湖南省长沙麓山国际实验学校2025-2026学年高一上学期10月月考数学试题含解析

这是一份湖南省长沙麓山国际实验学校2025-2026学年高一上学期10月月考数学试题含解析，共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
麓山国际 麓山滨江 麓山梅溪湖 麓山慈利 长沙六中
长郡湘府 长郡浏阳 长郡金洲 珺璀高级中学 津市一中 联合参与
一、单选题（每小题5分，共40分）
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由集合的并集、补集的运算即可求解.
【详解】由，则，
集合，
故
故选：D.
2. 命题“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C ，D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题可得.
【详解】根据存在量词命题的否定为全称量词命题可知
命题“，”的否定为，.
故选：D
3. 设，则“且”是“”的（ ）
A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件
C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据充分不必要条件的判定方法进行判定.
【详解】因为若“且”则“”成立；
但当“”时，“且”未必成立.比如“，”时，“”成立，但“且”不成立.
所以“且”是“”的充分不必要条件.
故选：A
4. 若，则的最小值为（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】利用基本不等式可求和的最小值.
【详解】因为，所以，当且仅当，即时等号成立.
所以的最小值为4.
故选：D
5. 下列函数中与函数y＝x表示同一个函数的是（ ）
A. y＝|x|B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用函数概念，分析函数的三要素是否相同即可求解.
【详解】对于选项,值域与函数不同，所以不是同一个函数，故排除；
对于选项，函数的定义域不同，所以不是同一个函数，故排除；
对于选项，函数定义域不同，所以不是同一个函数，故排除；
对于选项，因为函数与函数是同一个函数，故正确，
故选：.
6. 若函数是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】结合一次函数和二次函数的单调性即可求得.
【详解】由题意可知，在上单调递增，则，即，
在上单调递增，则，
又是R上的单调递增函数，则，即，
综上可得，实数a的取值范围是.
故选：C
7. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意可得的范围为，求解的范围，再结合分母不为0即可得解．
【详解】由题意得，解得，
由，解得，
故函数的定义域是，
故选：B．
8. 定义在上的函数满足：对任意，且，，若，则不等式的解集为（ ）
A B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】构造函数，判断函数的单调性，根据函数单调性解不等式，可得所求不等式的解集.
【详解】不妨设，因为，所以，
所以.
设，则，
所以在上单调递增，因为，所以，
所以的解集为，
所以的解集为.
故选：B
二、多选题（每小题6分，全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分，共18分）
9. 已知均为实数，下列说法正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，，则
C 若，，则D. 若，
【答案】AB
【解析】
【分析】结合不等式的性质逐项分析即可.
【详解】选项A，若，则，，即，选项A正确；
选项B，若，，则，，，即，选项B正确；
选项C，若，，取，，，，则，，，选项C错误；
选项D，若，，则，选项D错误.
故选：AB.
10. 若函数的定义域为，则实数可以是（ ）
A. 0B. 3C. 6D. 8
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据题意，转化为对任意，结合二次函数的性质，即可求解.
【详解】函数的定义域为，
则对任意，恒成立，
当时，显然不成立；
当时，则恒成立，
当时，则满足，解得，
综上可得：实数取值范围是，结合选项，可得ABC符合题意.
故选：ABC.
11. 设正实数满足，则（ ）
A. 有最大值为B. 有最小值为
C. 有最小值为5D. 有最大值为
【答案】BC
【解析】
【分析】利用基本不等式即可判断AB，由，利用基本不等式即可判断C，利用(当且仅当时，等号成立)，即可判断D.
【详解】对于A：由，当且仅当时，等号成立，故A错误；
对于B：由，当且仅当时，等号成立，故B正确；
对于C：由，又，
当且仅当时，等号成立，所以，故C正确；
对于D：由，所以，
当且仅当时，所以等号不成立，故D错误.
故选：BC.
三、填空题（每小题5分，共15分）
12. 已知是一次函数且，则的解析式______.
【答案】
【解析】
【分析】由题意设，利用待定系数法求解.
【详解】是一次函数，下设，
由，则，
化简可得：，
由对应系数相等可知，，解得，
则.
故答案为：
13. 存在，使得不等式成立，则实数的取值范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】利用分离参数法，结合函数的单调性求实数的取值范围.
【详解】因为存在，所以，
又当，单调递减，所以的最大值为.
所以.
故答案为：
14. 若关于的方程的两个根都在区间上，则a的值范围为____________．
【答案】
【解析】
【分析】结合二次函数根的区间分布，列出不等式组，解出即可.
【详解】设，由题可知，若都在区间内，
则需满足，所以解得．
故答案为：.
四、解答题（共5个大题，77分）
15. 已知集合，集合.
（1）求集合和；
（2）求.
【答案】（1），或
（2）
【解析】
【分析】（1）利用分式不等式的解法可得出集合，利用一元二次不等式的解法可得出集合；
（2）利用补集的定义可得出集合.
【小问1详解】
由得，即，
即，解得，所以，
因为，解得或，
所以或.
【小问2详解】
因为或，由补集的定义可得.
16. 设全集，集合，，其中．
（1）若“”是“”的必要而不充分条件，求实数a的取值范围；
（2）若命题“，使得”是真命题，求实数a的取值范围．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】（1）根据条件可知，列不等式，即可求解；
（2）首先求当时的取值范围，再求其补集.
【小问1详解】
，
“”是“”的必要而不充分条件，

，解得，
即实数的取值范围为；
【小问2详解】
若命题“，使得”是假命题，则，
，或，
①当时，，解得，
②当时，则，无解，
即命题为假命题时，实数的取值范围为，
命题为真命题时，实数的取值范围为．
17. （1）已知正数，满足.求的最小值；
（2）已知，，均为正实数，且，求证：.
【答案】（1）；（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据基本不等式的概念，和换元法，对代数式进行消元，再根据基本不等式，求出最小值即可.
（2）根据基本不等式的概念，对原不等式进行化简，进而求出最小值.
【详解】（1）由，得.
因为，，所以，即，
所以
，
当且仅当，即时取等号，故的最小值为.
（2）因为，，均为正实数，且，
代入得，
根据基本不等式可知，
代入得，当且仅当时，等号成立，原命题得证.
18. 已知函数对于任意的都有.
（1）求的解析式；
（2）设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据解方程组法求解析式；
（2）根据题意可得函数在上的值域是在上的值域的子集，根据二次函数性质，求出参数范围即可.
【小问1详解】
已知，用替换得，
联立方程组，得，
解得.
【小问2详解】
若对任意的，总存在，使得成立，可得在上的值域是在上的值域的子集，
由（1）可得，当时，；
为二次函数，对称轴为，开口向上，在上单调递增；
所以在上的最小值为，最大值为；
可得，即，解得，所以的取值范围为.
19. 已知定义在上的函数满足对任意的，，，当时，，.
（1）求和的值.
（2）判断在上的单调性并证明.
（3）求不等式的解集.
【答案】（1）.
（2）在上单调递减；证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）结合函数的性质，利用赋值法求函数值.
（2）利用函数单调性的定义，证明函数在给定区间上的单调性.
（3）利用（1）、（2）的结论，把函数不等式转化为代数不等式求解.
【小问1详解】
令，则，所以，
令，，得，所以
令，，得，所以，
令，，得，所以.
【小问2详解】
上单调递减；
设，因为，
所以，
所以，因为，所以，
所以，故在上单调递减.
【小问3详解】
由（1）知，
不等式化为，
因为在上单调递减，所以，
即，解得，
即不等式解集是.