专题05 双曲线（期中复习讲义，13大核心题型）（原卷版+解析版）高二数学上学期人教版A版

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知识点01 双曲线的定义
1、定义：在平面内与两个定点、的距离之差的绝对值等于非零常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线．两个定点、称为焦点；两焦点的距离叫做双曲线的焦距，表示为．
2、双曲线的集合表示：．
注意：（1）若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：
（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；
（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；
（2）若常数满足约束条件：，
则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）；
（3）若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在；
（4）若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线。
知识点02 双曲线的标准方程
1、双曲线的标准方程
2、待定系数法求双曲线标准方程
知识点03 双曲线的焦点三角形
求双曲线中的焦点三角形面积的方法
（1） = 1 \* GB3 ①根据双曲线的定义求出；
= 2 \* GB3 ②利用余弦定理表示出、、之间满足的关系式；
= 3 \* GB3 ③通过配方，利用整体的思想求出的值；
= 4 \* GB3 ④利用公式求得面积。
（2）利用公式求得面积；
知识点04 双曲线的简单几何性质
1、双曲线的简单几何性质
2、等轴双曲线
（，）当时称双曲线为等轴双曲线
性质：
①；
②离心率；
③两渐近线互相垂直，分别为；
④等轴双曲线的方程，；
3、对双曲线离心率的理解
在椭圆中，椭圆的离心率可以刻画椭圆的扁平程度．在双曲线中，双曲线的“张口”大小是图象的一个重要特征．因为，所以当的值越大，渐进线的斜率越大，双曲线的“张口”越大，也就越大，故反映了双曲线的“张口”大小，即双曲线的离心率越大，它的“张口”越大．
【常用结论】
①若渐近线方程为，则双曲线方程可设为，
②若双曲线与有公共渐近线，则双曲线的方程可设为（，焦点在轴上，，焦点在轴上）
知识点05 直线与双曲线的位置关系
设直线，双曲线联立解得：
（1）时，，直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）；
，，或k不存在时，直线与双曲线没有交点；
（2）时，存在时，若，，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；
若，
时，，直线与双曲线相交于两点；
时，，直线与双曲线相离，没有交点；
时，直线与双曲线有一个交点；相切
当不存在，时，直线与双曲线没有交点；直线与双曲线相交于两点；
注：直线与双曲线有一个公共点时，直线不一定与双曲线相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交，只有一个交点．
知识点06 弦长公式
1、直线被双曲线截得的弦长公式，设直线与椭圆交于，两点，为直线斜率

知识点07 双曲线中点弦与点差法
设为双曲线弦（不平行轴）的中点，则有
证明：设，，则有，
两式相减得：
整理得：，即，因为是弦的中点，
所以：
所以
题型一 双曲线的定义及其辨析
1．（24-25高二上·安徽蚌埠·期末）已知，，动点P满足，则点P的轨迹是（ ）
A．椭圆B．双曲线的一支C．双曲线D．射线
2．（23-24高二上·广西玉林·期末）已知点，则满足下列关系式的动点的轨迹是双曲线的下支的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2024高二·全国·专题练习）相距千米的，两地，听到炮弹爆炸的时间相差2秒，若声速每秒千米，则炮弹爆炸点的轨迹可能是（ ）
A．双曲线的一支B．双曲线C．椭圆D．圆
4．（24-25高二上·新疆·阶段练习）双曲线上一点到其中一个焦点的距离为，则这个点到另外一个焦点的距离为（ ）
A．B．C．D．
5．若动点满足方程，则动点P的轨迹方程为（ ）
A．B．C．D．
题型二 判断方程是否表示双曲线
1．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）当取下列选项中哪组值时，方程表示双曲线（ ）
