2025-2026学年四川省内江市隆昌市第一中学高二上学期10月月考数学试卷（含答案）

这是一份2025-2026学年四川省内江市隆昌市第一中学高二上学期10月月考数学试卷（含答案），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列平面图形中，通过围绕定直线旋转可得到如图几何体的是( )
A. B. C. D.
2.设α、β是两个不同的平面，则α⊥β的充要条件是( )．
A. 平面α内任意一条直线与平面β垂直B. 平面α、β都垂直于同一条直线
C. 平面α、β都垂直于同一平面D. 平面α内存在一条直线与平面β垂直
3.▵ABC是边长为1的正三角形，那么▵ABC的斜二测平面直观图▵A'B'C'的面积( )
A. 616B. 68C. 38D. 34
4.已知一个正方体的棱长为2，则该正方体内能放入的最大球体的体积为( )
A. 2π3B. 4π3C. 2πD. 4π
5.如图，已知A、B、C、D、E、F分别是正方体所在棱的中点，则下列直线中与直线EF相交的是( )．
A. 直线ABB. 直线BCC. 直线CDD. 直线DA．
6.如图，空间四边形ABCD的对角线AC=8，BD=6，M，N分别为AB，CD的中点，并且异面直线AC与BD所成的角为90°，则MN=( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
7.如图，在三棱锥O-ABC中，E为OA的中点，点F在BC上，满足BF=2FC，记OA,OB,OC分别为a,b,c，则EF=( )
A. -12a+23b+13cB. -23a→+12b→+12c→
C. 23a→-12b→-12c→D. -12a→+13b→+23c→
8.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E为线段AD上靠近A的三等分点，F为线段PC上一点，当PA//平面EBF时，PFPC=( )
A. 3B. 4C. 13D. 14
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法中正确的有( )
A. 正四面体是正三棱锥．B. 棱锥的侧面是全等的三角形．
C. 平行六面体各个面都是平行四边形．D. 延长棱台所有侧棱，它们会交于一点．
10.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则下列四个命题正确的是( )
A. 两条异面直线D1C和BC1所成的角为π4
B. 直线BC与平面ABC1D1所成的角等于π4
C. 三棱柱AA1D1-BB1C1外接球半径为 32
D. 若M是线段AC上的动点，则M到面A1BC1的距离为 33
11.如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长均为1，点P是棱BC的中点，点M满足B1M=λB1A1λ∈[0,1]，点R为BM的中点，点Q是棱AB上靠近点B的四等分点，则( )
A. 三棱锥B-C1AM的体积为定值
B. C1M+BM的最小值为 3+1
C. CM//平面PQR
D. 当λ=12时，过点P,A,R的平面截正三棱柱ABC-A1B1C1所得图形的面积为 36
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知圆柱的底面半径为1，高为2，则该圆柱的全面积为 ．
13.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E是棱AB的中点，F是侧面AA1D1D内一点，若EF//平面BB1D1D，则EF长度的范围为
14.四棱锥P-ABCD的所有顶点都在同一个球面上，AB=AD=6，∠BAD=π3，PA=PB=PC=PD=4，则其外接球的表面积为 ；过BD的中点作直线与球O相交的最短弦长为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图，已知圆锥的顶点为P，O是底面圆心，AB是底面圆的直径，PB=5，OB=3．
(1)求圆锥的表面积；
(2)经过圆锥的高PO的中点O'作平行于圆锥底面的截面，求截得的圆台的体积．
16.(本小题15分)
如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC与△A1B1C1都为正三角形且AA1⊥面ABC，F、F1分别是AC，A1C1的中点.求证：
(1)平面AB1F1 //平面C1BF；
(2)平面AB1F1⊥平面ACC1A1．
17.(本小题15分)
如图，在三棱锥A-BCD中，O，E分别是BD，BC的中点，CA=CB=CD=BD=2，AB=AD= 2．
(1)求证：AO⊥平面BCD；
(2)求异面直线AB与CD所成角的余弦值．
18.(本小题17分)
如图，PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC，
(1)求证：BC⊥平面PAC．
(2)若AC=BC=PA，M是PB的中点，求AM与平面PBC所成角的正切值．
19.(本小题17分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD⊥平面ABCD，▵PAD是边长为2的等边三角形，底面ABCD为直角梯形，其中BC//AD，AB⊥AD，AB=BC=1．
(1)取线段PA中点M，连接BM，证明：BM//平面PCD；
(2)求二面角P-CD-A的余弦值；
(3)线段PC上是否存在点E，使得平面ADE⊥平面PCD，若存在，求出PEPC的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
1.C
2.D
3.A
4.B
5.A
6.C
7.D
8.D
9.ACD
10.BCD
11.AC
12.6π
13.[ 2, 6]
14.64π
；6
15.【详解】解：(1)由题意可知，该圆锥的底面半径r=3，母线l=5．
∴该圆锥的表面积S=πr2+πrl=π×32+π×3×5=24π．
(2)在Rt▵POB中，PO= PB2-OB2= 52-32=4，
∵O'是PO的中点，∴PO'=2．
∴小圆锥的高h'=2，小圆锥的底面半径r'=12r=32，
∴截得的圆台的体积V台=V大-V小=13×π×32×4-13×π×322×2=212π．

