专题04 函数的概念及其表示（期中复习讲义）（原卷版+解析版）高一数学上学期人教A版

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\l "_Tc25045" 知识点01 函数的概念
函数的定义
设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的 任意一个数x ，在集合B中都有 唯一确定的数f(x) 和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作 y= f(x),x∈A ．
\l "_Tc25045" 知识点02 函数三要素
（1）一般地，对于函数y=fx,x∈A，则称A为函数的 定义域 ，称集合 y|y=fx,x∈A 为函数的值域.
（2）函数的三要素指： 定义域 ， 对应法则 ， 值域 .
（3）两个函数相同指两个函数的三要素全部相同.
\l "_Tc25045" 知识点03 函数相等
一般地，如果两个函数表达式表示的函数 定义域 相同， 对应关系 也相同（即对自变量的每一个值，两个函数表达式得到的函数值都相等），则称这两个函数表达式表示的就是同一个函数
\l "_Tc25045" 知识点04 具体函数的定义域问题
①：分式函数：定义域是，分母不为0.
②：0次幂类型：定义域是，底数不为0.
③：根式类型：（跨章节）
④：对数函数（跨章节）：真数大于0
\l "_Tc25045" 知识点05 函数的表示方法
解析式；列出表格
知识点06 3种函数的表示方法
列表法、解析法、图象法是表示函数的3种常用方法.
用列表法表示函数关系,不必通过计算就可以知道自变量取某个值时,相应的函数值是多少;
用解析法表示函数关系,便于用解析式研究函数的性质;
而用图象法表示函数关系,可以从整体上直观而形象地表示出函数的变化情况.
\l "_Tc25045" 知识点07 分段函数
如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同 取值区间 ，有不同的 对应方式 ，则称其为分段函数.
题型一 求函数值及己知函数值求参数
【典例1】（24-25高一上·河南开封·期中）已知函数的定义域为，都有，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】采用“赋值法”探索函数的性质.令，则，根据递推关系，可以求解.
【详解】当时，，所以；
令，得，所以；
，，……，.
故选：B
【点睛】方法点睛：根据函数方程，采用“赋值法”，探索函数值之间的递推关系，再求出，根据递推关系可最终求解.
【变式1】（24-25高一上·浙江·期中）如果且，则的值为（ ）
A．1012B．2024C．1013D．2026
【答案】D
【分析】根据已知等式化简得出定值再计算求解即可.
【详解】因为，所以，
又因为，所以，
则.
故选：D.
【变式2】（多选）定义在上的函数，对于任意的，都有，且，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【分析】利用赋值法逐项求解判断即可.
【详解】令，得，因为，
所以，即，故A正确；
令，得，即，
所以，所以，故B错误；
，，
所以，故C错误；
，，
，，
所以，故D正确.
故选：AD
题型二 函数定义域
【典例1】（24-25高一上·浙江杭州·期中）函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求出使解析式有意义的的范围即可.
【详解】为使有意义，只需，解得且，
即函数的定义域为.
故选：D
【典例2】（23-24高一上·山东·期中）若函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由函数定义域的概念及复合函数定义域的求解方法运算求解即可.
【详解】∵函数的定义域为，
∴要使函数有意义，
则有，解得，
∴，即函数的定义域为.
故选：D.
【变式1】（24-25高一上·湖北武汉·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】求出函数的定义域，对于函数，可得出关于的不等式，即可解得函数的定义域.
【详解】对于函数，有，可得，
故函数的定义域为，
对于函数，有，解得，
故函数的定义域为.
故选：B.
【变式2】（24-25高一上·四川泸州·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由的范围，得到，求解即可.
【详解】因为的定义域为，
所以在中，有，则，
则在中，有，解得，
故的定义域为．
故选：C
题型三 值域问题
【典例1】（23-24高一上·北京·期中）函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据反比例函数的性质即可求出函数的值域.
【详解】因为，
所以，
故函数的值域为，
故选：
【典例2】函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】令，，可得，利用函数单调性求值域.