A．B．
C．D．
2．（24-25高二下·甘肃庆阳·开学考试）已知方程表示焦点在x轴上的双曲线，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（24-25高二上·湖北孝感·阶段练习）设为实数，若方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．（25-26高二上·全国·单元测试）已知方程表示双曲线，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
5．（24-25高二上·北京·阶段练习）设，则“”是“曲线是焦点在轴的双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
题型三 双曲线的标准方程
1．（24-25高二上·辽宁葫芦岛·期末）已知双曲线的实轴长等于虚轴长的2倍，则双曲线的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
2．（24-25高二下·安徽·阶段练习）若椭圆：的焦点和与焦点共线的顶点分别是双曲线E的顶点和焦点，则双曲线E的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
3．（24-25高二上·天津和平·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，实轴长为2，则双曲线的标准方程为（ ）
A．B．
C．或D．或
4．已知双曲线过点，且与双曲线有相同的渐近线，则双曲线的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
5．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点M在双曲线C的右支上，，若与C的一条渐近线l垂直，垂足为N，且，其中O为坐标原点，则双曲线C的标准方程为 ．
6．已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线C的渐近线上，且，则双曲线C的标准方程为 ．
题型四 双曲线中的焦点三角形问题
1．（24-25高二下·安徽·阶段练习）设P是双曲线右支上一点，，分别是双曲线C的左、右焦点，O为坐标原点，Q为线段的中点，若，则的值为（ ）
A．2B．4C．6D．8
2．（25-26高二上·全国·单元测试）已知双曲线的上、下焦点分别为，过的直线与双曲线的上支交于A，B两点，若，则的周长为（ ）
A．14B．12C．10D．8
3．（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知为双曲线的两个焦点，为双曲线上一点， ，则的面积为（ ）
A．8B．6C．D．
4．（24-25高二上·江苏南京·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P在双曲线上，，则面积为（ ）
A．9B．18C．36D．72
5．过双曲线的中心作直线与双曲线交于、两点，设双曲线的右焦点为，已知，则的面积为（ ）
A．B．1C．D．
6．已知，为双曲线的左，右焦点，为双曲线右支上异于顶点的任意一点，设的内切圆半径为，圆心为，若，则（ ）
A．B．C．D．
题型五 双曲线的轨迹方程求法
1．（23-24高二上·全国·课后作业）已知点，动点满足，则动点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
2．（24-25高二上·全国·课后作业）相距1600m的两个哨所，听到远处传来的炮弹爆炸声，已知当时的声音速度是，在哨所听到的爆炸声的时间比在哨所听到时迟．若以所在直线为轴，以线段的中垂线为轴，则爆炸点所在曲线的方程可以是（ ）
A．B．
C．D．
3．设两点的坐标分别为，，直线与相交于点，且它们的斜率之积为，则点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
4．（24-25高二上·福建福州·期末）与圆和圆都外切的圆的圆心的轨迹是（ ）
A．圆B．椭圆C．双曲线的一支D．抛物线
5．（23-24高二上·四川绵阳·期末）如图，定圆的半径为定长，是圆外一个定点，是圆上任意一点.线段的垂直平分线与直线相交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹是（ ）

A．射线B．椭圆C．双曲线D．圆
题型六 双曲线中的距离最值问题
1．（23-24高二上·山东潍坊·阶段练习）已知双曲线：的左焦点为，且是双曲线上的一点，则的最小值为 .
