湖南省长沙市2024_2025学年高一数学上学期10月月考试题含解析 (1)

这是一份湖南省长沙市2024_2025学年高一数学上学期10月月考试题含解析 (1)，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的、请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．）
1. 已知集合，，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据一元二次不等式化简集合,即可根据交集的定义求解.
【详解】由可得，故，
故选：C
2. 命题“，”的否定是（）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】根据特称命题的否定直接得出答案.
【详解】因为特称命题的否定是全称命题，
所以命题“，”的否定是为：，，
故选：D.
3. 设，则“”是“”的（）
A充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】由可得或，即可判断.
【详解】由可得或，
又或
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选:
4. 下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
分别求得函数的定义域和对应法则，结合同一函数的判定方法，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，函数的定义域为，函数的定义域为，
两函数的定义域不同，不是同一函数；
对于B中，函数和的定义域不同，不是同一函数；
对于C中，函数与的定义域相同，对应法则也相同，所以是同一函数；
对于D中，函数的定义域为，的定义域为，两函数的定义域不同，不是同一函数.
故选：C.
【点睛】本题主要考查了同一函数的判定，其中解答中熟记两函数是同一函数的判定方法是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.
5. 函数的大致图象是（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】探讨函数的定义域、单调性，再逐一分析各选项判断作答.
【详解】函数的定义域为，选项C，D不满足，
因，则函数在，上都单调递增，B不满足，则A满足.
故选：A
【点睛】方法点睛：函数图象的识别途径：(1)由函数的定义域，判断图象的左右位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；
(2)由函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)由函数的奇偶性，判断图象的对称性.
6. 若且就称A是伙伴关系集合，集合的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合个数为（）
A. 15B. 16C. 64D. 128
【答案】A
【解析】
【分析】首先确定具有伙伴集合的元素有，，“和” ，“和”四种可能，它们组成的非空子集的个数为即为所求.
【详解】因为，；，；
，；，；
这样所求集合即由，，“和” ，“和”这“四大”元素所组成的集合的非空子集．
所以满足条件的集合的个数为，
故选:A.
7. 某班有学生56人，同时参加了数学小组和英语小组的学生有32人，同时参加了英语小组和语文小组的学生有22人，同时参加了数学小组和语文小组的学生有25人．已知该班学生每人至少参加了1个小组，则该班学生中只参加了数学小组、英语小组和语文小组中的一个小组的人数最多是（）
A. 20B. 21C. 23D. 25
【答案】B
【解析】
【分析】设该班学生中同时参加了数学小组、英语小组和语文小组的人数为，只参加其中一个小组的人数为，根据题意列出方程即可.
【详解】
如图，设该班学生中同时参加了数学小组、英语小组和语文小组的人数为，只参加其中一个小组的人数为，
则，即．
因为，所以．
故选：B.
8. 已知集合P，Q中都至少有两个元素，并且满足下列条件：①集合P，Q中的元素都为正数；②对于任意，都有；③对于任意，都有；则下列说法正确的是（）
A. 若P有2个元素，则Q有3个元素
B. 若P有2个元素，则有4个元素
C. 若P有2个元素，则有1个元素
D. 存在满足条件且有3个元素的集合P
【答案】C
【解析】
【分析】若集合中有个元素，设，根据集合中元素的特性和题设条件进行分析推导，可判断出选项ABC；假若有个元素，设，再根据题设条件推导分析，可得到中还有第四个元素，推出矛盾，从而可判断出D选项.
