2026届高三数学一轮复习课件第58讲正态分布

这是一份2026届高三数学一轮复习课件第58讲正态分布，共55页。PPT课件主要包含了链教材·夯基固本，fx＝，45%，X～Nμσ2，x＝μ，研题型·能力养成，正态分布的性质，答案D，正态分布下的概率计算，答案BC等内容，欢迎下载使用。
1．(人A 选必三P87练习T1)设随机变量X～N(0，1)，则X的密度函数为__________ __________，P(X≤0)＝_____，P(|X|≤1)≈__________，P(X＞1)≈__________．(精确到0.000 1)
2．(人A 选必三P87练习T2)设随机变量X～N(0，22)，随机变量Y～N(0,32)，则P(|X|≤1)与P(|Y|≤1)之间的大小关系是________________________．
　　　　如图，X～N(0,22)，Y～N(0,32)的正态密度曲线都关于y轴对称，P(|X|≤1)＝P(－1≤X≤1)，P(|Y|≤1)＝P(－1≤Y≤1)．因为σ越大，曲线越扁平，所以P(|X|≤1)＞P(|Y|≤1)．
P(|X|≤1)＞P(|Y|≤1)
3．(人A 选必三P87习题T2)某市高二年级男生的身高X(单位：cm)近似服从正态分布N(170，52)，现随机选择一名该市高二年级的男生，则P(165≤X≤175)＝____________．
　　　　由题可得身高X作为变量符合均值为μ＝170，σ＝5的正态分布，P(165≤X ≤175)＝P(μ－σ≤X≤μ＋σ)＝0.682 7．
4．(人A 选必三P87习题T3)若X～N(μ，σ2)，则X位于区域[μ，μ＋σ]内的概率是___________．
5．(人A 选必三P87习题T4)袋装食盐标准质量为400 g，规定误差的绝对值不超过4 g就认为合格．假设误差服从正态分布，随机抽取100袋食盐，误差的样本均值为0，样本方差为4，可估计这批袋装食盐的合格率为___________．
　　　　设误差为X，则X～N(0，4)，所以P(|X|≤4)＝P(－4≤X≤4)＝P(μ－2σ≤X ≤μ＋2σ)≈0.954 5，故合格率约为95.45%．
2．正态曲线的特点(1) 曲线是单峰的，它关于直线__________对称；
(3) 当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴．
3．3σ原则：假设X～N(μ，σ2)，则(1) P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7；(2) P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5；(3) P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3．4．正态分布的均值与方差若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝______，D(X)＝_______．
　　　(多选)若X～N(μ，σ2)，则下列说法正确的是(　 　)A．P(X＜μ＋σ)＝P(X＞μ－σ)B．P(μ－2σ＜X＜μ＋σ)＜P(μ－σ＜X＜μ＋2σ)C．P(X＜μ＋σ)不随μ，σ的变化而变化D．P(μ－2σ＜X＜μ＋σ)随μ，σ的变化而变化
　　　　由题意知P(X＜μ＋σ)＝P(X＞μ－σ)，故A正确；P(μ－2σ＜X＜μ＋σ)＝P(μ－σ＜X＜μ＋2σ)，故B错误；P(X＜μ＋σ)为定值，不随μ，σ的变化而变化，故C正确；P(μ－2σ＜X＜μ＋σ)为定值，也不随μ，σ的变化而变化，故D错误．
(1)当σ一定时，曲线的位置由μ确定．曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图甲所示．(2)当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示．
变式1　设X～N(μ1，σ)，Y～N(μ2，σ)，这两个正态密度曲线如图所示，则下列结论正确的是　 　 (　　)A．P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)B．P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)C．函数F(t)＝P(X＞t)在R上单调递增D．P(μ1－2σ1≤X≤μ1＋2σ1)＝P(μ2－2σ2≤Y≤μ2＋2σ2)
　　　　由正态密度曲线的性质得X，Y的正态密度曲线分别关于直线x＝μ1，x＝μ2对称．对于A，由图象得μ1＜μ2，所以P(Y≥μ2)＜P(Y≥μ1)，故A不正确；对于B，由图象得X的正态密度曲线较Y的正态密度曲线“瘦高”，所以σ1＜σ2，所以P(X≤σ2)＞P(X≤σ1)，故B不正确；对于C，由正态密度曲线的性质知函数F(t)＝P(X＞t)在R上单调递减，故C不正确；对于D，根据3σ原则，无论σ 取何值时，都有P(μ1－2σ1≤X≤μ1＋2σ1)＝P(μ2－2σ2≤Y≤μ2＋2σ2)≈0.954 5，故D正确．