2．（25-26高二上·全国·课后作业）已知，双曲线的左焦点为是双曲线的右支上的动点，则的最大值是（ ）
A．B．2C．3D．1
3．（23-24高二上·云南楚雄·期末）已知点是双曲线的上焦点，是下支上的一点，点是圆上一点，则的最小值是（ ）
A．7B．6C．5D．
4．（24-25高二上·河南南阳·期中）已知为曲线上任意一点，，，则的最小值为（ ）
A．B．
C．D．
5．若点在曲线上，点在曲线上，点在曲线上，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
题型七 双曲线的简单几何性质
1．（24-25高二上·山西太原·期末）双曲线的顶点坐标为（ ）
A．，B．，C．，D．，
2．（24-25高二下·河南洛阳·阶段练习）双曲线的焦点到它的一条渐近线的距离为（ ）
A．1B．C．2D．
3．（25-26高二上·全国·单元测试）已知双曲线经过点，则的虚轴长为（ ）
A．B．2C．D．1
4．若双曲线C的实轴长与虚轴长之和为12，且虚轴长是实轴长的2倍，则双曲线C的半焦距为（ ）
A．B．
C．D．
5．已知点A为双曲线的左顶点，点B和点C在双曲线的左支上，若是等腰直角三角形，则的面积是（ ）
A．4B．C．D．
6．（多选题）已知双曲线，为上四个动点，则四边形的形状可能为（ ）
A．菱形B．等腰梯形C．正方形D．矩形
7．（23-24高二下·上海·期中）在双曲线中，的取值范围是 ．
8．直线过点与双曲线有且只有一个交点，则这样的直线有 条．
题型八 双曲线的离心率问题
1．（24-25高二下·安徽安庆·期末）已知双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．2
2．（24-25高二下·浙江·阶段练习）已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
3．（25-26高二上·云南玉溪·阶段练习）已知，是双曲线：的两个焦点，过点与轴垂直的直线与双曲线交于、两点，若是等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
4．（24-25高二下·重庆·阶段练习）过点 作斜率为 的直线与双曲线 相交于 两点，若 是线段 的中点，则双曲线 的离心率等于（ ）
A．2B．C．D．
5．（23-24高二上·贵州黔东南·期末）若直线与双曲线有公共点，则双曲线离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
6．（24-25高二上·江西上饶·阶段练习）已知双曲线，两焦点分别为，过右焦点作直线交右支于点，且，若，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
7．（24-25高二下·广西贵港·期中）已知，分别是双曲线的左、右焦点，是上一点，且，，则的离心率为（ ）
A．B．2C．D．
8．（24-25高二下·河南·阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，，P为上一点，满足轴，且，则的离心率为（ ）
A．B．C．2D．3
9．已知，是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，线段的垂直平分线经过点．记椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
10．设双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线l与C交于A，B两点，其中点A在第一象限，点B在第二象限，若是以为直角的等腰直角三角形，则C的离心率为（ ）
A．2B．C．D．3
题型九 双曲线的渐近线问题
1．（25-26高二上·全国·单元测试）直线是双曲线的一条渐近线，则（ ）
A．1B．4C．16D．18
2．（23-24高二上·重庆·期末）已知椭圆的左焦点是双曲线的左顶点，则双曲线的渐近线为（ ）
A．B．
C．D．
3．点为等轴双曲线的焦点，过作轴的垂线与的两渐近线分别交于两点，则的面积为（ ）
A．B．4C．D．8
4．（23-24高二下·湖南长沙·阶段练习）已知为双曲线的左、右焦点，过的直线l与双曲线的渐近线交于A、B两点，满足A，B均在y轴右侧，且为正三角形，则双曲线E的渐近线方程为（ ）
A．B．
C．D．
5．（24-25高二上·浙江宁波·期末）已知双曲线的左焦点为，一条渐近线方程为，过作这条渐近线的垂线，垂足为A，交另一条渐近线于点B，则（ ）
A．B．C．D．
6．（24-25高二上·安徽宣城·期末）已知双曲线的左焦点为F，过点F的直线l垂直于双曲线C的一条渐近线，并分别交两条渐近线于A，B两点（其中点A为垂足），且点A，B分别在第二、第三象限内.若，则双曲线C的渐近线方程为（ ）
A．B．
C．D．
题型十 直线与双曲线的位置关系（含弦长和相切）
1．（24-25高二上·浙江杭州·阶段练习）若双曲线与直线不相交，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（24-25高二上·上海·期中）直线与双曲线只有一个交点，则实数的值为 ．
3．（2025高二上·全国·专题练习）若直线与双曲线的右支有两个交点，求k的取值范围．
4．（23-24高二上·全国·课后作业）已知双曲线，讨论直线与这条双曲线的交点的个数．
5．（24-25高二上·四川达州·期末）已知中心在坐标原点的双曲线的右焦点坐标，且离心率.