【详解】令，，则，
所以函数，函数在上单调递增，
时，有最小值，
所以函数的值域为.
故选：C
【变式1】（24-25高一上·河北石家庄·期中）函数的值域是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】分离常数可得函数单调性，进而可得值域.
【详解】由已知函数定义域为，
且，
则，
即，
故选：C.
【变式2】（24-25高一上·江西南昌·期中）已知函数，则函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用换元法及二次函数的性质计算可得.
【详解】令，则，，
则，
令，，
则，所以函数的值域为.
故选：B
题型四 判断函数相等
【典例1】（24-25高一上·福建福州·期中）下列各组函数中，是同一个函数的有（ ）
①
②
③
④
⑤
A．①②③B．①④⑤C．①⑤D．①③④⑤
【答案】C
【分析】由函数解析式可得函数的定义域，整理函数解析式判断是否相同，逐项检验，可得答案.
【详解】对于①，易知函数定义域都是，令，则，故①正确；
对于②③，易知函数的定义域为，函数的定义域为，故②③错误；
对于④，由，故④错误；
对于⑤，易知函数定义域都是，由，故⑤正确.
故选：C.
【变式1】（24-25高一上·江苏南京·期中）下列函数与表示同一函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用函数三要素对选项逐一进行判断即可得出结论.
【详解】易知函数的定义域为，值域为,
对于A，函数的定义域为，不合题意；
对于B，函数的定义域为，值域为,符合题意，
对于C，函数的定义域为，不合题意；
对于D，函数，对应法则不同，不合题意.
故选：B
【变式2】（24-25高一上·福建福州·期中）（多选）下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（ ）
A．与
B．与
C．与
D．与
【答案】BC
【分析】利用同一函数的定义，逐项判断即可.
【详解】对于A，函数中，，解得或，即的定义域为，
函数中，，解得，的定义域为，A不是；
对于B，，且与的定义域都为，B是；
对于C，当时，；当时，；又当时，，
因此，函数与的定义域相同，对应法则相同，C是；
对于D，函数的定义域为，函数的定义域为，D不是.
故选：BC
题型五 函数的图象及其应用
【典例1】（24-25高一上·江苏苏州·期中）如图所示，正方体容器内放了一个圆柱形烧杯，向放在容器底部的烧杯注水（流量一定），注满烧杯后，继续注水，直至注满正方体容器，则正方体容器中水面上升高度与注水时间之间的函数图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】分析水槽内水面上升的高度的速度，可得问题答案.
【详解】开始注水时，水注入烧杯中，水槽内无水，高度不变；
烧杯内注满水后，继续注水，水槽内水面开始上升，且上升速度较快；
当水槽内水面和烧杯水面持平以后，继续注水，水槽内水面继续上升，且上升速度减慢.
故选：D
【变式1】（24-25高一上·浙江·期中）图（1）是某条公共汽车线路收支差额关于乘客量的图象
由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为赢的建议，如图（2）（3）所示，这两种建议是（ ）
A．（2）：降低成本，票价不变；（3）：成本不变，提高票价.
B．（2）：提高成本，票价不变；（3）：成本不变，降低票价.
C．（2）：成本不变，提高票价；（3）：提高成本，票价不变.
D．（2）：降低成本，提高票价；（3）：降低成本，票价不变.
【答案】A
【分析】当乘客量为0时，看成本变化，直线的倾斜程度看票价变化.
【详解】解：（2）直线向上平移，当乘客量为0时，差额绝对值变小，又收入为0，说明降低成本，两直线平行，说明票价不变；
（3）：当乘客量为0时，差额未变，又收入为0，说明成本没变，直线的倾斜角变大，说明相同的乘客量时收入变大，即票价提高了.
故选：A
【变式2】（24-25高一上·浙江杭州·期中）函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据奇偶性可排除B和C；根据时，可排除A.
【详解】函数的定义域为，，
所以函数为奇函数，故排除B和C；
当时，，故排除A.
故选：D.
