2026届高三数学一轮复习课件第1讲集合及其运算

这是一份2026届高三数学一轮复习课件第1讲集合及其运算，共63页。PPT课件主要包含了链教材·夯基固本，2＋∞，确定性，互异性，无序性，集合间的基本关系，n－1，集合的基本运算，研题型·能力养成，集合中元素的性质等内容，欢迎下载使用。
1．(人A必一P9习题T1改)若集合A＝{x|x2－1＝0}，则下列结论错误的是(　　)A．1∈A B．{－1}⊆AC．∅⊆A D．{－1,1}∉A
2．(多选)已知集合A＝{x|x2－3x＋2≤0}，B＝{x|2＜2x≤8}，则下列判断正确的是(　 　)A．A∪B＝BB．(∁RB)∪A＝{x|x≤2或x＞3}C．A∩B＝{x|1＜x≤2}D．(∁RB)∪(∁RA)＝R
　　　　因为x2－3x＋2≤0，所以1≤x≤2，所以A＝{x|1≤x≤2}．因为2＜2x≤8，所以1＜x≤3，所以B＝{x|1＜x≤3}，所以A∪B＝{x|1≤x≤3}，A∩B＝{x|1＜x≤2}，(∁RB)∪A＝{x|x≤2或x＞3}，(∁RB)∪(∁RA)＝{x|x≤1或x＞2}．
3．(人A必一P35复习参考题T9改)已知集合A＝{1,3，a2}，B＝{1，a＋2}，若A∪B＝A，则实数a＝_____．
　　　　因为A∪B＝A，所以B⊆A，所以a＋2∈A．当a＋2＝3，即 a ＝1时，A＝{1,3,1}，不满足集合中元素的互异性，不符合题意；当a＋2＝a2时，a＝－1或a＝2，经检验a＝－1时，A＝{1,3,1}，不满足集合中元素的互异性，不符合题意；a＝2时，A＝{1,3,4}，B＝{1,4}，符合题意．综上，实数a＝2．
4．(人A必一P9习题T5改)已知集合A＝{x|0＜x＜a}，B＝{x|0＜x＜2}，若B⊆A，则实数a的取值范围为_____________．
　　　　由B⊆A，利用数轴分析法(如图)，可知a≥2．
1．集合与元素(1) 集合中元素的三个特性：__________、__________、__________．(2) 元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示．(3) 集合的表示法：列举法、描述法、图示法．(4) 常见集合的符号表示
注意：若集合A中含有n(n≥1)个元素，则集合A有_______个子集，__________个真子集．
4．常见结论与等价关系(1) A∩B＝A⇔A⊆B；A∪B＝A⇔B⊆A．(2) (∁UA)∪A＝______；∁U(∁UA)＝______．(3) 摩根定律：∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)．
　　　(1) 若集合{x|x2＋2kx＋1＝0}中有且仅有一个元素，则满足条件的实数k的取值集合是______________．
　　　　若集合{x|x2＋2kx＋1＝0}中有且仅有一个元素，则方程x2＋2kx＋1＝0有且只有一个实数根，即Δ＝(2k)2－4＝0，解得k＝±1，所以k的取值集合是{1，－1}．
集合中元素的最重要的性质是互异性，一方面利用互异性能顺利找到解题的切入点；另一方面当解答完毕时，检验集合中元素是否满足互异性可确保答案正确．
变式1　(1) (2025·沈阳期初联考)设集合A＝{2,3,4,5}，B＝{1，a＋2,2a＋1}．若A∪B＝{x∈N*|x＜6}，则实数a＝_____．
(2) 已知集合A＝{x|(a2－1)x2＋(a＋1)x＋1＝0}中有且仅有一个元素，则实数a＝_________．
　　　(1) (2024·潍坊、滨州一模)已知集合A＝{x|lg3(2x＋1)＝2}，B＝{2，a}，其中a∈R．若A∪B＝B，则a＝(　　)A．1B．2C．3D．4
　　　　由lg3(2x＋1)＝2，得2x＋1＝32，解得x＝4，所以A＝{x|lg3(2x＋1)＝2}＝{4}．又B＝{2，a}，A∪B＝B，故A⊆B，所以a＝4．
　　　(2) (2024·济宁一模)设集合A＝{x|x2－x－6＜0}，B＝{x|－a≤x≤a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是______________．
A．M⊆NB．N⊆MC．M＝ND．M∩N＝∅
判断集合间关系的三种方法
