北师大版八年级上册数学期中测试卷（含答案含解析）

这是一份北师大版八年级上册数学期中测试卷（含答案含解析），共27页。试卷主要包含了下列选项是无理数的为，已知有意义，则x的取值范围是，下列运算正确的是，在平面直角坐标系中，点一定在，下列等式不成立的是，根据下列表述，能确定位置的是，宽与长的比是等内容，欢迎下载使用。
选择题（10题×3分=30分）
1．下列选项是无理数的为（ ）
A．B．C．D．
2．已知有意义，则x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．以下列长度的线段为边，不能组成直角三角形的是（ ）
A．5，12，13B．1，C．D．7，24，25
5．在平面直角坐标系中，点一定在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
6．下列等式不成立的是（ ）
A．B．
C．D．
7．如图，边长为的正方形两个顶点分别与数轴上的和重合，以数轴上所在的点为圆心按图示作弧线，交数轴于点，则点表示的数为（ ）
A．B．
C．D．
8．如图，已知点在第一象限角平分线上，若是直角顶点，点P在上，角两边与x轴y轴分别交于A点，B点，则等于（ ）
A．1B．2C．3D．4
9．根据下列表述，能确定位置的是（ ）
A．航海东路B．大卫城负二层停车场
C．奥斯卡影城号厅排D．东经，北纬
10．宽与长的比是（约为）的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形给我们以协调，匀称的美感．世界各国许多著名的建筑为取得最佳的视觉效果都采用了黄金矩形设计，如图希腊的帕特农神庙等．我们可以通过折叠得到一个黄金矩形．正确的折叠顺序是（ ）
A．①②③④B．④③①②C．①④③②D．④①③②
填空题（6题×4分=24分）
11．若与互为相反数，则的值为 ．
12．已知点在x轴上，则a的值是 ．
13．如图所示的网格是正方形网格，每个小正方形的边长均为1，点，，，都在格点上，则的度数是 度．
14．如图，点与点关于直线（过点，且与轴平行的直线）对称，则 ．
15．如图，已知圆柱体底面圆的半径为2，高为6，若一只小虫从点出发，从侧面爬行到点吃食物，则小虫爬行的最短路线的长度是 ．（）
16．如图，在平面直角坐标系中，设一点自处向上运动个单位长度至，然后向左运动个单位长度至处，再向下运动个单位长度至处，再向右运动个单位长度至处，再向上运动个单位长度至处，…，如此继续运动下去，设，…
（1） ．
（2） ．
三、解答题（8题共66分）
17.（每小题3分，共6分）计算：
（1）（2）
（3）解方程：；
18.（每小题4分，共8分）已知的立方根是的算术平方根是是的整数部分．
（1）求的值；
（2）求的平方根．
19.（8分）计算：
（1）；（2）已知，求代数式的值．
20.（8分）如图，已知、、．
（1）直接写出点到轴的距离；
（2）求作关于轴对称的图形，并写出各顶点坐标；
（3）点在轴上，当的面积为时，请直接写出点的坐标．
21.（8分）观察下列各式的规律：
①； ②； ③ …
（1）针对上述①②③三个式子的规律，写出第④个等式：__________________________；
（2）请用含（为任意自然数，且）的式子表示，写出满足上述规律的等式，并证明所写等式的正确性．
22.（8分）如图，杂技团演员在圆柱形场地表演荡秋千节目，小丑甲在A处坐上秋千，小丑乙在离秋千的B处保护（即）．
（1）当甲荡至乙处时，乙发现甲升高了，即米．请你尝试求出秋千绳索的长度；
（2）在（1）小题绳索长度不变的情况下，已知圆柱场地的底面直径为20米，为了保证表演的安全性，小丑甲相比点A最多升高多少米（竖直距离）？
23.（10分）【综合与实践】
【情境背景】小明是一位热爱数学和几何的探险家，有一天，他来到一个神秘的岛屿，岛上有一个古老的遗迹，遗迹中有三个神秘的点A、B、C，它们构成了一个等腰直角三角形，其中．小明发现，这个三角形隐藏着某种秘密，可能与岛上的宝藏有关．
【任务一】
（1）如图1，小明在遗迹中发现了一条直线，这条直线恰好经过点C．他测量发现，．为了解开遗迹的第一个谜题，小明需要证明：，且．则可通过求即可证明．请你尝试帮助小明写出证明过程；