解决正态分布问题有三个关键点：(1) 正态密度曲线的对称轴x＝μ；(2) 标准差σ；(3) 分布区间．利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率．注意只有在μ＝0时正态密度曲线的对称轴才为x＝0．
1．(2024·泰州2月调研)每袋食盐的标准质量为500克，现采用自动流水线包装食盐，抽取一袋食盐检测，它的实际质量与标准质量存在一定的误差，误差值为实际质量减去标准质量．随机抽取100袋食盐，检测发现误差X(单位：克)近似服从正态分布N(0，σ2)，P(X≥2)＝0.02，则X介于－2～2的食盐袋数大约为(　　)A．4B．48C．50D．96
　　　　X～N(0，σ2)，P(X≥2)＝0.02，则P(0＜X＜2)＝0.48，P(－2＜X＜2)＝0.96，则100×0.96＝96．
2．(2024·唐山二模)某地区5 000名学生的数学成绩X(单位：分)服从正态分布N(90，σ2)，且成绩在[90,100]的学生人数约为1 800，则估计成绩在100分以上的学生人数约为(　　)A．200B．700C．1 400D．2 500
3．(2025·济南期初)(多选)已知在某市的一次学情检测中，学生的数学成绩X服从正态分布N(100,100)，其中90分为及格线，120分为优秀线，下列说法正确的是(　 　)附：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜ξ＜μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)＝0.954 4，P(μ－3σ＜ξ＜μ＋3σ)＝0.997 4．A．该市学生数学成绩的标准差为100B．该市学生数学成绩的期望为100C．该市学生数学成绩的及格率超过0.8D．该市学生数学成绩不及格的人数和优秀的人数大致相等
　　　(2024·沧州二模)某学校为了解该校学生对青运会有关赛事知识的掌握情况，采用随机抽样的方法抽取600名学生进行调查，成绩全部分布在40～100分之间，根据调查结果绘制的学生成绩的频率分布直方图如图所示．
　　　　由频率分布直方图中条形图的面积所表示的频率之和为1，得10×(0.004＋0.008＋0.012＋a＋0.026＋0.032)＝1，解得a＝0.018．
附：若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)≈0.997 3．(1) 求频率分布直方图中a的值；
　　　　由频率分布直方图，得前4组的频率和为10×(0.004＋0.008＋0.012＋0.026)＝0.5，所以估计这600名学生成绩的中位数为80．
附：若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)≈0.997 3．(2) 估计这600名学生成绩的中位数；
附：若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)≈0.997 3．(3) 由频率分布直方图可以认为，这次竞赛成绩X近似服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ为样本平均数(同一组数据用该组数据的区间中点值作代表)，σ≈9，试用正态分布知识解决下列问题：①若这次竞赛共有2.8万名学生参加，试估计竞赛成绩超过86.8分的人数(结果精确到个位)；
附：若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)≈0.997 3．(3) 由频率分布直方图可以认为，这次竞赛成绩X近似服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ为样本平均数(同一组数据用该组数据的区间中点值作代表)，σ≈9，试用正态分布知识解决下列问题：②现从所有参赛的学生中随机抽取10人进行座谈，设其中竞赛成绩超过77.8分的人数为Y，求随机变量Y的期望和方差．
1．(2024·烟台、德州二模)若随机变量ξ～N(3，σ2)，且P(ξ＞4)＝0.2，则P(2＜ξ＜3)＝(　　)A．0.2B．0.3C．0.4D．0.5
　　　　由随机变量ξ～N(3，σ2)，根据正态分布性质可知P(ξ＞3)＝0.5，因为P(ξ＞4)＝0.2，所以P(3＜ξ≤4)＝P(ξ＞3)－P(ξ＞4)＝0.5－0.2＝0.3．再根据正态分布曲线的对称性可知P(2＜ξ＜3)＝P(3＜ξ＜4)＝P(3＜ξ≤4)＝0.3．
3．(2024·广州二模)已知一批砂糖橘的果实横径(单位：mm)服从正态分布N(45,52)，其中果实横径落在[40,55]的砂糖橘为优质品，则这批砂糖橘的优质品率约为(若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5)(　　)A．0.682 7B．0.818 6C．0.841 3D．0.954 5