题型六 求函数解析式
【典例1】（24-25高一上·四川眉山·期中）（1）已知是一次函数，且，求的解析式；
（2）已知，求函数的解析式；
（3）已知函数满足，求函数的解析式.
【答案】（1）或；（2）；（3），.
【分析】（1）利用待定系数法求解析式，设，结合题意即可求解；
（2）设，利用换元法求解析式即可；
（3）由题意得，利用方程组法可得，再利用换元法求解析式即可.
【详解】（1）因为为一次函数，可设.
所以.
所以，解得或.
所以或.
（2）设，则，，即，
所以，
所以．
（3）由①，
用代替，得②，
得：，
即，.
令，则，.
则：，.
所以，.
【变式1】（24-25高一上·安徽芜湖·期中）根据下列条件，求的解析式.
(1)是一次函数，且满足；
(2).
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设，利用待定系数法确定函数解析式；
（2）将原式中的x与互换，建立方程组，求解即可.
【详解】（1）由题意，设
因为，
所以，
即，
由恒等式性质，得，
解得，
则所求函数解析式为.
（2）因为，将原式中的x与互换，得，
于是得关于的方程组：，
解得.
【变式2】（1）已知，求函数的解析式；
（2）已知是二次函数，且满足，，求函数的解析式；
（3）已知，求的解析式.
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）利用换元法求解即可，注意定义域的变化；
（2）利用待定系数法求解即可；
（3）利用方程组法求解即可.
【详解】（1）设，则，，即，
所以，所以．
（2）因为是二次函数，所以设.由，得．
由，得，
整理得，
所以，所以，所以．
（3）用替换中的x，得，
由，解得.
题型七 分段函数
【典例1】（24-25高一上·江苏南京·期中）设函数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】结合分段函数解析式求值即可.
【详解】因为，
所以，
故选：B.
【典例2】（24-25高一上·广东惠州·期中）已知函数．
(1)求，，的值；
(2)若，求的值；
(3)作出函数的大致图象，并求时，的值域．
【答案】(1)，，
(2)或1或
(3)图象见解析，
【分析】（1）根据分段函数解析式计算可得；
（2）根据分段函数解析式，分类讨论，分别计算可得；
（3）根据函数解析式，可作出函数图象，根据函数解析式易求时，的值域.
【详解】（1）因为，
所以，，
.
（2）当时，，∴；
当时，，∴；
当时，，∴或（舍）.
综上所述，m的值为或1或.
（3）函数的图象，如图所示：
当，，
当，，
综上所述：结合图象可得的值域为.
【变式1】已知函数的值域为，那么a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据解析式得出在上有，由题意可得，然后求解即可.
【详解】当时，单调递增，所以在上有，
所以要使函数的值域为，
则需，解得.
故选：C
【变式2】（24-25高一上·广东东莞·期中）已知函数
(1)求；
(2)画出函数的图像；
(3)若，求的取值范围．
【答案】(1)，
(2)答案见解析
(3)
【分析】（1）代入计算，即可得到结果；
（2）由分段函数的解析式，分别画出每一段的函数图像，即可得到结果；
（3）根据题意，分，以及讨论，代入计算，即可得到结果.
【详解】（1），.
（2）函数的图像为：
（3）当时，由可得，解得，所以；
当时，由可得，解得，所以；
当时，由可得，解得，所以；
综上所述，实数的取值范围为.
期中基础通关练（测试时间：10分钟）
一、单选题
1．（24-25高一上·山西·期中）函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据分母不为及偶次方根的被开方数非负得到不等式组，解得即可.
【详解】对于函数，令，解得，
所以函数的定义域为.
故选：A
2．（24-25高一上·天津·期中）下列各组函数是同一个函数的是（ ）
A．与B．与
C．与D．与
【答案】C
【分析】函数相等的充要条件是对应法则、定义域相同，由此逐一判断各个选项即可得解.
【详解】对于A，与的定义域分别为，故A错误；
对于B，与的定义域分别为，故B错误；
对于C，与的定义域都是，且，故C正确；
对于D，与的定义域分别为，故D错误.
