黑龙江省鸡西实验中学2025~2026学年高二上册（10月）月考数学试题（含解析）

2025-2026学年黑龙江省鸡西实验中学高二（上）月考数学试卷 （10月） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知直线l的斜率为 3，则该直线的倾斜角为(    ) A. π6 B. π3 C. π4 D. 2π3 2.若向量a=(2,2,3)，b=(−1,2,1)，c=(0,1,1)，则a⋅(b+c)=(    ) A. 5 B. 8 C. 10 D. 12 3.如图所示，空间四边形OABC中，OA=a,OB=b,OC=c，点M在OA上，且OM=2MA，N为BC中点，则MN等于(    ) A. 12a−23b+12cB. −23a+12b+12cC. 12a+12b−23cD. 23a+23b−12c 4.已知向量p以{a,b,c}为基底时的坐标为(2,−3,3)，则p以{a−2b,a+b,2c}为基底时的坐标为(    ) A. (52,−12,32) B. (53,13,32) C. (1,3,2) D. (1,−3,2) 5.一条光线从点P(5,3)射出，与x轴相交于点Q(2,0)，经x轴反射，则反射光线所在直线的方程为(    ) A. x+y−2=0 B. x−y−2=0 C. x−y+2=0 D. x+y+2=0 6.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，P为体对角线B1D上一点，且DP=2PB1，则异面直线AD1和CP所成角的余弦值为(    ) A. 0B. 35C. 45D. 32  7.已知a>0，b>0，直线(a−1)x+2y+3=0与直线x+by−1=0垂直，则1a+1b的最小值是(    ) A. 2+ 2 B. 4 C. 3+2 2 D. 6 8.在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是BC，CD的中点，则直线BD到平面EFD1B1的距离为(    ) A. 36 B. 12 C. 24 D. 13 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9.下列结论错误的是(    ) A. 过点A(1,3)，B(−3,1)的直线的倾斜角为30∘B. 若直线2x−3y+6=0与直线ax+y+2=0平行，则a=−23C. 直线x+2y−4=0与直线2x+4y+1=0之间的距离是 52D. 已知A(2,3)，B(−1,1)，点P在x轴上，则|PA|+|PB|的最小值是5 10.下面四个结论正确的是(    ) A. 任意向量a,b,c满足(a⋅b)⋅c=a⋅(b⋅c)B. 若对空间中任意一点O，有OP=16OA+13OB+12OC，则P，A，B，C四点共面C. 已知{a,b,c}是空间的一组基底，若m=a+c，则{a,b,m}也是空间的一组基底D. 已知n为平面α的一个法向量，l为一条直线，m为直线l的方向向量，则“m⊥n”是“l//α”的充要条件 11.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为4，动点P在正方体表面A1B1C1D1上(不包括边界)，则下列说法正确的是(    ) A. 存在点P，使得CP//面A1BDB. 存在点P，使得AP⊥面A1BDC. 若AP与CC1的夹角为π6，则点P的轨迹长度为2 33πD. 若M为面C1CDD1的中心，则AP+PM的最小值为2 14 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知向量OA=(0,1,1),OB=(−2,1,2)，则点A到直线OB的距离为          . 13.已知直线l过点P(1,0)且与以A(2,1)，B(4,−3)为端点的线段AB有公共点，则直线l斜率的取值范围为______. 14.已知直线l经过点C(4,2)，且与x轴、y轴分别交于点A、点B，当|AC|⋅|BC|取最小值时，直线l的方程为______. 