吉林省通化市梅河口市第五中学2025~2026学年高二上册（10月）月考数学试题（含答案）

高二数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．如图，三棱柱满足棱长都相等且⊥平面，D是棱的中点，E是棱上的动点．设，随着x增大，平面与平面的夹角是（   ） A．先增大再减小 B．减小 C．增大 D．先减小再增大 2．在直三棱柱中，若，，，则（    ） A． B． C． D． 3．已知空间中点，，，，若A，B，C，D四点共面，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 4．四面体中，，，，且，，则等于（    ） A． B． C． D． 5．已知向量，，且与互相垂直，则（    ） A． B． C． D． 6. 过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围为（ ） A. B. C. D. ①；② ③侧棱与底面所成角的余弦值为；④直线与所成角的正弦值为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 菱形边长为4，，E为AB的中点（如图1），将沿直线DE翻折至处（如图2），连接，，若四棱锥的体积为，点F为的中点，则F到直线BC的距离为（ ） A. B. C. D. 二、多选选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线，直线，则下列结论正确的是（ ） A. 在轴上的截距为 B. 过定点 C. 若，则或 D. 若，则 10. 已知直三棱柱中，，，点为的中点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 平面 C. 异面直线与所成的角的余弦值为 D. 点到平面的距离为 11. 如图，在多面体中，平面，四边形是正方形，且，，分别是线段的中点，是线段上的一个动点（含端点），则下列说法正确的是（ ） A. 存点，使得 B. 存在点，使得异面直线与所成的角为 C. 三棱锥体积的最大值是 D. 当点自向处运动时，直线与平面所成的角逐渐增大 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图，已知三棱锥，为的重心，点，为，的中点，点分别在上，，．若四点共面，则______． 13. 在平面直角坐标系中，过点作直线，分别与轴的正半轴，轴的正半轴交于点．当直线的斜率为______时，的面积最小（是坐标原点），最小面积是______． 14. 在正方体中，，动点满足．当时，______；当时，的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在平行六面体中，，，，，． （1）求； （2）求证：； （3）求的长． 16. 已知锐角内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其面积为，且. （1）求角； （2）若，求取值范围. 17. 某中学举行了一次“数学文化知识竞赛”，高二年级学生参加了这次竞赛.为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩作为样本进行统计.将成绩进行整理后，分为五组（，，，，），其中第1组的频数的平方为第2组和第4组频数的积.请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： （1）若根据这次成绩，年级准备淘汰60%的同学，仅留40%的同学进入下一轮竞赛，请问晋级分数线划为多少合理？ （2）从样本数据在，两个小组内的同学中，用分层抽样的方法抽取6名同学，再从这6名同学中随机选出2人，求选出的两人恰好来自不同小组的概率． （3）某老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数：，已知这10个分数的平均数，标准差，若剔除其中的96和84两个分数，求剩余8个分数的平均数与方差． 18. 已知正方体 的棱长为4，E，F分别为 的中点，G在线段 上，且 （1）求证∶ 面; （2）求平面EBF 与平面EBG夹角的余弦值； （3）求点D到平面EBF的距离． 19. 如图甲，在梯形中，，，，是的中点，将沿折起，使点到达点的位置，如图乙，且. （1）求证：平面平面； （2）求点到平面的距离； （3）设中点为，在平面内取点，使得直线平面，问点是否在内？ DBBBC BCA 9ABD 10ABD 11ACD 12 24 13 ①. ②. 8 14 ①. 0 ②. 15【小问1详解】 解：. 【小问2详解】 证明：因为， ， 所以． 【小问3详解】 解：因为， 所以， ． 所以，所以． 16【小问1详解】 由，则， 所以，则， 又，可得； 【小问2详解】 由，且， 由正弦定理知， 所以， 由且，可得，则， 所以，故，即. 17【小问1详解】 由第1组的频数的平方为第2组和第4组频数的积可知，， 解得， 又，解得， 所以，， 成绩落在内的频率为：， 落在内的频率为：，设第60百分位数为， 则，解得，所以晋级分数线划为73分合理； 【小问2详解】 由图可知，按分层抽样法，两层应分别抽取4人和2人，分别记为，，，和，， 则所有的抽样有：，共15个样本点， “抽到的两位同学来自不同小组”， 则共8个样本点， 所以. 【小问3详解】 因为，所以， 所以， 所以， 剔除其中的96和84两个分数，设剩余8个数为，，，…，， 平均数与标准差分别为，， 则剩余8个分数的平均数：， 方差： 18【小问1详解】 （1）法一、在正方形中， 由条件易知，所以， 则， 故，即， 在正方体中，易知平面，且， 所以平面， 又平面，∴， ∵，平面，∴平面； 法二、如图以D为原点建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设是平面的法向量， 则，令，则， 所以是平面的一个法向量， 易知，则也是平面的一个法向量，∴平面； 【小问2详解】 同上法二建立的空间直角坐标系， 所以， 由（1）知是平面的一个法向量， 设平面的一个法向量为，所以， 令，则， 所以平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面EBF 与平面EBG的夹角的余弦值为； 【小问3详解】 因为，所以， 又是平面的一个法向量， 则D到平面的距离为. 所以点D到平面EBF的距离为. 19【小问1详解】 取的中点，连结，，因为，所以， 在中，，所以， 在中，， 在中， ，，，所以， 所以，又因为，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面. 【小问2详解】 连结，，， ，所以， 且，由（1）可知平面， 又因为平面， 所以，，所以两两垂直， 如图，以点为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量为，则， 取，得，则， 所以点到平面的距离. 【小问3详解】 设，由在平面内可知， 即， 所以，即，所以， 因为平面，所以是平面的一个法向量，所以， 即，解得，故， 而，可知点不在内.