【任务二】（2）如图2，小明使用他的设备，确定了点A和点C的坐标．点A的坐标为，点C的坐标为．为了找到点B的坐标，可以借鉴任务一的全等模型，构造全等三角形．请你帮小明计算出点B的坐标；
【任务三】（3）如图3，在遗迹的另一个部分，小明又发现了另一个等腰直角三角形，这次点A的坐标为，点C的坐标为．小明猜测，这个三角形的另一个顶点B的坐标可能与宝藏的位置有关．请你再次帮助小明，直接给出点B的坐标．
24.（10分）【背景介绍】千百年来，人们对勾股定理的证明乐此不疲，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春构造发现了一个新的证法：把两个全等的和按如图1方式放置，其三边长分别为a，b，c，．
（1）请你利用图1证明勾股定理；
（2）如图2，在△ABC中，，，，且，当△ABC是钝角三角形时，猜想与之间的关系，并说明理由；
（3）已知的三边为a，b，c（c为斜边），其中a，b满足，求的斜边的长．
新北师大版八上期中数学模拟冲刺卷参考答案
试卷信息：满分120分，考试时间120分钟；命题范围：八年级上册（1-3章），难度比例：基础题70%，中档题20%，压轴题10%；题量分布：24题（选择题10题+填空6题+解答题8题）．
选择题（10题×3分=30分）
1．下列选项是无理数的为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查无理数的概念，掌握相关知识是解决问题的关键．无理数是无限不循环小数，据此判断即可．
解：∵无理数是无限不循环小数，
∴，，都不是无理数，
只有是无限不循环小数．
故选：B．
2．已知有意义，则x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件“二次根式的被开方数是非负的”，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题关键．根据二次根式的被开方数是非负的求解即可得．
解：∵有意义，
∴，
解得，
故选：A．
3．下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了算术平方根，立方根，根据算术平方根和立方根的定义即可求出答案．
解：A、，错误，不符合题意；
B、，正确，符合题意；
C、，错误，不符合题意；
D、，错误，不符合题意；
故选：B．
4．以下列长度的线段为边，不能组成直角三角形的是（ ）
A．5，12，13B．1，C．D．7，24，25
【答案】C
【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，掌握如果三角形两条短边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形是解题关键．
根据勾股定理逆定理逐项判断即可．
解：A.∵，∴5，12，13能组成直角三角形，不符合题意；
B.∵，∴1，能组成直角三角形，不符合题意；
C.∵，不能组成直角三角形，符合题意；
D.∵，∴7，24，25能组成直角三角形，不符合题意．
故选：C．
5．在平面直角坐标系中，点一定在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【分析】本题考查点横纵坐标与所在象限的关系，判定点P的横纵坐标的符号即可得解．
解：∵，，，
∴点一定在第四象限，
故选：D．
6．下列等式不成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】本题考查二次根式的乘法，二次根式的除法，二次根式的化简，二次根式的减法，熟练掌握二次根式的相关运算法则是解题的关键，利用二次根式的乘法，二次根式的除法，二次根式的化简，二次根式的减法逐项进行计算即可判断．
解：A中，，正确，故不符合题意；
B中，，原计算错误，故符合题意；
C中，，正确，故不符合题意；
D中，，正确，故不符合题意；
故选：B．
7．如图，边长为的正方形两个顶点分别与数轴上的和重合，以数轴上所在的点为圆心按图示作弧线，交数轴于点，则点表示的数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查勾股定理，无理数的知识，解题的关键是根据题意，求出正方形的对角线，再根据以对角线为半径，作弧线，即可得到点表示的数．