四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(本小题12分)直线l经过两直线l1：3x+4y−2=0和l2：2x+y+2=0的交点．(1)若直线l与直线3x+y−1=0平行，求直线l的方程；(2)若点A(3,1)到直线l的距离为5，求直线l的方程． 16.(本小题12分)已知平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1=2，∠A1AB=∠A1AD=60∘.(1)求AD1⋅AC；(2)求|AC1|. 17.(本小题12分)如图所示，在直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AD//BC，∠BAD=90∘，BC=1，AB= 3,AD=3,AA1=2.(1)证明：AC⊥B1D；(2)求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值. 18.(本小题12分)已知直线l：(2a+3)x−(a−1)y+3a+7=0，a∈R.(1)证明直线l过定点A，并求出点A的坐标；(2)在(1)的条件下，若直线l′过点A，且在y轴上的截距是在x轴上的截距的12，求直线l′的方程；(3)若直线l不经过第四象限，求a的取值范围. 19.(本小题12分)如图，已知四棱台ABCD−A1B1C1D1的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，平面ABB1A1⊥平面ABCD，AA1=BB1= 5，点M是线段BB1的中点，N为线段CD上一点.(1)若CN=1，证明：MN//平面ADD1A1；(2)在线段CD上是否存在点N，使平面ADD1A1与平面MNB夹角的余弦值为 3010？若存在，指出点N的位置；若不存在，说明理由.  答案和解析 1.【答案】B  【解析】解：设直线的倾斜角为θ，θ∈[0,π),直线l的斜率为 3，则tanθ= 3，所以θ=π3.故选：B.利用直线斜率与倾斜角的关系即可求解．本题主要考查直线斜率与倾斜角的关系，属于基础题． 2.【答案】C  【解析】解：∵b=(−1,2,1)，c=(0,1,1)，∴b+c=(−1,3,2)，则a⋅(b+c)=−2+6+6=10，故选：C.利用空间向量的数量积运算求解即可．本题考查空间向量的数量积运算，属于基础题． 3.【答案】B  【解析】解：MN=ON−OM=12(OB+OC)−23OA=−23a+12b+12c，故选：B.利用空间向量的线性运算求解即可．本题主要考查了空间向量的线性运算，属于基础题． 4.【答案】B  【解析】解：因为向量p以{a,b,c}为基底时的坐标为(2,−3,3)，所以p=2a−3b+3c，设p=x(a−2b)+y(a+b)+2zc=(x+y)a+(y−2x)b++2zc，由空间向量基本定理得x+y=2y−2x=−32z=3，解得x=53y=13z=32，所以p以{a−2b,a+b,2c}为基底时的坐标为(53,13,32).故选：B.根据题意得p=2a−3b+3c，而p以{a−2b,a+b,2c}为基底，则设p=x(a−2b)+y(a+b)+2zc，然后根据空间向量基本定理列出关于x，y，z的方程组，可求得答案．本题考查空间向量基本定理相关知识，属于中档题． 5.【答案】A  【解析】解：由题意可得反射光线所在直线经过点Q(2,0)，设点P(5,3)关于x轴的对称点为P′(5,−3)，则根据反射定律，点P′(5,−3)在反射光线所在直线上，故反射光线所在直线的方程为y−0−3−0=x−25−2，即x+y−2=0，故选：A.由题意利用反射定律，可得反射光线所在直线经过点Q(2,0)，点P′(5,−3)，再利用两点式求得反射光线QP′所在的直线方程．本题主要考查反射定律，用两点式求直线的方程，属于基础题． 6.【答案】A  【解析】解：在正方体ABCD−A1B1C1D1中，以D为原点，建立如图所示坐标系，设正方体的棱长为a，则A(a,0,0)，D1(0,0,a)，AD1=(−a,0,a)，C(0,a,0)，B1(a,a,a)，DB1=(a,a,a)，因为P为体对角线B1D上一点，且DP=2PB1，所以DP=23DB1=(23a,23a,23a)，CP=DP−DC=(23a,−13a,23a)，设异面直线AD1和CP所成角为θ，则cosθ=|AD1⋅CP|AD1|⋅|CP||=|−23a2+23a2 2a2⋅ a2|=0.