16.【详解】证明：(1)在正三棱柱ABC-A1B1C1中，连接FF1，
∵F、F1分别是AC、A1C1的中点，
AF//C1F1,AF=C1F1，FF1//AA1//BB1，FF1=AA1=BB1，
∴AFC1F1是平行四边形，BFF1B1是平行四边形，
∴B1F1 // BF，AF1 // C1F．
BF⊂平面BFC1，B1F1⊄平面BFC1，∴B1F1//平面BFC1，
同理AF1//平面BFC1，
又∵B1F1∩AF1=F1，B1F1⊂平面AB1F1，AF1⊂平面AB1F1，
∴平面AB1F1 //平面C1BF．
(2)在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，B1F1⊂平面A1B1C1，∴B1F1⊥AA1．
又▵A1B1C1是等边三角形，F1是A1C1中点，∴B1F1⊥A1C1，而A1C1∩AA1=A1，
∴B1F1⊥平面ACC1A1，而B1F1⊂平面AB1F1，
∴平面AB1F1⊥平面ACC1A1．

17.【详解】(1)证明：连接OC，
∵BO=DO，AB=AD，∴AO⊥BD．
∵BO=DO，BC=CD，∴CO⊥BD．
在▵AOC中，由已知可得：AO=1，CO= 3，而AC=2，
∴AO2+CO2=AC2，∴∠AOC=90°，即AO⊥OC．
∵BD∩OC=O，∴AO⊥平面BCD；
(2)解：取AC的中点M，连接OM，ME，OE，
由E为BC的中点知ME//AB，OE//DC，
∴直线OE与直线EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角．
在▵OME中，EM=12AB= 22，OE=12DC=1，
∵OM是Rt▵AOC斜边AC上的中线，
∴OM=12AC=1，∴cs∠OEM=OE2+ME2-OM22OE⋅ME=1+12-12×1× 22= 24，
∴异面直线AB与CD所成角的余弦值为 24．

18.【详解】(1)过点A作AD⊥PC于点D，
因为平面PAC⊥平面PBC，平面PAC∩平面PBC=PC,AD⊂平面PAC，
所以AD⊥平面PBC，BC⊂平面PBC，所以AD⊥BC，
又因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC，
又PA∩AD=A，PA,AD⊂平面PAC，所以BC⊥平面PAC．
(2)如图所示：

作AO⊥PC，连接OM，
因为平面PBC⊥平面PAC，平面PBC∩平面PAC=PC，AO⊂平面PAC，
所以AO⊥平面PBC，则∠AMO即为AM与平面PBC所成的角，
设|AC|=|BC|=|PA|=t，则|AB|= 2t,|PB|= 3t，
所以|AM|= 3t2，又|AO|= 2t2，则|OM|= |AM|2-|AO|2=12t，
所以AM与平面PBC所成角的正切值为tan∠AMO=|AO||OM|= 2．

19.【详解】(1)在四棱锥P-ABCD中，取PD中点N，连接MN，
由M为PA的中点，且AD=2，BC=1，得MN//AD//BC，MN=12AD=1=BC，
则四边形BCNM为平行四边形，BM//CN，而CN⊂平面PCD，BM⊄平面PCD，
所以BM//平面PCD．
(2)取AD的中点O，连接PO，OC，由▵PAD为等边三角形，得PO⊥AD，
而平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO⊂平面PAD，
则PO⊥平面ABCD，由AO=BC=1,AO//BC，得四边形ABCO是平行四边形，
于是OC//AB，而AB⊥AD，则OC⊥AD，直线OC,OD,OP两两垂直，
以O为坐标原点，直线OC,OD,OP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图，
则A(0,-1,0),D(0,1,0),C(1,0,0),B(1,-1,0),P(0,0, 3)，CP=(-1,0, 3),CD=(-1,1,0)，
设平面PCD的法向量为n=(x,y,z)，则n⋅CP=-x+ 3z=0n⋅CD=-x+y=0,
取z=1，得n=( 3, 3,1)，
平面ACD的一个法向量为n1=(0,0,1)，
则cs=n⋅n1n⋅n1=1 7= 77，
设二面角P-CD-A的平面角为θ，由图知θ为锐角，
则csθ=cs= 77，
故二面角P-CD-A的余弦值为： 77．
(3)令PE=λPC=(λ,0,- 3λ),λ∈[0,1]，
AE=AP+PE=(0,1, 3)+(λ,0,- 3λ)=(λ,1, 3- 3λ)，AD=(0,2,0)，
设平面ADE的法向量为m=(a,b,c)，则m⋅AD=2b=0m⋅AE=λa+b+( 3- 3λ)c=0,
取c=λ，得m=( 3(λ-1),0,λ)，平面PCD的法向量为n=( 3, 3,1)，
由平面ADE⊥平面PCD，得m⋅n=0，
得 3(λ-1)× 3+0+λ=0，
得λ=34，
故存在点E，使得平面ADE⊥平面PCD，此时|PE||PC|=34．