(1)求双曲线的标准方程和渐近线方程；
(2)过双曲线右焦点且倾斜角为的直线与双曲线交于、两点，求.
6．已知双曲线的离心率为，且过点.
(1)求的方程；
(2)直线过且交于两点，若弦的长度为的实轴长的两倍，求的方程.
7．双曲线的左、右焦点分别是，，在双曲线上．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过作直线与双曲线交于点，若弦的长为42，求直线的方程．
题型十一 双曲线中的面积问题
1．（23-24高二上·黑龙江·期中）已知双曲线C：（，）的一条渐近线方程为，焦距为．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)若O为坐标原点，直线l：交双曲线C于A，B两点，求的面积．
2．（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线右支（且不在坐标轴上），
(1)若双曲线与椭圆有共同的焦点，且双曲线过点，求该双曲线的标准方程；
(2)若，，求的面积．
3．（24-25高二下·河南鹤壁·期末）已知双曲线的左顶点为，右焦点为.过点且垂直于轴的直线与交于，两点，其中位于第一象限，且.
(1)求的方程；
(2)过点且斜率为的直线与交于，两点，求的面积.
4．已知双曲线的离心率为，点在双曲线上，过的左焦点的直线与的左支相交于两点，且分别交的两条渐近线于两点．
(1)求双曲线的方程；
(2)若是坐标原点，，求的面积．
5．（24-25高二上·河北沧州·期末）已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，渐近线方程为，点到渐近线的距离为.
(1)求双曲线的方程；
(2)已知直线经过点，且与双曲线相交于两点，若的面积为3，求直线的方程.
题型十二 双曲线中的中点弦问题
1．（24-25高二上·黑龙江鸡西·期中）若双曲线的弦被点平分，则此弦所在的直线方程为（ ）
A．B．C．D．
2．（24-25高二上·江苏常州·期中）已知双曲线，过点的直线与双曲线交于两点，若线段的中点是，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
3．（25-26高二上·全国·单元测试）已知A，B为双曲线上的两点，且A，B关于直线对称，则线段AB中点的坐标为 ．
4．（24-25高二上·甘肃兰州·期末）设为双曲线上两点，如下三个点：中，可作为线段中点的是 .（请将所有满足条件的点填入）
5．（23-24高二上·陕西榆林·阶段练习）已知点是离心率为的双曲线上的三点, 直线的斜率分别是点分别是线段的中点,为坐标原点，直线的斜率分别是.若则
题型十三 双曲线中的定值、定点问题
1．（24-25高二下·广西南宁·期末）已知双曲线的离心率为，点在双曲线上．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)直线与双曲线交于点，其中点在第二象限．
①求；
②已知双曲线的左、右顶点分别为，设直线的斜率分别为，求的值．
2．已知双曲线C：（，）的一条渐近线方程为，点P（2，1）是C上一点，过点P作斜率分别为，的两条直线，，且直线与C交于另一点A，直线与C交于另一点B．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)若，证明：直线AB与y轴的交点为定点，并求出定点坐标．
3．（24-25高二下·云南曲靖·期末）已知双曲线的左顶点为，离心率为3，是上的两点.
(1)求的标准方程；
(2)若线段的中点为，求直线的方程；
(3)若（不在直线上），证明：直线过定点.
4．（24-25高二上·安徽黄山·期末）已知双曲线的离心率为，分别为其左、右顶点，点在上. 为直线上的动点，与双曲线的另一交点为，与双曲线的另一交点为．
(1)求双曲线的方程；
(2)证明：直线过定点.