解：∵正方形的边长为，
∴正方形的对角线为，
以数轴上所在的点为圆心，对角线为半径，按图示作弧线，
∴点表示的数为：．
故选：D．
8．如图，已知点在第一象限角平分线上，若是直角顶点，点P在上，角两边与x轴y轴分别交于A点，B点，则等于（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，坐标与图形综合，由条件可知，求出点P的坐标为，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为D、E，由点P的坐标知，，证明，得出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
解：由条件可知，
解得：，
则点P的坐标为，
过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为D、E，如图，
则，
∴，
∵，
∴，
由点P的坐标知，，
∴，
∴，
∴．
答案：D．
9．根据下列表述，能确定位置的是（ ）
A．航海东路B．大卫城负二层停车场
C．奥斯卡影城号厅排D．东经，北纬
【答案】D
【分析】本题考查了坐标，根据坐标的定义，确定位置需要两个数据，据此逐项分析即可求解，理解坐标的定义是解题的关键．
解：、航海东路，不能确定位置，该选项不合题意；
、大卫城负二层停车场，不能确定位置，该选项不合题意；
、奥斯卡影城号厅排，不能确定位置，该选项不合题意；
、东经，北纬，能确定位置，该选项符合题意；
故选：．
10．宽与长的比是（约为）的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形给我们以协调，匀称的美感．世界各国许多著名的建筑为取得最佳的视觉效果都采用了黄金矩形设计，如图希腊的帕特农神庙等．我们可以通过折叠得到一个黄金矩形．正确的折叠顺序是（）
A．①②③④B．④③①②C．①④③②D．④①③②
【答案】C
【分析】本题考查的是黄金分割的概念，折叠，勾股定理，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，它们的比值叫做黄金比．
根据题意，逐一分析判断即可解答．
解：由图可知，正确的折叠顺序是①④③②．
根据题意，设．
∵四边形正方形，
∴．
根据折叠易得，点A是的中点，则．
∴．
根据折叠可知，则，
∴，
∴矩形是黄金矩形．
故选C．
填空题（6题×4分=24分）
11．若与互为相反数，则的值为 ．
【答案】9
【分析】本题考查了相反数的性质，二次根式和绝对值的非负性等知识点，掌握这些是解题的关键．
根据题意列式，再根据二次根式和绝对值的非负性得到x，y的值，代入即可．
解：与互为相反数，
，
，解得，
．
故答案为：9．
12．已知点在x轴上，则a的值是 ．
【答案】7
【分析】本题考查了点的坐标，熟练掌握x轴上的点的纵坐标为0是解题的关键．
根据x轴上的点的纵坐标为0列式求解即可得到答案．
解：∵点在x轴上，
∴，
解得：．
故答案为：7．
13．如图所示的网格是正方形网格，每个小正方形的边长均为1，点，，，都在格点上，则的度数是 度．
【答案】
【分析】作C点关于AB的对称点E，连接DE，由对称性知≌，得到∠CAB＝∠BAE，再结合网格利用勾股定理得出AD，DE，AE的长，进而利用勾股逆定理解答即可．
解：作C点关于AB的对称点E，连接AE，DE，如图所示：
由对称性知≌，
∴∠CAB＝∠BAE，
在正方形网格，每个小正方形的边长均为1，
在Rt中，，由勾股定理得：，
在Rt中，，由勾股定理得：，
，
在Rt中，，由勾股定理得：，
∴，
∴△AED是等腰直角三角形，
∴∠DAE＝45°＝∠DAB＋∠BAE＝∠DAB＋∠CAB，
故答案为：45．
【点拨】本题考查网格中运用勾股定理、勾股逆定理及等腰直角三角形的判定与性质，关键是根据勾股定理得出AD，DE，AE的长解答．
14．如图，点与点关于直线（过点，且与轴平行的直线）对称，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了坐标与图形变化—轴对称，根据对称点到对称轴的距离相等得出，得出，结合横坐标不变，所以，即可作答．
解：∵点与点关于直线（过点，且与轴平行的直线）对称，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
