【数学】四川省成都市蓉城名校联盟2026届高三上学期开学联考试题（学生版+解析版）

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一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知命题p：，，则为（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
2. 设且，则的最小值为（ ）
A. 2B. 3C. D.
3. 在的展开式中，含项的系数为（ ）
A. B. 56C. D. 28
4. 随机变量，若，则（ ）
A. B.
C. D.
5. 某市环保部门研究近十年空气质量数据，得到以下结论：
结论一：浓度与机动车保有量的样本相关系数；
结论二：绿化覆盖率与呼吸道疾病发病率的样本相关系数；
结论三：工业能耗与近地面臭氧浓度的样本相关系数.
下列说法正确的是（ ）
A. 由结论一可知，机动车保有量增加是浓度升高的直接原因
B. 由结论二可知，绿化覆盖率与呼吸道疾病发病率无关联
C. 结论三表明工业能耗与近地面臭氧浓度呈正相关，且线性相关性比结论一更强
D. 结论一中接近1，说明浓度与机动车保有量存在极强的线性相关关系
6. 已知数列满足，则（ ）
A. B.
C. D.
7. 在直三棱柱中，.若点满足，且点在平面内，则（ ）
A. B. C. D. 1
8. 设函数，若存在唯一整数使，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 将6本不同的书分给甲､乙､丙三人，每人至少分得1本，则下列说法正确的是（ ）
A. 若甲分得1本，乙分得2本，丙分得3本，则有60种方案
B. 若每人分得2本，则有90种方案
C. 若三人分得书本数互不相同，则有360种方案
D. 共有450种分配方案
10. 已知圆C：和直线l：，则下列说法正确的是（ ）
A. 当时，直线l被圆截得的弦长为
B. 当时，圆上到直线的距离为1的点有3个
C. 存在实数，使得直线与圆相切
D. 若直线与圆相交，则实数的取值范围为
11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 若为的极小值点，则的取值范围为
B. 存在，使得在上有且仅有一个零点
C. 当时，过点存在两条直线与曲线相切
D. 存在，使得
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 设集合，，则______．
13. 某产品的广告投入（万元）与销售额（万元）的统计数据如下：
若关于的线性回归方程为，则__________.
14. 数列满足，则的前项和为______．
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知等差数列的公差，前n项和为，且，成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）证明：．
16. 一批零件共有12件，其中有3件次品，现不放回地随机抽取4件进行检验.
（1）求抽到的次品数的分布列；
（2）若已知抽到的4件中至少有1件次品，求恰好有2件次品的概率.
17. 随着手机的日益普及，学生使用手机对学校管理和学生发展带来诸多影响.某中学为探究“周末使用手机时长是否影响学业成绩”，随机调查100名学生，得到部分统计数据如下表：
记事件“学业成绩良好且使用手机小时”，事件“学业成绩不良好且使用手机小时”，已知事件A的频率是事件的频率的3倍.
（1）求表中的的值；
（2）记使用手机小时的学生中学业成绩良好的概率为，求的估计值；
（3）根据小概率值的独立性检验，分析周末使用手机时长与学业成绩是否有关联.
参考数据：，其中.
18. 已知函数.
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）讨论函数在上的单调性；
（3）若在内恰有两个不同的极值点，求的取值范围.
19. 已知双曲线：的离心率为，且过点．抛物线C：的焦点与双曲线的右焦点重合．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）设直线l：与抛物线C交于A，B两点，与双曲线的左、右两支分别交于C，D两点．
（ⅰ）探究是否存在实数m，使得，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由；
（ⅱ）求的最小值．
2
3
5
6
20
35
50
55
学业成绩
使用手机小时
使用手机小时
良好
20
不良好
40
0.10
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828