5．（24-25高二上·河北沧州·期末）已知，分别是双曲线的左，右顶点，，点是上一点．过点的直线与双曲线的右支交于，两点．
(1)求的方程；
(2)若的斜率为1，求；
(3)若直线，的斜率分别为，，证明：是定值．
6．（24-25高二上·云南昭通·期末）已知双曲线 的焦距与圆M:：的直径相等，且圆的圆心在C 的一条渐近线上.
(1)求的标准方程；
(2)已知，是轴上不与原点重合的不同的两点，且两点的横坐标互为倒数，点为的下顶点，若直线与的另一个交点的横坐标为，直线与的另一个交点的横坐标为，是否为定值? 若为定值，求出此定值；若不为定值，请说明理由.
期中基础通关练（测试时间：120分钟）
1．（24-25高二下·湖北武汉·期末）已知双曲线，焦距为10，则实轴长为（ ）
A．1B．2C．D．
2．（24-25高二上·广东深圳·期末）若直线为双曲线的一条渐近线，则（ ）
A．B．2C．D．4
3．（24-25高二上·浙江·阶段练习）已知双曲线的方程是，它的两个焦点分别是与是双曲线上的一点，且，则的值为（ ）
A．1B．13C．1或13D．4或10
4．（24-25高二上·山东潍坊·期末）已知双曲线的渐近线方程为，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
5．已知双曲线的右焦点为F，过点F作C的一条渐近线的垂线，垂足为H，则（ ）
A．1B．C．D．2
6．（23-24高二上·全国·课后作业）已知点，动点满足，则动点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
7．若椭圆C：的焦点和顶点分别是双曲线E的顶点和焦点，则双曲线E的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
8．（23-24高二上·四川成都·期末）相距1400m的A，B两个哨所，听到炮弹爆炸声的时间相差3s，已知声速是340m/s，炮弹爆炸点一定在曲线（ ）的方程上.
A．B．
C．或D．
9．（23-24高二上·湖南邵阳·期末）若方程表示曲线C，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则曲线C为椭圆
B．若曲线C为双曲线，则
C．曲线C不可能是圆
D．若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则
10．（24-25高二上·四川绵阳·期中）已知 ，，直线相交于点，且直线与直线的斜率之积为1，则点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
11．（24-25高二上·江苏连云港·阶段练习）已知直线的方程为，双曲线的方程为若直线与双曲线的右支交于不同的两点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
12．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）直线与双曲线交于两点，线段的中点为，则直线的斜率为( )
A．3B．6C．8D．12
13．若直线与双曲线没有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
14．（24-25高二上·陕西安康·期末）已知双曲线的左，右焦点分别为，第一象限内的点在上，且，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．3
15．（24-25高二下·湖南·期中）已知分别是双曲线的左、右焦点，点是双曲线上在第一象限内的一点，若，且，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
16．（24-25高二上·云南昆明·期末）与圆及圆都外切的圆的圆心轨迹是（ ）
A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．双曲线的一支
17．（24-25高二上·广东广州·期末）过双曲线的一个焦点作一条渐近线的垂线，垂足为点，直线与另一条渐近线相交于点，若是线段的中点，则双曲线的渐近线为（ ）
A．B．C．D．
18．（24-25高二上·江西·阶段练习）已知双曲线:的右焦点为，点P在C的右支上，且，则的最小值为（ ）
A．B．
C．D．
19．（24-25高二上·全国·课后作业）已知定点，是圆上任意一点，点关于点的对称点为，线段的垂直平分线与直线相交于点，则点的轨迹方程是（ ）
A．7B．
C．.D．
20．（24-25高二上·湖南长沙·阶段练习）如图，过双曲线的左焦点引圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若为线段的中点，为坐标原点，则（ ）
A．B．C．D．
21．（2024高二上·全国·专题练习）设是椭圆与x轴的两个交点，是椭圆上垂直于的弦的端点，则直线与交点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
22．（24-25高二下·重庆·期中）设，是双曲线C：（，）的左，右焦点，O是坐标原点.过作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，若，则C的离心率为（ ）
A．B．2C．D．
23．已知双曲线的左、右焦点分别为，过点且斜率为的直线与的右支交于两点，且，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．2
24．（24-25高二上·河南郑州·期中）已知双曲线的左､右焦点分别为，若在上存在点（不是顶点），使得，则的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
25．（24-25高二下·河北张家口·开学考试）已知等轴双曲线过点，则双曲线的标准方程为 ．
26．（24-25高二上·云南昭通·期中）若是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在双曲线上，且，离心率为，则的面积为 .