故选：C.
3．（24-25高一上·福建福州·期中）若函数是二次函数，满足，则=（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用待定系数法，由题意建立方程组，可得答案.
【详解】设（），由，则，
由，则，
整理可得，则，解得，
所以.
故选：B.
4．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数，则（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】D
【分析】根据分段函数的定义代入即可求解.
【详解】.
故选：D.
二、多选题
5．（24-25高一上·广东广州·期中）设，则下列结论成立的是（ ）
A．B．（）
C．D．（）
【答案】AB
【分析】代入计算出，，判断出ABD；而，C错误.
【详解】A选项，，A正确；
BD选项，（），B正确，D错误；
C选项，，显然，C错误
故选：AB
三、填空题
6．（24-25高一上·安徽·期中）已知，则 .
【答案】
【分析】利用换元法，令，代入运算整理即可.
【详解】令，则，
可得，所以.
故答案为：.
四、解答题
7．（24-25高一上·河南·期中）（1）已知函数，求函数的定义域；
（2）求的值域；
（3）已知，求的解析式．
【答案】（1） ；（2）；（3） ．
【分析】（1）求出函数的定义域，再结合抽象函数定义域求出的定义域.
（2）配方，借助二次函数性质求出值域.
（3）利用换元法求出解析式.
【详解】（1）函数中，，解得，
函数的定义域为，则，
函数中，，解得，
所以函数的定义域.
（2），当且仅当时取等号，
所以的值域是.
（3）令，则，
由，得，
所以的解析式是.
8．（24-25高一上·重庆·阶段练习）已知函数．
(1)若，求的值；
(2)若，求实数的取值范围．
【答案】(1)或；
(2)
【分析】（1）由，结合函数解析式解方程即可；
（2）可得或，解之即可求解.
【详解】（1）由可得：
（i）（舍去）；
（ii）.
综上，或；
（2）由可得：
（i）；
（ii）.
综上可得．
期中重难突破练（测试时间：30分钟）
一、单选题
9．（24-25高一上·重庆·期中）若函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据定义域满足的不等式关系，即可列不等式组求解.
【详解】由于函数的定义域为，所以的定义域需要满足：
，解得或，
故定义域为：
故选：D
10．（24-25高一上·浙江·期中）已知函数，则该函数的值域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】首先求出函数的定义域，令，将两边平方，求出取值范围，再由，即可求出的取值范围.
【详解】令，则，解得，
所以函数的定义域为，
则，因为，所以，
所以，则，所以，
显然，所以，即该函数的值域为.
故选：D
11．（24-25高一上·福建福州·期中）函数的值域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】对函数分离常数，借助基本不等式，分三种情况讨论即可.
【详解】结合题意：，
当时，；
当时，，
当且仅当，即，原式取得最小值；
另一方面，因为，，所以，即；
当时，，
当且仅当，即，原式取得最大值；
另一方面因为，令，则，所以，
所以，所以，即；
综上所述：函数的值域是.
故选：A.
12．（24-25高一上·江苏徐州·期中）已知函数.若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】首先讨论、分别求得、，再讨论并结合解析式，列不等式求参数m的范围.
【详解】当时，由，
若时，，即，故；
若时，，即，故；
此时；
当时，由，
所以或，即或（舍），
若时，，即，显然无解；
若时，，即，故；
此时；
综上，实数的取值范围是.
故选：A
二、多选题
13．（24-25高一上·江苏淮安·期中）已知函数的值域为，那么的取值可以是（ ）.
A．B．C．D．
【答案】AB
【分析】求出函数在的值域，可知函数在上的值域包含，可得出关于实数的不等式组，解之即可.
【详解】因为函数、在上均为增函数，故函数在上为增函数，
当时，，即函数在的值域为，
由于函数的值域为，
则函数在上的值域包含，
所以，，解得，
故选：AB.