变式2　 (1) (2024·揭阳二模)(多选)若集合M和N关系的Venn图如图所示，则M，N可能是(　　　)A．M＝{0,2,4,6}，N＝{4}B．M＝{x|x2＜1}，N＝{x|x＞－1}C．M＝{x|y＝lg x}，N＝{y|y＝ex＋5}D．M＝{(x，y)|x2＝y2}，N＝{(x，y)|y＝x}
(2) 已知集合A＝{x|x＜－1或x≥3}，B＝{x|ax＋1≤0}，若B⊆A，则实数a的取值范围是(　　)
　　　　　(2) (2024·河南济、洛、平、许三模)已知集合A＝{x||x|＜2}，B＝{x|lg2(x2－4x＋5)＜1}，则A∪B＝(　　)A．{x|1＜x＜2}B．{x|2＜x＜3}C．{x|－2＜x＜1}D．{x|－2＜x＜3}
(1) 集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．(2) 有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．(3) 注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图．
变式3－1　(2024·景德镇三检)已知全集U＝{x∈N*|x≤8}，A＝{2,3,4}，B＝{3,5,7}，则{1,6,8}是(　　)A．A∪(∁UB)B．∁U(A∩B)C．(∁UA)∪(∁UB)D．(∁UA)∩(∁UB)
　　　　因为U＝{x∈N*|x≤8}＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，所以画出Venn图如图所示．由图可知{1,6,8}＝∁U(A∪B)＝(∁UA)∩ (∁UB)．
视角2　利用集合运算求参数　　　　　(2024·阜阳一测)设集合S＝{x|x＜－1或x＞5}，T＝{x|a＜x＜a＋8}，且S∪T＝R，则实数a的取值范围为(　　)A．(－∞，－3)∪(－1，＋∞)B．(－3，－1)C．(－∞，－3]∪[－1，＋∞)D．[－3，－1]
变式3－2　(2024·合肥一检)已知集合A＝{x|x2≤4}，B＝{x|a－1≤x≤a＋1}，若A∩B＝∅，则实数a的取值范围是__________________________．
　　　　由x2≤4，解得－2≤x≤2，所以A＝{x|－2≤x≤2}．因为A∩B＝∅，所以a＋1＜－2或a－1＞2，解得a＜－3或a＞3，所以a的取值范围是(－∞，－3)∪(3，＋∞)．
(－∞，－3)∪(3，＋∞)
　　　(2024·怀化二模)给定整数n≥3，有n个实数元素的集合S，定义其相伴数集T＝{|a－b||a，b∈S，a≠b}，如果min(T)＝1，那么称集合S为一个n元规范数集(注：min(X)表示数集X中的最小数)．对于集合M＝{－0.1，－1.1,2,2.5}，N＝{－1.5，－0.5,0.5,1.5}，则(　　)A．M是规范数集，N不是规范数集B．M是规范数集，N是规范数集C．M不是规范数集，N是规范数集D．M不是规范数集，N不是规范数集
A．数域必含有0,1两个数B．整数集是数域C．若有理数集Q⊆M，则数集M一定是数域D．数域中有无限多个元素
1．(2023·全国甲卷文)设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合M＝{1,4}，N＝{2,5}，则N∪(∁UM)＝(　　)A．{2,3,5}B．{1,3,4}C．{1,2,4,5}D．{2,3,4,5}
　　　　因为全集U＝{1,2,3,4,5}，集合M＝{1,4}，所以∁UM＝{2,3,5}．又N＝{2,5}，所以N∪(∁UM)＝{2,3,5}．
2．(2021·全国乙卷理)已知集合S＝{s|s＝2n＋1，n∈Z}，T＝{t|t＝4n＋1，n∈Z}，则S∩T＝(　　)A．∅B．SC．TD．Z
　　　　任取t∈T，则t＝4n＋1＝2·(2n)＋1，其中n∈Z，所以t∈S，故T ⊆ S．因此，S∩T＝T．
3．(2024·聊城一模)已知集合A＝{x||x|≤2}，B＝{x|x－a＜0}，若A⊆B，则实数a的取值范围为(　　)A．(－∞，－2)B．(－∞，－2]C．(2，＋∞)D．[2，＋∞)
　　　　由|x|≤2，可得－2≤x≤2，故A＝{x|－2≤x≤2}．由x－a＜0，可得x＜a，故B＝{x|x＜a}．由A⊆B，得a＞2．
4．(2024·河南济、洛、平、许四模)定义集合运算：A⊗B＝{z|z＝xy(x＋y)，x∈A，y∈B}，若集合A＝{0,2}，B＝{－1,1}，则集合A⊗B中的所有元素之和为_____．