27．（24-25高二上·安徽·阶段练习）已知直线与双曲线交于，两点，点是弦的中点，则双曲线的离心率为 .
28．（24-25高二上·上海·课后作业）已知直线与双曲线有且仅有一个公共点，则实数的取值为 ．
29．设是双曲线上一点，，分别是圆和上的点，则的最大值为 ，最小值为 ．
30．（24-25高二上·江苏南通·期末）双曲线的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与C在第一象限相交于点若直线的斜率为，的面积为8，则双曲线C的方程为 .
31．（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知双曲线的离心率为，且过点，过双曲线的右焦点，作倾斜角为的直线交双曲线于A，B两点，为坐标原点.
(1)求双曲线的标准方程及其渐近线方程；
(2)求的面积.
32．（24-25高二上·江苏连云港·期中）在平面直角坐标系中，已知点，，点满足，记的轨迹为.
(1)求的方程；
(2)过点的直线与交于，两点，且的面积为，求直线的方程.
33．（25-26高二上·全国·单元测试）已知双曲线的实轴长为，且过点．
(1)求双曲线的方程；
(2)过双曲线的右焦点作斜率为1的直线l，l与双曲线交于A，B两点，求｜AB｜；
(3)若是坐标原点，M，N是双曲线上不同的两点，且直线MN的斜率为2，线段MN的中点为，求直线OP的斜率．
34．（23-24高二上·全国·期末）已知双曲线C：的右顶点为，焦点到渐近线的距离为.
(1)求C的方程；
(2)点M，N在C的右支上，若直线AM与AN的斜率的乘积为-9，求证：直线MN过定点.
35．（24-25高二下·河南洛阳·阶段练习）已知为双曲线：的左顶点，为双曲线的右焦点，.斜率不为零的直线过点，且与双曲线交于，两点.设直线的斜率为，直线的斜率为.
(1)求双曲线的标准方程.
(2)试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
36．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知为坐标原点，双曲线过点，渐近线方程为.
(1)求双曲线的方程；
(2)直线过点，与双曲线交于两点.
①若直线，求的面积；
②在轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
期中重难突破练（测试时间：60分钟）
1．（24-25高二下·贵州贵阳·阶段练习）过双曲线的右支上一点，分别向圆和圆作切线，切点分别为、，则的最小值为（ ）
A．10B．11C．12D．15
2．（24-25高二下·重庆·阶段练习）已知椭圆和双曲线有公共焦点（为上焦点），椭圆与双曲线在第一象限交于点，直线交轴于点，且平分，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
3．（24-25高二上·贵州黔南·阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，，焦距为，直线与双曲线的右支交于点，若的内切圆半径为，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
4．（24-25高二下·上海宝山·期中）若关于的方程有实数解，则实数的取值范围是 ．
5．已知斜率为的直线与双曲线的右支交于两点（点在第一象限，点在第四象限），点关于坐标原点对称的点为且，则该双曲线的离心率为 .
