四川省成都外国语学校2023-2024学年高二上学期9月月考数学试题 Word版含解析

这是一份四川省成都外国语学校2023-2024学年高二上学期9月月考数学试题 Word版含解析，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知是虚数单位，复数是纯虚数，则实数的值为（ ）
A. 2B. －2C. D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】因为是实数，所以复数的实部是，虚部是，直接由实部等于0，虚部不等于0求解的值．
【详解】解：由是纯虚数，得，解得．
故选：A.
2. 已知向量满足，则（ ）
A. B. C. 3D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】根据平面向量的坐标运算求解.
【详解】因为，所以，
所以，
故选:A.
3. 在中，若，，，则C等于（ ）
A. B. 或C. D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】由正弦定理即可求出角的大小.
【详解】由题意，
在中，，，，
由正弦定理得， ，
即，
∵，
∴，
∴或,
故选：D.
4. 某高中为了解学生课外知识的积累情况，随机抽取名同学参加课外知识测试，测试共道题，每答对一题得分，答错得分.已知每名同学至少能答对道题，得分不少于分记为及格，不少于分记为优秀，测试成绩百分比分布图如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A. 该次课外知识测试及格率
B. 该次课外知识测试得满分的同学有名
C. 该次测试成绩的中位数大于测试成绩的平均数
D. 若该校共有名学生，则课外知识测试成绩能得优秀的同学大约有名
【答案】C
【解析】
【分析】由百分比图知，成绩为100分、80分、60分、40分的百分比分别为，结合各项的描述即可判断其正误.
【详解】由图知，及格率为，故A错误.
该测试满分同学的百分比为，即有名，B错误.
由图知，中位数为分，平均数为分，故C正确.
由题意，名学生成绩能得优秀的同学有，故D错误.
故选：C
5. 已知平面、，直线，直线不在平面内，下列说法正确的是（ ）
A. 若，，则B. 若，，则
C. 若，，则D. 若，，则
【答案】B
【解析】
【分析】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系逐一分析四个选项得答案．
【详解】对于A选项，若，，过直线作平面，使得，，
因为，，，则，
因为，，，则，，
，，，，则或、异面，A错；
对于B选项，若，，则，，故，B对；
对于C选项，若，，，则，因为，则或，C错；
对于D选项，若，，则或、相交（不一定垂直），D错.
故选：B.
6. 将函数的图象向左平移个单位后，得到的函数图象关于y轴对称，则的可能取值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求得平移后的函数为，再根据余弦函数的对称性列式求解即可
【详解】将函数的图象向左平移个单位后，得到函数，因为图象关于y轴对称，所以，，则，
故选：A.
7. 在棱长为1的正方体中， 分别为，的中点，过直线 的平面//平面 ，则平面截该正方体所得截面为（ ）
A. 三角形B. 五边形C. 平行四边形D. 等腰梯形
【答案】D
【解析】
【分析】取的中点E，的中点F，连接，证明在同一平面内，且四边形为等腰梯形，证明平面平面，即可确定答案.
【详解】根据题意，取的中点E，的中点F，连接，
则，所以，且,
故在同一平面内，
连接，因为分别为的中点，
所以，且，
所以四边形是平行四边形，
所以，又因为平面，平面，
所以平面，
同理平面，
因为平面，
所以平面平面，
即平面截该正方体所得截面为梯形；
又由梯形中， ，
即平面截该正方体所得截面为等腰梯形,
故选：D
8. M为△ABC所在平面内一点，且，则动点M的轨迹必通过△ABC的（ ）
A. 垂心B. 内心C. 外心D. 重心
【答案】C
【解析】
【分析】设边的中点为，结合向量的线性运算法则化简向量等式可得，由数量积的性质可得，由此可得结论.
【详解】设边的中点为，
因为，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，又点为边的中点，
所以点在边的垂直平分线上，
所以动点M的轨迹必通过△ABC的外心，
故选：C.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 已知圆锥顶点为，底面圆心为，为底面的直径，，与底面所成的角为，则（ ）
A. B. 该圆锥母线长为
C. 该圆锥的体积为D. 该圆锥的侧面积为
【答案】AB
【解析】
【分析】由线面角的定义可得出，可求得的长，可判断A选项；分析可知是等边三角形，可判断B选项；利用锥体的体积公式可判断C选项；求出该圆锥的侧面积，可判断D选项.
【详解】对于A选项，如下图所示：