　　　　A＝{0,2}，B＝{－1,1}，当x＝0，y＝±1时，z＝0；当x＝2，y＝－1时，z＝－2；当x＝2，y＝1时，z＝6，所以A⊗B＝{0，－2,6}，所以集合A⊗B中的所有元素之和为0＋(－2)＋6＝4．
5．某班有38名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组．已知有27人参加数学小组，有16人参加物理小组，有14人参加化学小组，同时参加数学和物理小组的有7人，同时参加物理和化学小组的有5人，则同时参加数学和化学小组的有_____人．
　　　　设同时参加数学和化学小组的有x人．因为有16人参加物理小组，所以只参加物理一科的有16－7－5＝4(人)．因为有27人参加数学小组，所以只参加数学一科的有27－7－x＝(20－x)人．因为有14人参加化学小组，所以只参加化学一科的有14－5－x＝(9－x)人．画出Venn图如图所示，因为总参加人数为38，所以27＋4＋5＋9－x＝38，解得x＝7，故同时参加数学和化学小组的有7人．
一、单项选择题1．(2024·新高考Ⅰ卷)已知集合A＝{x|－5＜x3＜5}，B＝{－3，－1,0,2,3}，则A∩B＝(　　)A．{－1,0}B．{2,3}C．{－3，－1,0}D．{－1,0,2}
2．(2023·全国乙卷文)设全集U＝{0,1,2,4,6,8}，集合M＝{0,4,6}，N＝{0,1,6}，则M∪∁UN＝(　　)A．{0,2,4,6,8}B．{0,1,4,6,8}C．{1,2,4,6,8}D．U
　　　　由题得∁UN＝{2,4,8}，所以M∪∁UN＝{0,2,4,6,8}．
3．(2024·南京、盐城一模)已知全集U与集合A，B的关系如图，则图中阴影部分所表示的集合为(　　)A．A∩∁UBB．A∪∁UBC．B∩∁UAD．B∪∁UA
　　　　观察Venn图知，阴影部分在集合A中，不在集合B中，所以所求集合为A∩∁UB．
4．(2024·连云港、如皋联考)已知全集U＝R，集合A，B满足A⊆(A∩B)，则下列关系一定正确的是(　　)A．A＝BB．B⊆AC．A∩(∁UB)＝∅D．(∁UA)∩B＝∅
　　　　因为集合A，B满足A⊆(A∩B)，所以A⊆B．对于A，B，D，当A为B的真子集时，不成立；对于C，A∩∁UB＝∅，恒成立．
5．(2024·扬州期末)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝2}，B＝{(x，y)|x＋y＝2}，则A∩B中元素的个数为(　　)A．0B．1C．2D．3
6．(2024·临汾三模)已知集合A＝{x|x＞a}，B＝{x|1＜x≤2}，且A∪∁RB＝R，则实数a的取值范围是(　　)A．(－∞，1]B．(－∞，1)C．[2，＋∞)D．(2，＋∞)
　　　　因为B＝{x|1＜x≤2}，所以∁RB＝{x|x≤1或x＞2}，如图．又A∪∁RB＝R，所以a≤1．
7．(2024·威海二模)在研究集合时，用card(A)来表示有限集合A中元素的个数．已知集合M＝{1,2,3,4}，N＝{x|x＞m}，若card(M∩N)＝2，则实数m的取值范围为(　　)A．[2,3)B．[2,3]C．(2,3)D．(2，＋∞)
　　　　由题知M∩N＝{3,4}，所以2≤m＜3．
8．(2024·深圳二模)对于任意集合M，N，下列关系正确的是(　　)A．M∪(∁M∪NN)＝M∪NB．∁M∪N(M∩N)＝(∁M∪NM)∪(∁M∪NN)C．M∩(∁M∪NN)＝M∩ND．∁M∪N(M∩N)＝(∁M∪NM)∩(∁M∪NN)
　　　　若M，N如图所示，对于A，∁M∪NN为区域①，所以M∪(∁M∪NN)＝M，故A错误；对于B，∁M∪N(M∩N)为区域①和
③，∁M∪NM为区域③，∁M∪NN为区域①，则(∁M∪NM)∪(∁M∪NN)也为区域①和③，两边相等，故B正确；对于C，∁M∪NN为区域①，M∩(∁M∪NN)为区域①，不等于区域②(区域②为M∩N)，故C错误；对于D，∁M∪N(M∩N)为区域①和③，而∁M∪NM为区域③，∁M∪NN为区域①，所以(∁M∪NM)∩(∁M∪NN)为空集，所以D错误．
9．(2024·邢台一模)设集合A＝{x|x2－x≤6}，B＝{xy|x∈A，y∈A}，则下列说法错误的是(　　)A．A∩B＝BB．B∩Z的元素个数为16C．A∪B＝BD．A∩Z的子集个数为64