【详解】若有2个元素，设，则，
因为至少有个元素，所以中除外至少还有一个元素，
不妨设，，则，
若，则且，
所以，与假设矛盾，所以，
所以或，
当时，则，所以，
若，则，与矛盾，所以，同理可知，
所以此时，；
当时，则，所以，
若，则，与矛盾，所以，同理可知，
此时，；
由上可知，当有2个元素，则有个元素，有个元素，有个元素，
故A错误，B错误，C正确；
不妨假设有个元素，设，则为互不相等的正数，
由③可知：，
又因为为互不相等的正数，所以也为互不相等的正数，
由②可知：都是集合的元素，
因为为互不相等的正数，所以都是不等于的正数，所以，
又因为为互不相等的正数，所以，
考虑到和，若，则为互不相等的正数，
又因为，所以，所以是与不相等正数，
因为都是集合的元素，所以集合中至少有个元素，这与假设矛盾，
因此考虑的情况，所以，同理可得，所以，
所以，这与集合中元素的互异性矛盾，所以有个元素不可能成立，故D错误；
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题考查元素与集合的关系以及集合运算后集合中元素个数的判断，本题的难点在于如何通过假设推导出矛盾，解答过程中主要利用集合中元素的互异性去检验元素，从而达到确定集合中元素个数的目的.
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分、部分选对的得部分分，有选错的得0分．）
9. 如果，那么下列不等式成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由于，不妨令，，代入各个选项检验，只有正确，从而得出结论．
【详解】解：由于，不妨令，，可得，，故A不正确．
可得，，，故B不正确．
可得，，，故C不正确．
故选：D．
10. 已知关于不等式的解集为，则下列说法正确的是（）
A.
B. 不等式的解集为
C.
D. 的最小值为
【答案】AB
【解析】
【分析】利用二次不等式解与系数的关系得到关于的表达式，结合基本不等式，逐一分析判断各选项即可得解.
【详解】因为关于的不等式的解集为，
所以是方程的两根，且，故A正确；
所以，解得，
所以，即，则，解得，
所以不等式的解集为，故B正确；
而，故C错误；
因为，所以，
则，
当且仅当，即或时，等号成立，
与矛盾，所以取不到最小值，故D错误.
故选：AB.
11. 已知，且，则下列结论正确的是（）
A. 的最大值为B. 的最大值为
C. 的最小值为D. 的最大值为
【答案】BC
【解析】
【分析】利用基本不等式直接判断A；利用基本不等式求得的最大值可判断B；利用基本不等式“1”的代换可判断C；利用二次函数的性质可判断D；
【详解】，且，，
对于A，利用基本不等式得，化简得，
当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值为，故A错误；
对于B，，
当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值为，故B正确；
对于C，，
当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为，故C正确；
对于D，
利用二次函数的性质知，当时，函数单调递减；当时，函数单调递增，
，，故D错误；
故选：BC
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）
12. 若函数f（x）＝－x2－2(a＋1)x＋3在区间(－∞，3]上是增函数，则实数a的取值范围是________．
【答案】(－∞，－4]
【解析】
分析】
求出二次函的对称轴，根据二次函数的单调性，确定对称轴的位置，即可求解.
【详解】∵f（x）＝－x2－2(a＋1)x＋3的开口向下，
对称轴方程为，要使f（x）在(－∞，3]上是增函数，
只需－(a＋1)≥3，即a≤－4，∴实数a的取值范围为(－∞，－4]．
故答案为: (－∞，－4].
【点睛】本题考查二次函数的单调性，属于基础题.
13. 已知函数的定义域为R，则实数a的取值范围是______．
【答案】．
【解析】
【分析】由题意得恒成立，结合二次不等式恒成立对a进行分类讨论进行求解．
【详解】由题意得恒成立，
当时，恒成立，满足题意；
当时，，解得．
综上．
故答案为：．
14. 已知函数，若集合中有且只有两个元素，则实数的取值范围是______
【答案】
【解析】
【分析】先将集合的元素个数转化为不等式的自然数解的个数，再分离参数，转化为求函数的取值范围问题，再结合函数的图象进行求解.
【详解】由中有且只有两个元素，
得有且只有两个自然数解，
即有且只有两个自然数解，
令，则，
令，
作出的图象（如图所示），
又因为，，
所以.
故答案为：.
四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15. 已知集合，集合．
（1）若，求；
（2）若，求实数的范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）解一元二次不等式求出集合B，由集合的并集运算可得结果；
（2）根据条件对集合A分类讨论，分别求出实数的范围.
