【数学】江西省多校联考2026届高三上学期9月联考试题（学生版+解析版）

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是题目要求的．
1. 已知全集，集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因为全集，集合，
所以，所以.
故选：A.
2. 已知，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为，所以，
当且仅当，即时，等号成立，
故选：B.
3. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由的定义域为，
在中，得，
则的定义域为.
故选：C.
4. 已知函数的导函数为，若，则（ ）
A. 20B. 18C. 16D. 14
【答案】D
【解析】由得，
所以，即，
解得，
所以，则，
故选：D.
5. “”是“关于的不等式恒成立”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】当时，恒成立，符合题意；
当时，则由不等式恒成立可得，解得.
综上，不等式恒成立的充要条件为.
所以“”是“关于的不等式恒成立”的充分不必要条件.
故选：A.
6. 某食品的保鲜时长（单位：）与储藏温度（单位：）满足函数关系当时，，当时，．要保证该食品的保鲜时长不低于，则储藏温度不高于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题可知，则，故，
设储藏温度不高于，该食品的保鲜时长不低于，
则，则，则.
故选：B.
7. 已知在上可导，且，则曲线在处的切线的斜率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为在上可导，所以由导数的定义及几何意义可知，
曲线在处切线的斜率，
因为，
所以，，
所以，
又因为，
所以，
则，
所以，则，
即，
故选：A.
8. 已知函数若函数恰有三个零点，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】作出的图象，如图所示，
因为，
所以函数的图象关于直线对称，
当时，，
则函数在和上单调递减，
在，和上单调递增，
且，，
则若有三个零点，
则函数与有三个交点，
则，
令，可知，，
且，得，
则，
故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知函数的导函数为，的图象大致如图所示，则下列选项正确的是（ ）
A. 是的极大值点
B. 是的极小值点
C. 在上单调递减，在上单调递增
D. 在和上单调递增，在上单调递减
【答案】BC
【解析】由图可知，当时，，当时，，
所以是的极小值点，无极大值点，
在上单调递减，在上单调递增．
故答案为：BC.
10. 已知，，，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】A选项：因为，，所以，，则由，
可得，则，A选项正确；
B选项：，
又，，但的正负不确定，所以的正负不确定，B选项错误；
C选项：由，可得，C选项正确；
D选项：，
因为，，所以，则，
即，D选项正确；
故选：ACD.
11. 已知均为定义域为的奇函数，且，则（ ）
A.
B.
C.
D. 的图象关于点中心对称
【答案】ABD
【解析】由①，得②，
因为为奇函数，所以，
由①+②得③，
所以的图象关于点中心对称，且，故A，D正确.
因为为定义域为的奇函数，所以，
，即，
结合③可得，所以，的周期为2，
所以，故B正确，
所以，，
解得，故C错误.
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若“，”为真命题，则的取值范围为______．
【答案】
【解析】由题可知，，解得，
故答案为：.
13. 已知，若，且，则关于的不等式的解集为______．
【答案】
【解析】因为，所以，
解得或，
又，所以，则，则，即．
又，所以，，
即原不等式为，解得或，
故答案为：.
14. 设函数，若，则a的取值范围为______．
【答案】
【解析】当时，，则，即恒成立，
设，则，所以当时，，为增函数，
当时，，为减函数，
所以有最大值为，；
当时，函数均单调递减，
若要使恒成立，则有相同的零点，设为，
则，所以，
所以，解得；
所以a的取值范围为.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知集合，．
（1）求；
（2）设集合，若，求的取值范围．
【答案】解：（1）由指数函数性质可知单调递增，且，
则集合，
集合满足，即，，
所以；
（2）由已知，可得，
当时，，此时满足；
当时，解不等式可得，
则若，则需满足，即，
综上所述，的取值范围为.
16. 已知正数，满足．
（1）求的最大值；
（2）求的最小值．
【答案】解：（1）由，，可知，
即，解得，
当且仅当时，等号成立，
即的最大值为；
（2）由，得，
则，
当且仅当，时，等号成立，
故的最小值为．
17. 已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）讨论的单调性；
（3）若，求的取值范围.
【答案】解：（1）当，则，得，，得
所以切线方程为，即.
故曲线在点处的切线方程为.
（2）由，函数的定义域为R，得.
当时，由指数函数性质得，得，所以函数在R上单调递增.
当时，因函数在R上单调递减，所以函数在R上单调递增，
所以在R上单调递增.
令，解得，
当时，，当时，.
所以在上单调递减，在上单调递增.
综上，当时，在R上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（3）解法一：
当时，，显然不满足；
当时，，，所以，不满足；
当时，由（2）可得，
因为恒成立，所以，所以，
解得.
所以的取值范围为.
解法二：
因为，所以恒成立.
当时，不等式恒成立.
当时，，即，
令函数，则，
令，得，所以，即，
再令，得，所以，即，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以，
故的取值范围为.
18. 已知函数是奇函数．
（1）求不等式的解集．
（2）若函数在上单调递增，求的取值范围．
（3）是否存在使得在上的值域为?若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．
【答案】解：（1）因为是奇函数，所以，则，
即，则，
因为，所以，
且当时，的定义域为，且，满足题意，
由，得，则，
解得，则不等式的解集为；
（2）由（1）可知，
易知函数在和上单调递增，
则在和上单调递增．
因为在上单调递增，所以，
解得，则的取值范围为；
（3）假设存在，，，
使得在上的值域为，
由（2）可知在上单调递增，则，
即，整理得，
即，是关于的方程的两个实数根，
因为，，
所以，
即
所以，，
故存在，，，
使得在上的值域为，
且的取值范围为．
19. 定义“下凸函数”在区间上，对任意均有当且仅当时，等号成立．若函数在区间上存在二阶可导函数，则为区间上的“下凸函数”的充要条件是（为的导函数）．
（1）若是上的“下凸函数”，求的取值范围．
（2）①证明：函数在上为“下凸函数”．
②证明：当时，．
（3）已知正实数满足求的最小值（用n的代数式表示）．
【答案】（1）解：由，可得，，
因为是上的“下凸函数”，
所以在上恒成立，即恒成立，
所以在上恒成立，
令，则，
当时，，所以在上单调递减，
所以，所以，
所以实数的取值范围为.
（2）证明：①由，可得，，
当时，，即，根据下凸函数的充要条件，
可知函数在上为“下凸函数”．
②因为
．
所以．
令，因为，所以，则，求导，
令，即，解得.
当时，，单调递减；当时，，单调递增；
所以在处取得最小值，，
即．
（3）解：令，则目标为最小化，
考虑函数，求导，，
在内，，故在上为下凸函数，
所以，
即
即，
所以，
当且仅当时，等号成立，
因此的最小值为.