15．如图，已知圆柱体底面圆的半径为2，高为6，若一只小虫从点出发，从侧面爬行到点吃食物，则小虫爬行的最短路线的长度是 ．（）
【答案】
【分析】本题主要考查了最短路径的问题，勾股定理，学生要掌握圆柱体的侧面展开图是长方形，并且理解两点之间线段最短这一基本事实是本道题解题的关键．
沿展开，则点落在点位置，其中为底面周长的一半，即可求出，再结合勾股定理可得，即可求解．
解：沿展开，则点落在点位置，其中为底面周长的一半（如图）：
∵底面半径为，
∴底面周长，
∴，
∵在中，，，
∴，
故答案为：．
16．如图，在平面直角坐标系中，设一点自处向上运动个单位长度至，然后向左运动个单位长度至处，再向下运动个单位长度至处，再向右运动个单位长度至处，再向上运动个单位长度至处，…，如此继续运动下去，设，…
（1） ．
（2） ．
【答案】
【分析】此题主要考查了点的坐标特点，解决本题的关键是分析得到4个数相加的规律．
（1）根据各点横坐标、纵坐标的数据得出规律，进而得出答案即可；
（2）经过观察分析可得每4个数的和为2，把2024个数分为506组，再得出,即可得到相应结果．
解：（1）由题意可知 ……
于是得到的值为1，，，3，
∴；
故答案为：2．
（2）∵的值分别为3，，，，
∴；
∵，
，
…
，
∵，
∴．
∵，,，……
∴，
∵，
∴；
故答案为：．
三、解答题（8题共66分）
17.（每小题3分，共6分）计算：
（1）（2）
（3）解方程：；
【答案】（1）10；（2）；（3）或；
【分析】本题主要考查了实数的混合运算、平方根的应用等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键．
（1）根据算术平方根化简即可；
（2）先根据立方根、绝对值、算术平方根化简，然后再计算即可；
（3）运用平方根的定义作答即可．
解：（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
∴或，
解得或.
18.（每小题4分，共8分）已知的立方根是的算术平方根是是的整数部分．
（1）求的值；
（2）求的平方根．
【答案】（1）；（2）
【分析】本题主要考查了求平方根，求立方根，无理数的估算，
（1），先根据立方根求出a，算术平方根求出b，再估算无理数可得c；
（2），将数值代入计算，再求出平方根即可.
解：（1）解：∵的立方根是2，的算术平方根是4，
∴，，
解得.
∵，c是的整数部分，
∴，
∴；
（2）解：，
所以9的平方根是.
19.（8分）计算：
（1）；
（2）已知，求代数式的值．
【答案】（1）；（2）4
【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，二次根式的化简．
（1）先把各根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可；
（2）把x的值代入代数式进行计算即可．
解：（1）解：
；
（2）解：∵，
∴
．
20.（8分）如图，已知、、．
（1）直接写出点到轴的距离；
（2）求作关于轴对称的图形，并写出各顶点坐标；
（3）点在轴上，当的面积为时，请直接写出点的坐标．
【答案】（1）点到轴的距离为；（2）见分析，、、；（3）点的坐标为或
【分析】本题考查了点到坐标轴的距离，画轴对称图形，写出点的坐标，以及三角形的面积公式；
（1）根据点到x轴的距离为纵坐标的绝对值即可解答；
（2）利用轴对称的性质分别作出A，B，C的对应点，顺次连接，并根据坐标系写出各点的坐标即可；
（3）设点P的坐标为，利用的面积为6可得，解得或，即可得到答案．．
解：（1）解：
，
∴点到轴的距离为；
（2）如图，即为所求，、、；
（3）解：设点P的坐标为，
∵的面积为6，
∴，
∴，
解得或，
∴点P的坐标为或．
21.（8分）观察下列各式的规律：
①； ②； ③ …
（1）针对上述①②③三个式子的规律，写出第④个等式：__________________________；
（2）请用含（为任意自然数，且）的式子表示，写出满足上述规律的等式，并证明所写等式的正确性．
【答案】（1）；（2），证明见分析
【分析】本题考查了数字类规律探索，正确得出规律是解此题的关键．
