的取值范围.
【答案】（1）不动点为－2和3
（2）（i）；（ii）
【解析】
【分析】（1）令，求出或，得到答案；
（2）（i），变形得到，此方程恰好有两个不同的实数解，分和两种情况，结合根的判别式得到不等式，求出的取值范围；
（ii）法一：在（i）知，的两个稳定点为和1，分和两种情况，换元，再根据对称轴分为，，和四种情况，求出每种情况下的值域，得到不等式，求出答案；
法二：由（i）知，的两个稳定点为和1，取，得，
解得，所以，，结合（i）知，，故，有，换元，根据对称轴得到函数单调性，求出值域，得到不等式，求出实数的取值范围为.
【小问1详解】
令，得，整理得，解得或，
经检验知均满足要求，故函数的不动点为－2和3.
【小问2详解】
（i）令，得，
即，得，
所以有，此方程恰好有两个不同实数解.
①当，即时，方程化为，
仅有一个实数解，不满足题意；
②当时，要么方程无实数解，
要么方程仅有一个实数解为1或者.
故或或，
解得或.
综上，当恰好有两个稳定点时，实数的取值范围为.
（ii）法一：由（i）知，的两个稳定点为和1，
当时，，故，，
于是，.
此时函数的对称轴，令.
①当时，，单调递减，在单调递增，
，，故，
而，故在单调递减，在单调递增，
注意到，故，
所以当时的值域为，
即的值域为.于是由题意得，无解.
②当时，在单调递增，
当时，，，
即的值域为，不满足题意，舍去.
当时，，故，，
于是，，此时函数的对称轴，
令.
③当时，，在单调递增，
当时，，，即的值域为，
于是有，解得；
④当时，，在单调递减，在单调递增，
，，故，
而，故在单调递减，在单调递增，
注意到，故，
所以当时的值域为，
即的值域为.于是由题意得，解得.
综上，实数的取值范围为.
法二：由（i）知，的两个稳定点为和1，
因为，，故取，得，
解得，所以，，
因为，解得，
由（i）知，，故，
故有，.
当时，，令，当时，
因，，故.
而，故在单调递减，在单调递增，
注意到，故，
所以当时的值域为，
即的值域为.
于是由题意得，解得.
所以实数的取值范围为.
【点睛】方法点睛：新定义问题的方法和技巧：
（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；
（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；
（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；
（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念.