2025-2026学年山东省泰安第一中学（新校区）高二上学期10月学情检测数学试卷（含答案）

这是一份2025-2026学年山东省泰安第一中学（新校区）高二上学期10月学情检测数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知AB=-3, 3是直线l的方向向量，且直线m⊥l，则直线m的倾斜角为( )
A. 150°B. 120∘C. 30∘D. 60∘
2.设x,y,z∈R,a→=(1,1,1),b→=(1,y,z),c→=(x,-4,2)，且a⊥c,b//c，则2a+b=( )
A. 2 2B. 0C. 3D. 3 2
3.已知直线l1:mx-4y+2=0m∈R与l2:x-my+1=0，若l1/\!/l2，则l1,l2之间的距离是( )
A. 55B. 510C. 2 55D. 3 55
4.一条光线从点P(4,2)射出，经过直线y=x反射后恰好平分圆x2+y2+4y+3=0的周长，则入射光线所在直线的方程为( )
A. x-3y-2=0B. x-3y+2=0C. 3x-y-2=0D. x+3y-10=0
5.如图，已知A,B,C是边长为1的小正方形网格上不共线的三个格点，点P为平面ABC外一点，且〈AP,AB〉=〈AP,AC〉=120°，|AP|=3，若AO=AB+AC，则|OP|=( )
A. 2 10B. 37C. 6D. 35
6.若直线l与圆C1:x2+y2-4y+3=0相切，且点(3,-2)到直线l的距离为3，则这样的直线的条数为( )
A. 4B. 3C. 2D. 1
7.已知实数x,y满足方程 1-(y-1)2=x-1，则y+2x的取值范围是( )
A. 43,4B. 43,2C. 43,+∞D. [2,4]
8.已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)与圆C2:x2+y2=b2，若在椭圆C1上存在点P，过P作圆的切线PA，PB，切点为A，B使得∠BPA=π3，则椭圆C1的离心率的取值范围是
A. [ 32,1)B. [ 22, 32]C. [ 22,1)D. [12,1)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知椭圆C:x2k+y24=1,P是椭圆C上的动点，则下列结论正确的是( )
A. 若椭圆C的焦点在y轴上，则k0)相切，且在x轴、y轴上的截距相等，则实数r的值为 ．
14.棱长为4的正方体AC1中，M,N分别是平面A1B1C1D1和平面ACD1内动点，BP=3PB1，则PM+MN的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知▵ABC的顶点A(5,1)，边AB上的高线CH所在的方程为x-y-1=0，角B的角平分线交AC边于点M，BM所在的直线方程为x+2y-2=0．
(1)求点B的坐标；
(2)求直线BC的方程．
16.(本小题15分)
已知圆C经过点A(2,0)，与直线x+y=2相切，且圆心C在直线2x+y-1=0上．
(1)求圆C的方程；
(2)已知直线l经过点P(0,1)，并且直线l与圆C交于M,N两点，若CM⊥CN，求直线l的方程．
17.(本小题15分)
已知圆O1:(x+2)2+y2=1的圆心为O1，圆O2:(x-2)2+y2=25的圆心为O2，动圆M与圆O1外切，与圆O2内切，记动圆M圆心的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)从曲线C上一点P(x,y)向圆O1引切线PM，M为切点，O为坐标原点，且|PM|=|PO|，求▵O1O2P的面积．
18.(本小题17分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，▵PAD是斜边为AD的等腰直角三角形，AB⊥AD,AB=1,AD=4,AC=CD=2 2.

(1)求证：PD⊥平面PAB；
(2)求PB与平面PCD所成角的正弦值；
(3)在棱PB上是否存在点M，使得平面ADM与平面ABCD所成角的余弦值为 55?若存在，求出PMPB的值，若不存在，请说明理由．
19.(本小题17分)
已知线段AB的端点B的坐标是(6,4)，端点A在圆(x+2)2+(y+4)2=16上运动，记线段AB中点的运动轨迹为曲线C
(1)求曲线C的方程．
(2)过点B作直线l与曲线C相切，切点分别为点M,N，求直线MN的方程．
(3)斜率为k的直线l与曲线C相交于异于原点的两点E,F，直线OE,OF的斜率分别为k1,k2，且k1+k2=43.若BD⊥EF,D为垂足，证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值．
参考答案
1.D
2.D
3.C
4.B
5.B
6.A
7.A
8.A
9.BCD
10.ACD
11.ABD
12.x24+y2=1
13.3 2或4
14.3 3
15.【详解】(1)设Bx0,y0，则由题意可知x0+2y0-2=0①，
又AB⊥CH，所以kAB⋅kCH=y0-1x0-5×1=-1②，
联立①②方程解得x0=10,y0=-4，即B(10,-4)；
(2)

设A关于直线BM的对称点A'(a,b)，则有AA'⊥BM,AA'的中点在直线BM上，
即kAA'⋅kBM=b-1a-5×(-0.5)=-1a+52+2×b+12-2=0，解之得a=3b=-3 ⇒A'(3,-3),
显然直线BM为∠ABA'的角平分线，即直线A'B与BC重合，
则kA'B=-4-(-3)10-3=-17，所以直线BC的方程为y+3=-17(x-3)⇒x+7y+18=0．