由圆锥的几何性质可知，与圆所在的底面垂直，
所以，与底面所成的角为，即，
因为，则，所以，，A对；
对于B选项，因为，且，则是边长为的等边三角形，
所以，该圆锥的母线长为，B对；
对于C选项，圆的面积为，故该圆锥的体积为，C错；
对于D选项，该圆锥的侧面积为，D错.
故选：AB.
10. 已知的角、、所对的边分别为、、，且，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. 为等腰非等边三角形D. 为等边三角形
【答案】BD
【解析】
【分析】利用正弦定理可得出，结合角的取值范围可得出角的值，可判断A选项；利用余弦定理可判断CD选项；利用平面向量数量积的定义可判断B选项.
【详解】对于A选项，因为，由正弦定理可得，即，
又因为，所以，，A错；
对于CD选项，由余弦定理可得
，则，可得，
又因为，故为等边三角形，C错D对；
对于B选项，，B对.
故选：BD.
11. 如图，在四边形中，，，，E为的中点，与相交于F，则下列说法一定正确的是（ ）
A. B. 在上的投影向量为
C. D. 若，则
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据平面向量基本定理及平面向量的数量积的定义，利用转化法即可求解判断.
【详解】解：因为在四边形中，，所以四边形为平行四边形，
又，，所以，
对于 A：，设 ，
因为三点共线，
所以，解得，所以，故选项A正确；
对于B：设的夹角为，因为，，
所以，所以，即，
所以在上的投影向量为 ，故选项B正确；
对于：由题意， ，故选项C正确；
对于D： ，则，
若，则，又因为，
所以，不满足，故选项D不正确.
故选：ABC.
12. 在正方体中，是侧面上一动点，下列结论正确的是（ ）
A. 三棱锥的体积为定值
B. 若∥，则平面
C. 若，则与平面所成角为
D. 若∥平面，则与所成角的正弦最小值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A，利用等体积法分析判断，对于B，由条件可得点在平面上轨迹为，再判断与平面的位置关系即可，对于C，连接交于点，连接，，则可证得为直线与平面所成角，然后求解即可，对于D，连接，可证得平面∥平面，得点在平面上的轨迹为，得为与所成的角，从而可求得结果.
【详解】对于A，因为是侧面上一动点，平面∥平面，
所以点到平面的距离等于正方体的棱长，设棱长为，则
，所以三棱锥的体积为定值，所以A正确，

对于B，因为∥，平面，所以当∥时，点在平面上的轨迹为，因为与不垂直，所以与平面不垂直，
所以与平面不垂直，所以B错误，

对于C，连接交于点，连接，，则，
所以为等边三角形，
因为平面，平面，所以，
因为，，平面，所以平面，
因为平面平面，，是侧面上一动点，
所以点的轨迹是，
所以平面就是平面，
因为平面，平面，所以，
因为，，平面，所以平面，
所以为直线与平面所成角，设正方体的棱长为，
因为，所以，
因为为锐角，所以，即与平面所成角为，所以C正确，