4．(2024·汕头二模)(多选)某校高三年级选考生物科的学生共1 000名，现将他们该科的一次考试分数转换为等级分，已知等级分X的分数转换区间为[30,100]，若等级分X～N(80,25)，则(　 　)参考数据：P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.682 7，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.954 5，P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.997 3．A．这次考试等级分的标准差为25B．这次考试等级分超过80分的约有450人C．这次考试等级分在[65,95]内的人数约为997D．P(70＜X≤75)＝0.135 9
5．(2022·新高考Ⅱ卷)已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，且P(2＜X≤2.5)＝0.36，则P(X＞2.5)＝________．
　　　　因为X～N(2，σ2)，所以P(X＞2)＝0.5，所以P(X＞2.5)＝P(X＞2)－P(2＜X≤2.5)＝0.5－0.36＝0.14．
一、单项选择题1．(2024·厦门四检)已知随机变量X～N(2，σ2)，P(X≤1)＝0.3，则P(X＜3)＝(　　)A．0.2B．0.3C．0.7D．0.8
　　　　已知随机变量X～N(2，σ2)，P(X≤1)＝0.3，则P(X≥3)＝P(X≤1)＝0.3，故P(X＜3)＝1－P(X≥3)＝0.7．
　　　　正态分布N(μ，σ)密度函数的性质：正态分布曲线是一条关于x＝μ对称，在x＝μ处取得最大值的连续钟形曲线；σ越大，曲线的最高点越低且弯曲较平缓；反过来，σ越小，曲线的最高点越高且弯曲较陡峭．故μ1＜μ2，σ1＜σ2．
4．(2024·金华义乌三模)某市高中数学统考(总分150分)，假设考试成绩服从正态分布N(95，122)，并按照16%，34%，34%，16%的比例将考试成绩从高到低分为A，B，C，D四个等级．若某同学考试成绩为99分，则该同学的等级为(参考数据：P(μ－σ＜X＜μ＋σ)＝0.68，P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)＝0.95)(　　)A．AB．BC．CD．D
6．(2024·聊城一模)在一次数学学业水平测试中，某市高一全体学生的成绩X～N(μ，σ2)，且E(X)＝80，D(X)＝400，规定测试成绩不低于60分者为及格，不低于120分者为优秀．令P(|X－μ|≤σ)＝m，P(|X－μ|＜2σ)＝n，则(　　　)A．μ＝80，σ＝400
三、填空题7．(2024·佛山二模)统计学中通常认为服从正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，简称为3σ原则．假设某厂有一条包装食盐的生产线，正常情况下食盐质量服从正态分布N(400，σ2)(单位：g)，某天生产线上的检测员随机抽取了一包食盐，称得其质量大于415g，他立即判断生产线出现了异常，要求停产检修．由此可以得出，σ的最大值是_____．
　　　　依题意，μ＝400，由3σ原则，得400＋3σ≤415，解得σ≤5，所以σ的最大值是5．
8．(2024·苏中苏北八市三调)已知随机变量X～N(4，42)．若P(X＜3)＝0.3，则P(3＜X＜5)＝_______；若Y＝2X＋1，则Y的方差为______．
　　　　因为P(X＜3)＝P(X＞5)＝0.3，所以P(3＜X＜5)＝1－2P(X＜3)＝0.4．由题意可知μ＝4，σ＝4，即D(X)＝16，又Y＝2X＋1，所以D(Y)＝4D(X)＝64．
四、解答题10．(2024·河南济、洛、平、许四模)某教学研究机构从参加高考适应性考试的20 000名考生中随机抽取了200人对其数学成绩进行了整理分析，作出了如图所示的频率分布直方图．
11．(2024·南昌二模)一条生产电阻的生产线，生产正常时，生产的电阻阻值X(单位：Ω)服从正态分布N(1 000，52)．参考数据：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈0.682 6，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)≈ 0.954 4，P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)≈0.997 4．(1) 生产正常时，从这条生产线生产的电阻中抽取2只，求这两只电阻的阻值在区间(995，1 000]和(1 005，1 010]内各一只的概率(精确到0.001)．
11．(2024·南昌二模)一条生产电阻的生产线，生产正常时，生产的电阻阻值X(单位：Ω)服从正态分布N(1 000，52)．参考数据：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈0.682 6，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)≈ 0.954 4，P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)≈0.997 4．