　　　　对于A，B，C，因为A＝{x|x2－x≤6}＝{x|－2≤x≤3}，所以B＝{xy|x∈A，y∈A}＝{x|－6≤x≤9}，即A⊆B，所以A∩B＝A，A∪B＝B，B∩Z有6＋1＋9＝16(个)元素，故A错误，B，C正确；对于D，A∩Z有2＋1＋3＝6(个)元素，所以A∩Z的子集个数为26＝64，故D正确．
10．(2024·石家庄三模)某校“五一田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1 500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1 500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1 500米”都参加的有3人，“400米和1 500米”都参加的有3人，则下列说法不正确的是(　　)A．三项比赛都参加的有2人B．只参加100米比赛的有3人C．只参加400米比赛的有3人D．只参加1 500米比赛的有1人
　　　　根据题意，设A＝{x|x是参加100米比赛的同学}，B＝{x|x是参加400米比赛的同学}，C＝{x|x是参加1 500米比赛的同学}，则card(A)＝8，card(B)＝7，card(C)＝5，且card(A∩B)＝4，card(A∩C)＝3，card(B∩C)＝3，则card(A∩B∩C)＝12－[(8＋7＋5)－(4＋3＋3)]＝2，所以三项比赛都参加的有2人，只参加100米比赛的有3人，只参加400米比赛的有2人，只参加 1 500米比赛的有1人．
12．若非空集合M，N，P满足M∩N＝N，M∪P＝P，则(　 　)A．P⊆MB．M∩P＝MC．N∪P＝PD．M∩(∁PN)＝∅
　　　　由M∩N＝N得N⊆M．由M∪P＝P得M⊆P，推不出P⊆M，故A错误；由M⊆P可得M∩P＝M，故B正确；因为N⊆M且M⊆P，所以N⊆P，则N∪P＝P，故C正确；由N⊆M可得M∩(∁PN)不一定为空集，故D错误．
13．已知M，N均为实数集R的子集，且N∩(∁RM)＝∅，则下列结论正确的是(　 　)A．M∩(∁RN)＝∅B．M∪(∁RN)＝RC．(∁RM)∪(∁RN)＝∁RMD．(∁RM)∩(∁RN)＝∁RM
　　　　因为N∩(∁RM)＝∅，所以N⊆M．若N是M的真子集，则M∩(∁RN)≠∅，故A错误；由N⊆M，得M∪(∁RN)＝R，故B正确；由N⊆M，得(∁RN)⊇(∁RM)，故C错误，D正确．
14．我们知道，如果集合A⊆S，那么A的补集为∁SA＝{x|x∈S且x∉A}．类似地，对于集合A，B，我们把集合{x|x∈A且x∉B}叫做集合A和B的差集，记作A－B．例如：A＝{1,2,3,4,5}，B＝{4,5,6,7,8}，则有A－B＝{1,2,3}，B－A＝{6,7,8}．下列选项正确的是　 　 　 　 (　 　)A．已知A＝{4,5,6,7,9}，B＝{3,5,6,8,9}，则B－A＝{3,7,8}B．如果A－B＝∅，那么A⊆BC．已知全集U，集合A，集合B的关系如图所示，则B－A＝A∩(∁UB)D．已知A＝{x|x＜－1或x＞3}，B＝{x|－2≤x＜4}，则A－B＝{x|x＜－2或x≥4}
　　　　对于A，由B－A＝{x|x∈B且x∉A}，知B－A＝{3,8}，故A错误；对于B，由A－B＝{x|x∈A且x∉B}＝∅，知A⊆B，故B正确；对于C，由Venn图知B－A如图中阴影部分所示，则B－A＝B∩(∁UA)，故C错误；对于D，∁RB＝{x|x＜－2或x≥4}，则A－B＝A∩(∁RB)＝{x|x＜－2或x≥4}，故D正确．
三、填空题15．(2024·池州二模)已知集合A＝{x∈Z||x|≤2}，B＝{x|(2x＋1)(x－3)＜0}，则A∩B＝__________．
16．已知集合A＝{x|ax2－2x＋a＝0}中至多含有一个元素，则实数a的取值范围是_______________________________．
　　　　由题意，原问题转化为方程ax2－2x＋a＝0至多只有一个根．当a＝0时，方程为－2x＝0，解得x＝0，此时方程只有一个实数根，符合题意；当a≠0时，方程ax2－2x＋a＝0为一元二次方程，所以Δ＝4－4a2≤0，解得a≤－1或a≥1．综上，实数a的取值范围为(－∞，－1]∪[1，＋∞)∪{0}．
(－∞，－1]∪[1，＋∞)∪{0}