对于D，连接，则∥，∥，
因为平面，平面，
所以∥平面，∥平面，
因为，平面，所以平面∥平面，
因为∥平面，所以平面，
因为平面平面，所以点在平面上的轨迹为，
因为∥，所以为与所成的角，
因为平面，平面，所以，
设正方体的棱长为1，设，则，
所以，
因为，所以当时，取得最小值，此时最小，
所以此时取得最小值为，
所以与所成角的正弦最小值为，所以D正确，
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：此题考查线线角，线面角的求法，考查棱锥的体积的求法，考查立体几何中的轨迹问题，解题的关键是根据题意结合线面点的关系确定动点的轨迹，考查空间想象能力和计算能力，属于难题.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上．
13. 用分层抽样的方法从某校高中学生中抽取一个容量为45的样本，其中高二年级有学生600人，抽取了15人.则该校高中学生总数是________人.
【答案】1800
【解析】
【分析】利用比例求出学生总数.
【详解】，故该校高中学生总数是1800人.
故答案为：1800
14. 在△中，是边上一点，且，是上的一点，若，则实数的值为__________．
【答案】
【解析】
【详解】分析：根据向量的加减运算法则，通过，把用和表示出来，可得m的值．
详解：如图：∵，
∴，
则，
又∵B，P，N三点共线，
∴，
故得m=．
故答案为．
点睛：点O是直线l外一点，点A，B是直线l上任意两点，求证：直线上任意一点P，存在实数t，使得关于基底{OA,OB}的分析式为
反之，若则A，P，B三点共线
（特别地令t=,称为向量中点公式）
15. 在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑中，平面，，，已知动点从点出发，沿外表面经过棱上一点到点的最短距离为，则该棱锥的外接球的体积为______.
【答案】
【解析】
【分析】将沿翻折到与共面得到平面四边形如图1所示，设，利用余弦定理求出，将三棱锥补成长方体如图2所示，该棱锥的外接球即为长方体的外接球，求出外接球的半径，即可求出其体积.
【详解】解：将沿翻折到与共面得到平面四边形如图1所示，
设，即，由题意得，
在中，由余弦定理得
即
即，解得或（舍去），
将三棱锥补成长方体如图2所示，
该棱锥的外接球即为长方体的外接球，
则外接球的半径，
所以外接球的体积.
故答案为：
16. 已知的内角的对边分别为，且，角的平分线与交于点，且，则的值为_________．
【答案】##
【解析】
【分析】利用正弦定理化边为角，再根据三角形内角和定理结合两角和的正弦公式化简，求出角，再利用等面积法即可得解.
【详解】因为，
由正弦定理得，
即，
即，
所以，
又，所以，
又，所以，
故，
由，
得，
即，
所以.
故答案为：.
四、解答题（本大题共6小题，共70分，17题10分，18-22题各12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 如图，四棱锥的底面为正方形，为的中点.

（1）证明：平面；
（2）若平面，证明：.
【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）根据题意，设与交于点，连接，由线面平行的判定定理即可证明；
（2）由线面垂直的性质定理及判定定理即可得证.
【小问1详解】
设与交于点，连接，
因为底面是正方形，所以为的中点，
又因为为的中点，所以，
因为平面，平面，
所以平面.
【小问2详解】
因为底面是正方形，所以，
又因为平面，平面，所以，
又，平面，
所以平面，
因为平面，所以.
18. 设A，B，C，D为平面内的四点，且.
（1）若，求D点的坐标；
（2）设向量，若向量与平行，求实数k的值.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）求出向量坐标，再利用相等向量列出方程组，求解作答.
（2）求出的坐标，再利用向量线性运算的坐标表示，及共线向量的坐标表示求解作答.
【小问1详解】
设，因为，于是，整理得，
即有，解得，
所以.
【小问2详解】
因为，
所以，，
因为向量与平行，因此，解得，
所以实数k的值为.
19. 为了解某市家庭用电量的情况，统计部门随机调查了200户居民去年一年的月均用电量（单位：），将全部数据按区间，，…，分成8组，得到如下的频率分布直方图：

（1）求图中a的值；并估计这200户居民月用电量的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（2）为了既满足居民的基本用电需求，又提高能源的利用效率，市政府计划采用阶梯电价，使75%的居民缴费在第一档，20%的居民缴费在第二档，其余5%的居民缴费在第三档，试基于统计数据确定各档月均用电量的范围（计算百分位数时，结果四舍五入取整数）.
【答案】（1），平均值为
（2）第一档的范围是，第二档的范围是，第三档的范围是.
【解析】
【分析】（1）根据频率和为1列出方程解出，再根据频率分布直方图计算平均值即可；
（2）根据百分位数定义计算即可.
【小问1详解】
由直方图可得，样本落在,的频率分别为,,,,,,,，由，解得，
则样本落在,的频率分别为0.05,0.1,0.2,0.3,0.15,0.1,0.05,0.05,所以月用电量的平均值为
，
【小问2详解】
为了使的居民缴费在第一档，需要确定月用电量的分位数；
的居民缴费在第二档，还需要确定月用电量的分位数.
因为，
则使的居民缴费在第一档，月用电量的分位数位于区间内，
于是.
又,
所以对应的用电量为350.
所以第一档的范围是，第二档的范围是，第三档的范围是.
20. 已知函数的图象如图所示．