（1）根据题干所给式子写出第④个等式即可；
（2）根据题干所给式子得出规律，验证即可得解．
解：（1）解：由题意可得：第④个等式：；
（2）解：由题意可得：，
右边左边，
故等式成立．
22.（8分）如图，杂技团演员在圆柱形场地表演荡秋千节目，小丑甲在A处坐上秋千，小丑乙在离秋千的B处保护（即）．
（1）当甲荡至乙处时，乙发现甲升高了，即米．请你尝试求出秋千绳索的长度；
（2）在（1）小题绳索长度不变的情况下，已知圆柱场地的底面直径为20米，为了保证表演的安全性，小丑甲相比点A最多升高多少米（竖直距离）？
【答案】（1）秋千绳索的长度为；（2）小丑甲相比点A最多升高
【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理构建方程或算式．
（1）设．在中，根据，构建方程即可解决问题；
（2）由题意，最大宽度为，根据勾股定理，求出，即可解决问题．
解：（1）解：如图，连接交于点D．设秋千绳索长为，则．
由对称性知，垂直平分，
∵，
∴，
在中，
∵，
∴，
∴，
答：秋千绳索的长度为．
（2）解：由题意可知：
最大宽度为，
此时，
在中，，
∴（m），
∴（m）．
答：比点A最多升高．
23.（10分）【综合与实践】
【情境背景】小明是一位热爱数学和几何的探险家，有一天，他来到一个神秘的岛屿，岛上有一个古老的遗迹，遗迹中有三个神秘的点A、B、C，它们构成了一个等腰直角三角形，其中．小明发现，这个三角形隐藏着某种秘密，可能与岛上的宝藏有关．
【任务一】
（1）如图1，小明在遗迹中发现了一条直线，这条直线恰好经过点C．他测量发现，．为了解开遗迹的第一个谜题，小明需要证明：，且．则可通过求即可证明．请你尝试帮助小明写出证明过程；
【任务二】（2）如图2，小明使用他的设备，确定了点A和点C的坐标．点A的坐标为，点C的坐标为．为了找到点B的坐标，可以借鉴任务一的全等模型，构造全等三角形．请你帮小明计算出点B的坐标；
【任务三】（3）如图3，在遗迹的另一个部分，小明又发现了另一个等腰直角三角形，这次点A的坐标为，点C的坐标为．小明猜测，这个三角形的另一个顶点B的坐标可能与宝藏的位置有关．请你再次帮助小明，直接给出点B的坐标．
【答案】（1）见分析（2）（3）
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，坐标与图形，熟练掌握一线三直角全等模型，是解题的关键：
（1）证明即可；
（2）作轴，证明，即可得出结果；
（3）过点作直线轴，交轴于点，作，证明，进而求出点的坐标即可．
解：（1）∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，；
（2）作轴，则，
∵点A的坐标为，点C的坐标为，
∴，
同（1）理可证：，
∴，
∴，
∴；
（3）过点作直线轴，交轴于点，作，
∵点A的坐标为，点C的坐标为，
∴，
同（1）理可证：，
∴，
∴，即：．
24.（10分）【背景介绍】千百年来，人们对勾股定理的证明乐此不疲，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春构造发现了一个新的证法：把两个全等的和按如图1方式放置，其三边长分别为a，b，c，．
（1）请你利用图1证明勾股定理；
（2）如图2，在△ABC中，，，，且，当△ABC是钝角三角形时，猜想与之间的关系，并说明理由；
（3）已知的三边为a，b，c（c为斜边），其中a，b满足，求的斜边的长．
【答案】（1）见分析；（2），理由见分析；（3）的斜边的长为
【分析】本题考查了勾股定理、完全平方公式，熟练掌握勾股定理是解题关键．
（1）证明，根据列式可得；
（2）过点A作交延长线于H，设，由勾股定理得，整理得，由可得，故可得结论；
（3）把代入得，求出的值，再求的值即可．
解：（1）证明：根据题意，由图1可知：
，，，，，
∴，
∴
∴，
∴，
∴
；
又∵
，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下：
过点A作交延长线于H，设，
在中，，
在中，，
∴，
化简得，，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：在中，，
∵
∴，
∴，
解得，，
∵
∴，
∴（负值舍去）
∴的斜边的长为．