三、填空题
14．（24-25高一上·宁夏银川·期中）若函数的定义域为，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据分式不等式及偶次根式有意义，再结合函数定义域即可转化
为不等式恒成立问题，利用一元二次不等式的性质即可求解.
【详解】由题意可知，函数的定义域为，
所以不等式在上恒成立.
当时， 在上恒成立，
当时，则满足，解得，
综上，实数的取值范围是.
故答案为：
15．（24-25高一上·内蒙古包头·期中）已知函数在R上单调递增，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【分析】由分段函数单调性得出对应的不等关系，解不等式即可求得结果.
【详解】根据题意可知函数在上单调递增，
即，解得；
且在上单调递增，可得；
且需满足，解得；
综上可得实数的取值范围为.
故答案为：
16．（24-25高一上·上海·期中）已知函数，且同时满足下列三个条件：
①对任意的，都有成立；
②对任意的，都有成立；
③对于，都有成立，
则 ．
【答案】/0.9375
【分析】由①得，再得出，从而求得，进而有时，，然后再计算．
【详解】由①得，∴，
因此由②得，
又，而，
所以，所以，
所以，又，所以，从而，
由③得时，，
所以，
而，所以，
所以，
故答案为：．
【点睛】方法点睛：通过对已知条件中变量赋值得出函数值，如，为了求，需要结合两个条件得出，再结合可求得，利用单调性可得出函数的一部分表达式：时，，然后利用已知条件化所求值式子中的自变量值到此范围后即可得．实际上可用反证法证明，从而很快求得，
期中综合拓展练（测试时间：10分钟）
一、单选题
17．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】代入得到，再利用函数性质和不等式的性质，逐渐递推即可判断.
【详解】因为当时，所以，
又因为，
则，
，
，
，
，则依次下去可知，则B正确；
且无证据表明ACD一定正确.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用，再利用题目所给的函数性质，代入函数值再结合不等式同向可加性，不断递推即可.
二、填空题
18．（2024·上海·高考真题）已知则 ．
【答案】
【分析】利用分段函数的形式可求.
【详解】因为故，
故答案为：.
19．（2023·上海·高考真题）已知，则的值域是 ；
【答案】
【分析】分段讨论的范围即可.
【详解】当 时, 根据指数函数的图象与性质知，
当 时, .
综上: 的值域为 .
故答案为：.
20．（2023·北京·高考真题）已知函数，则 ．
【答案】1
【分析】根据给定条件，把代入，利用指数、对数运算计算作答.
【详解】函数，所以.
故答案为：1
核心考点
复习目标
考情规律
4.1 函数定义（对应关系f）的理解
能判断给定对应关系是否为函数，理解f(x)的含义。
概念题，是理解整个函数章节的基础。
4.2 求具体函数的定义域
能根据解析式中分式、偶次根式、对数式等要求，列出不等式组求定义域。
高频基础题，必须掌握。
4.3 求抽象函数的定义域
能理解定义域始终是自变量x的范围，并能据此求解复合函数的定义域。
高频易错点，对概念理解要求深。
4.4 函数的解析式求法（待定系数法、换元法、配凑法、解方程组法）
能根据已知条件，选择适当方法求出函数解析式。
中档题，换元法和配凑法是难点。
4.5 值域
直接观察/图象法、配方法、换元法基本不等式法。
能掌握求简单函数值域的基本方法，理解值域是由定义域和对应关系共同决定的。
承上启下的重要考点。易错点是求值域时忽略函数的定义域限制。此为后续专题（如指数/对数函数、复合函数值域）打下基础
4.6 分段函数的求值与求参
能根据自变量的值选择正确的解析式进行求值，或根据函数值反求参数。
必考点，易错在代入错误的段。
4.7 分段函数图象的识别与绘制
能识别简单分段函数的图象，并能绘制含两段的分段函数图象。
数形结合思想的直接体现
解｜题｜技｜巧
1. 直接代入法：若函数解析式明确，已知自变量具体值（或可通过条件求出），直接将自变量值代入解析式计算 。
2. 反复代入法和等价替换法