（1）求函数的解析式及单调递增区间；
（2）若函数，满足对任意的恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1），，
（2）．
【解析】
【分析】（1）根据图得到，进而得到，，从而，再由求得解析式，再利用这些函数的性质求解单调区间；
（2）易得．根据对任意的恒成立，由求解.
【小问1详解】
由图可知：，所以，
所以，，由图易得，
则，又，
则，则，
所以，，
所以．
令，，
解得，，
所以的单调递增区间为，．
【小问2详解】
由题．
当，时，．
因为对任意的恒成立，
则，即所以．
21. 在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且.
（1）求角B的大小；
（2）若是锐角三角形，求的面积的取值范围.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理边化角，再结合三角恒等变换可得，再结合角的范围即可求解；
（2）利用三角形面积公式可得，再结合正弦定理边化角，进而利用三角恒等变换化为，结合角的范围可得，从而可解.
小问1详解】
由正弦定理得，
可化为：，
即
又由于，
所以
可得
即 ，
由于，所以，
化简为，因为，则，
所以，所以.
【小问2详解】
由正弦定理知，所以，
那么
，
又由 ，解得 ，
所以 ，即，
故的面积的取值范围为.
22. 如图，ABDC是平面四边形，为正三角形，，．将沿BC翻折，过点A作平面BCD的垂线，垂足为H．

（1）若点H在线段BD上，求AD的长；
（2）若点H在BCD内部，且直线AB与平面ACD所成角的正弦值为，求二面角的余弦值．
【答案】（1）4 （2）
【解析】
【分析】（1）方法一：由平面得，结合勾股定理可得，从而，为中点，由勾股定理计算可得；
方法二：在平面四边形中，设的中点为，连接并延长，交于，可得为的中点．在三棱锥中，，，得平面，平面平面，则点在直线上，当点在线段上，此时与重合，结合勾股定理计算可得；
（2）方法一：当点在内部，知平面，则，
设是的中点，，得平面，，则为二面角的平面角．利用等体积法得：，求得，从而得出答案；
方法二：当点在内部，知平面，为二面角的平面角．过点作交于，可证得平面，平面平面，过点作，交于点，则平面，由直线与平面所成的角，求得， 进而出，即可得解.
【小问1详解】
方法一：
平面，平面，，

中，，
中，，
，，
由于为等腰直角三角形，，为中点，
在中由勾股定理得，，，
在中由勾股定理得，，.
方法二：在平面四边形中，设的中点为，
连接并延长，交于.

为正三角形，为的中点，，
，，
为中点，为的中点.
在三棱锥中，，，且，
平面，又平面，
平面平面，点在直线上.

当点在线段上，此时与重合，
，
平面，平面，
，
在，，
在，，
【小问2详解】
方法一：
当点在内部，知平面，平面，则，
设是的中点，连接，

为正三角形，，
，平面，平面，
平面，，
为二面角的平面角.
设点到平面的距离为，则，
过点作，连接，
由平面，在的中垂线上，
设，则，
由等体积法得：，
，即，
，解得，所以,
.
方法二：
当点在内部，知平面，此时在线段（不含端点）上.
，为二面角的平面角.
由于平面，，
过点作交于，连接，

，，
又因为，平面，
平面，平面平面，
过点作，交于点，
又平面平面，平面.
设为直线与平面所成的角，则点到平面的距离为，
，解得，
在中，可设
由于，解得.
在中，，
所以.