【小问1详解】
由时，集合，
，
所以，
【小问2详解】
当，即时，集合A=∅，符合，
当A≠∅时，由，有，解得 ，
综上可知，若，则的范围是.
16. 如图所示，某学校要建造一个一面靠墙的无盖长方体垃圾池，垃圾池的容积为，为了合理利用地形，要求垃圾池靠墙一面的长为，如果池底每平方米的造价为200元，池壁每平方米的造价为180元（不计靠墙一面的造价），设垃圾池的高为，墙高，
（1）试将垃圾池的总造价y（元）表示为的函数，并指出x的取值范围；
（2）怎样设计垃圾池能使总造价最低？最低总造价是多少？
【答案】（1）详解见解析
（2）当垃圾池的高为m、宽为3m时，垃圾池总造价最低为10800元.
【解析】
【分析】利用长方体垃圾池的容积及长与高表示宽，再求各面面积，得出总造价，利用均值不等式求最值.
【小问1详解】
无盖长方体垃圾池的容积为，长为，高为m，则宽m，
，即，.
【小问2详解】
，当且仅当取等号，即.
所以当垃圾池的高为m宽为3m时，垃圾池总造价最低为10800元.
17. 已知，．
（1）求证：函数在区间上是增函数；
（2）求函数在区间上的值域.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）用单调性的定义证明即可.
（2）由在区间上的单调性易得值域.
【小问1详解】
令，则
，
又，，x22+4x12+4>0，即，
所以函数在区间上增函数.
【小问2详解】
由（1）知函数在区间上是增函数，又，
所以函数在区间上的值域为.
18. 已知函数，.
（1）当，时，解关于的不等式；
（2）当时，对任意，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围；
（3）当，时，若点，均为函数与函数图象的公共点，且，求证：.
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）即解不等式，分、、且讨论，解不等式可得答案；
（2）转化为在上恒成立，求得的最大值可得答案；
（3）由得，化简方程得，令，结合一元二次不等式求解可得答案
【小问1详解】
当，时，即解不等式，
可得，
当时，成立，
当时，得，即解，
解得；
当且时，得，解得，
综上所述，不等式的解集为；
【小问2详解】
当时，可得，，
对任意，关于的不等式恒成立，
即在上恒成立，
即在上恒成立，
即当时，的最大值为0，所以，
所以实数的取值范围；
【小问3详解】
由，可得，
可得，
因为点，均为函数y=fx与函数y=gx图象的公共点，
可得，
，两式相减得
，
因为，所以，
可得，
令，则，
整理得，解得，
所以.
【点睛】关键点点睛：第三问解题的关键点是化简方程得，令，结合一元二次不等式求解可得答案.
19. 已知集合A为非空数集.定义：
（1）若集合，直接写出集合S，T；
（2）若集合且．求证：；
（3）若集合记为集合A中元素的个数，求的最大值.
【答案】（1），
（2）证明见解析 （3）1350.
【解析】
【分析】（1）根据新定义直接求出；
（2）首先根据定义得出，然后由，得出结论，再验证也是中元素即得；
（3）设满足题意，其中利用最大的和最小的构造也中至少含有的元素，以及中至多含有的元素，得，然后由利用，得，再由中最小的元素0与最大的元素得到，然后构造一个集合，由得出的范围，求得中元素个数可以为1350，从而得出结论．
【小问1详解】
由已知，则，；
【小问2详解】
由于集合且，
所以T中也只包含四个元素，因为
即且，即，
又，
所以，从而，
此时满足题意，所以；
【小问3详解】
设满足题意，其中，
2，
，
∵，∴，
又中最小的元素为0，最大的元素为，
则
设，，
则，
因为，可得，即，
故m的最小值为675，于是当时，A中元素最多，
即时满足题意，
综上所述，集合A中元素的个数的最大值是1350.
【点睛】方法点睛：本题考查集合的新定义，解题关键是对新定义的理解，第（3）小题较难，解题方法首先是对集合中元素进行排序，即设满足题意，其中，利用集合中的最大元素和最小元素确定的最小值，的最小值，确定的范围，然后构造出一个集合，使得能取得范围内的最大值．