人教A版 (2019)必修 第二册平面向量的运算同步训练题

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一、必备知识分层透析
二、重点题型分类研究
题型1:求向量的和
题型2：向量的加法运算
题型3：向量加法的运用
一、必备知识分层透析
知识点1：向量的加法
（1）向量加法的定义
求两个向量和的运算,叫做向量的加法.两个向量的和仍然是一个向量.对于零向量与任意向量，我们规定.
（2）向量加法的三角形法则(首尾相接，首尾连）
已知非零向量,,在平面内任取一点,作,,则向量叫做与的和,记作,即.这种求向量和的方法,称为向量加法的三角形法则.
（3）向量加法的平行四边形法则（作平移,共起点,四边形,对角线）
已知两个不共线向量,,作,,以,为邻边作,则以为起点的向量(是的对角线)就是向量与的和.这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则.
（4）多个向量相加
已知个向量，依次把这个向量首尾相连，以第一个向量的始点为始点，第个向量的终点为终点的向量叫做这个向量的和向量，这个法则叫做向量求和的多边形法则。如图.
知识点2：向量加法的运算律
（1）交换律
（2）结合律
二、重点题型分类研究
题型1:求向量的和
典型例题
例题1．如图为正八边形，其中为正八边形的中心，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由平面向量的运算法则，可得.故选：A.
例题2．如图是平行四边形，则在向量（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】解：因为在平行四边形中，，所以故选：D
例题3．如图，为边长为1的正六边形，为其几何中心.
(1)化简；
(2)化简；
(3)化简；
(4)求向量的模.
【答案】(1)(2)(3)(4)2
(1)解：根据向量的平行四边形法则得；
(2)解：根据题意，，所以；
(3)解：因为，所以；
(4)解：因为，所以，所以
同类题型演练
1．化简等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】.故选:C.
2．如图，在平行四边形ABCD中，（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由题意得，.故选：B.
3．已知空间四边形，连接，，则______．
【答案】
【详解】故答案为：
题型2：向量的加法运算
典型例题
例题1．向量化简后等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】故选：D
例题2．已知下列各式：①； ②； ③； ④.其中结果为的是____.(填序号)
【答案】①④##④①
【详解】①;
②;
③;
④.
故答案为：①④.
同类题型演练
1．已知是非零向量，则，，，，中，与向量相等的向量的个数为（ ）
A．5B．4
C．3D．2
【答案】A
【详解】因为向量的加法满足交换律和结合律，所以，，，，都等于，故选：A
2．下列四个等式：
①； ②； ③； ④．
其中正确的是______．（填序号）
【答案】①②③
【详解】由向量的运算律及相反向量的性质可知①②是正确的，③符合向量的加法法则，也是正确的，对于④，向量的线性运算，结果应为向量，故④错误，故答案为：①②③
3．如图，在平行四边形中，O是和的交点.
（1）____________； （2）________；
（3）_______； （4）_________.
【答案】
【详解】（1）由平行四边形法则，；
（2）由向量加法的三角形法则，；
（3）由向量加法法则得，；
（4）由向量加法法则得，．
故答案为：；；；．
题型3：向量加法的运用
典型例题
例题1．已知O是所在平面内一点，且，那么（ ）
A．点在的内部B．点在的边上
C．点在边所在的直线上D．点在的外部
【答案】D
【详解】因为，所以四边形OACB为平行四边形．从而点O在的外部．故选：D
例题2．若点是的重心，则（ ）
A．0B．C．D．
【答案】B
【详解】如图：为的重心，分的比为，即
延长到，使，连接，则
故选：B.
例题3．如图所示，，||＝||＝||，求＋＋.
【答案】
【详解】如图所示，
以OA，OB为邻边作平行四边形OADB，由向量加法的平行四边形法则知
由，∠AOB＝120°，知∠BOD＝60°，，又∠COB＝120°，且，
，.
同类题型演练
1．如图，正六边形ABCDEF中，（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】解：正六边形ABCDEF中，因为，所以，故选：B.
2．如图，在中，（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由平行四边形法则知，.故选：B.
3．在四边形ABCD中，＋＝，则四边形ABCD是（ ）
A．梯形B．矩形
C．正方形D．平行四边形
【答案】D
【详解】由平行四边形法则可得，四边形ABCD是以AB，AD为邻边的平行四边形.故选：D.
4．在矩形ABCD中，，，则向量的长度为（ ）
A．B．C．12D．6
【答案】B
【详解】因为，所以的长度为的模的2倍．
又，所以向量的长度为故选：B
5．如图所示，四边形ABCD是梯形，AD//BC，则＋＋＝________.
【答案】
【详解】＋＋.
故答案为：.