6．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知双曲线过点，离心率为，左、右焦点分别为，，点P为直线l：上且不在x轴上的一点，直线和与双曲线的交点分别为A，B和C，D，O为坐标原点．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)设直线，的斜率分别为，．
（i）证明：为定值；
（ii）直线l上是否存在点P，使得OA，OB，OC，OD满足？若存在，求出所有满足条件的P点坐标；若不存在，请说明理由．
7．已知O为坐标原点，直线与双曲线的渐近线交于A，B两点，与椭圆交于E，F两点.当时，.
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线l与C相切，证明：的面积为定值.
8．（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线的左、右顶点分别为，离心率为.
(1)求双曲线的方程；
(2)过点的直线l与双曲线C的右支交于M，N两点．
（i）记直线，的斜率分别为，，证明：是定值；
（ii）设G为直线和的交点，记，的面积分别为，，求的最小值．
9．（25-26高二上·全国·期中）已知双曲线的焦点在轴上，离心率，且点在该双曲线上．
(1)求的标准方程．
(2)若直线与双曲线的右支相切于点，与直线相交于点，线段MN的中点为，则在轴上是否存在定点，使得？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．
核心考点
复习目标
考情规律
双曲线的定义
掌握双曲线的定义,会用双曲线的定义解决问题,培养数学运算的核心素养.
基础必考点，常出现在小题
双曲线及其标准方程
掌握双曲线的标准方程,了解双曲线标准方程的推导过程,提升数学运算的核心素养.
基础必考点，常出现在小题或者大题第（1）问，计算能力是关键
双曲线的简单几何性质
1、了解双曲线的范围、对称性、顶点等简单几何性质,培养数学运算的核心素养.
2、理解双曲线的渐近线、离心率的意义及离心率和双曲线形状间的变化关系,提升直观想象的核心素养.
高频易错点，常出现在小题，特别是渐近线、离心率的求法是高频考点
直线与双曲线的位置关系
掌握利用根的判别式判断直线与双曲线位置关系的方法,会判断直线与双曲线的位置关系,培养直观想象的核心素养.
基础必考点，常出现在大题
双曲线的弦长公式、中点弦问题
初步探寻弦长公式有关知识,能运用直线与双曲线的位置关系解决相关的弦长、中点弦问题,提升数学运算与逻辑推理的核心素养.
重难必考点，利用韦达定理、点差法突破弦长公式以及面积问题、中点弦问题
焦点位置
焦点在轴上
焦点在轴上
标准方程
（）
（）
图象
焦点坐标
，
，
的关系
标准方程
（）
（）
图形
性质
范围
或
或
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点坐标
，
,
渐近线
离心率
，，
a，b，c间的关系
解｜题｜技｜巧
1、若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：
（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；
若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；
2、若常数满足约束条件：，
则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）；
3、若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在；
4、若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线．
解｜题｜技｜巧
将双曲线方程化为标准方程的形式,假如方程为x2m+y2n=1,则当mn0,n0,b>0),焦点不确定时,可设为mx2+ny2=1(mn1.
解｜题｜技｜巧
双曲线渐近线求法
（1）根据双曲线的标准方程求它的渐近线的方法中，最简单实用的就是把双曲线的标准方程中等号右边的“1”改成“0”，就得到了双曲线的渐近线方程．
（2）依据条件求出，再结合焦点的位置求出渐近线方程的斜率，从而确定渐近线方程．
（3）由于渐近线的斜率和离心率一样都是一个比值，所以可依据条件提供的信息建立关于的等式，进而求出渐近线的斜率，从而得解．
解｜题｜技｜巧
1、直线与双曲线的位置关系的判定方法
直线与双曲线的位置关系有相交、相切、相离三种情况,其判定方法通常也是用Δ来解决.
设直线方程为Ax+By+C=0(A,B不同时为0),双曲线方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),两方程联立消去y得mx2+nx+q=0(*)形式的方程.
①若m≠0,方程(*)为关于x的一元二次方程.
当Δ>0时,方程有两解,则直线与双曲线相交于两点;
当Δ=0时,方程有一解,则直线与双曲线相切;
当Δ