16.【详解】(1)因为圆心C在直线2x+y-1=0上，可设圆心为C(a,1-2a)．
则点C到直线x+y=2的距离d=|-a-1| 2，据题意，d=|AC|，则|-a-1| 2= (a-2)2+(1-2a)2，
解得a=1.所以圆心为C(1,-1)，半径r=d= 2，则所求圆的方程是(x-1)2+(y+1)2=2．
(2)当k不存在时，得：直线l:x=0，代入圆C方程中解得：M(0,0)，N(0,-2)，
由于kCM⋅kCN=-1-01-0⋅-1-(-2)1-0=-1，所以CM⊥CN，符合题意；
当k存在时，设直线方程l:kx-y+1=0，
由于CM⊥CN，故▵CMN为等腰直角三角形，因此可得圆心到直线l的距离为1，
即|k+2| k2+1=1，∴k=-34，∴直线方程为3x+4y-4=0．
综上所述，直线方程为x=0或3x+4y-4=0．

17.【详解】(1)设动圆M的半径为r，圆O1的半径为r1，圆O2的半径为r2，
由题意知O1(-2,0),r1=1,O2(2,0),r2=5，
因为圆M与圆O1外切，与圆O2内切，所以MO1=r+1,MO2=5-r，
所以MO2+MO1=6>O1O2=4，
根据椭圆的定义知，M的轨迹是以O1,O2为焦点的椭圆，
设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，所以2a=6,2c=4，即a2=9,c2=4，
所以b2=a2-c2=5，又O1O2=4=r2-r1，所以圆O1与圆O2内切于点(-3,0)，
所以C的方程为x29+y25=1(x≠-3)；
(2)
设Px0,y0，则x029+y025=1x0≠-3，
因为|PM|=|PO|,|PM|= PO12-r12，
所以|PO|= PO12-r12，则|PO|2=PO12-1，
因为PO1= x0+22+y02,|PO|= x02+y02，
所以x02+y02=x0+22+y02-1，解得x0=-34，
将x0=-34代入x029+y025=1x0≠-3，得y0=±5 34，
故▵O1O2P的面积为S=12O1O2⋅y0=12×4×5 34=5 32．

18.【详解】(1)∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD,
AB⊂平面ABCD，AB⊥AD，
∴AB⊥平面PAD，
∵PD⊂平面PAD,∴AB⊥PD，
又∵PD⊥PA且AB∩PA=A，PA、AB⊂平面PAB,∴PD⊥平面PAB；
(2)取AD中点为O，连接PO、CO，
又∵PD=PA,∴PO⊥AD，
则AO=PO=2，
∵AC=CD=2 2,AD=4,∴CD⊥CA,CO⊥AD，则CO= AC2-AO2=2，
以O为坐标原点，分别以OC,OA,OP所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
∴P(0,0,2),B(1,2,0),D(0,-2,0),C(2,0,0)
∴PB=(1,2,-2),PD=(0,-2,-2),PC=(2,0,-2),CD=(-2,-2,0)，
设n=(x1,y1,z1)为平面PCD的一个法向量，
∴由n⋅PD=0n⋅PC=0，得-2y-2z=02x-2z=0，令z=1，则n=(1,-1,1)，
设PB与平面PCD所成角的角为θ，
∴sinθ=csn,PB=n⋅PBnPB=1-2-2 3×3= 33.
(3)假设在棱PB上存在点M，使得平面ADM与平面ABCD所成角的余弦值为 55，
由(2)可知，A(0,2,0),B(1,2,0),P(0,0,2)，
∴AP=(0,-2,2),AD=(0,-4,0)，设PM=λPB=(λ,2λ,-2λ),λ∈[0,1].
∴AM=AP+PM=(λ,2λ-2,2-2λ)
设m=x2,y2,z2为平面ADM的一个法向量，
∴由n⋅AM=0n⋅AD=0得λx+(2λ-2)y+(2-2λ)z=0-4y=0,
则m=(2λ-2,0,λ)，
易知平面ABCD的一个法向量为OP=(0,0,2)，
设平面ADM与平面ABCD的夹角为α.
∴csα=csm,OP=m⋅OPmOP=2λ (2λ-2)2+λ2×2= 55，
∴λ=12，∴PMPB=12.

19.【详解】(1)设线段AB的中点为(x,y),A(2x-6,2y-4)，
因为点A在圆(x+2)2+(y+4)2=16上，
所以(2x-4)2+4y2=16，化简得(x-2)2+y2=4，
所以曲线C的方程为(x-2)2+y2=4．
(2)因为CM⊥BM,CN⊥BN,
所以B,M,C,N四点共圆，圆心为B,C的中点(4,2)，半径为12|BC|=2 2，
即圆的方程为(x-4)2+(y-2)2=8，

直线MN是两圆公共弦所在直线，(x-2)2+y2=4(x-4)2+(y-2)2=8,
作差得x+y-3=0，所以直线MN所在的直线为x+y-3=0．
(3)设直线lEF:y=kx+t,Ex1,y1,Fx2,y2,x1x2≠0，
y=kx+t(x-2)2+y2=4，得1+k2x2+(2kt-4)x+t2=0,Δ=(2kt-4)2-4t21+k2>0，
即t2+4kt-4