故选：A.建立适当的空间直角坐标系，根据空间向量法cosθ=|AD1⋅CP|AD1|⋅|CP||，求出异面直线夹角的余弦值．本题考查异面直线的夹角，属于基础题． 7.【答案】C  【解析】【分析】 本题考查代数式的最小值的求法，考查直线与直线垂直、基本不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．由直线(a−1)x+2y+3=0与直线x+by−1=0垂直，得a+2b=1，再由a>0，b>0，得到1a+1b=(1a+1b)(a+2b)=ab+2ba+3，利用基本不等式能求出1a+1b的最小值． 【解答】解：∵直线(a−1)x+2y+3=0与直线x+by−1=0垂直，∴(a−1)×1+2b=0，整理得a+2b=1，∵a>0，b>0，∴1a+1b=(1a+1b)(a+2b)=ab+2ba+3≥2 ab⋅2ba+3=3+2 2，当且仅当ab=2ba时取等号，∴1a+1b的最小值是3+2 2.故选C. 8.【答案】D  【解析】解：如图示：因为BD//EF，所以BD//平面EFD1B1，所以直线BD到平面EFD1B1的距离即点D到平面EFD1B1的距离，设为h，所以底面ABCD的中心I到平面EFD1B1的距离也为h，因为BD⊥平面A1C1CA，EF//BD，所以EF⊥平面A1C1CA，所以平面EFD1B1⊥平面A1C1CA，所以I到HJ的距离也是h，因为HI⊥AC，HI=1，IJ= 24，所以HJ= 12+( 24)2=3 24，所以h=HI⋅IJHJ=1× 2434 2=13.故选：D.把问题转化为求直角三角形斜边上的高即可．本题考查了正方体的结构特征，考查了点到平面距离问题，属于中档题． 9.【答案】AC  【解析】解：对于A，kAB=1−3−3−1=12=tanα，即α≠30∘，故A错误；对于B，直线2x−3y+6=0与直线ax+y+2=0平行，所以a2=1−3≠26，解得a=−23，故B正确；对于C，直线x+2y−4=0与直线2x+4y+1=0(即x+2y+12=0)之间的距离为d=|−4−12| 5=9 510，故C错误；对于D，已知A(2,3)，B(−1,1)，点P在x轴上，如图取B(−1,1)关于x轴的对称点B′(−1,−1)，连接AB′交x轴于点P，此时|PA|+|PB|=|PA|+|PB′|≥|AB′|= (2+1)2+(3+1)2=5，所以|PA|+|PB|的最小值是5，故D正确．故选：AC.对于A，tanα=kAB即可解决；对于B，由题意得a2=1−3≠26，即可解决；对于C，平行线间距离公式解决即可；对于D，数形结合即可．本题考查了两直线的位置关系，点到直线的距离问题，是中档题． 10.【答案】BC  【解析】解：对于A：由于a⋅b为实数，b⋅c也为实数，故c和a不一定共线，故A错误；对于B：对空间中任意一点O，有OP=16OA+13OB+12OC，由于16+12+13=1，则P，A，B，C四点共面，故B正确；对于C：已知{a,b,c}是空间的一组基底，若m=a+c，则{a,b,a+c}可以作为基底；则{a,b,m}也是空间的一组基底，故C正确；对于D：知n为平面α的一个法向量，l为一条直线，m为直线l的方向向量，则当“m⊥n”时，“l//α或l⊂α”，反之成立，故D错误．故选：BC.直接利用向量的数量积，向量基底的定义，共面向量基本定理，法向量的相关定义和性质求出结果．本题考查的知识点：向量的数量积运算，四点共面的充要条件，向量的基底，法向量，主要考查学生的运算能力，属于中档题． 11.【答案】ACD  【解析】解：在正方体ABCD−A1B1C1D1中，棱长为4，动点P在正方体表面A1B1C1D1上(不包括边界)，连接BD，设BD的中点为E，连接A1C1，B1D1，设两线段交点为F，连接A1E，CF，建立空间直角坐标系如下图所示，A(4,0,0)，B(4,4,0)，C(0,4,0)，D(0,0,0)，E(2,2,0)，F(2,2,4)，A1(4,0,4)，B1(4,4,4)，C1(0,4,4)，D1(0,0,4)，可得A1E=(−2,2,−4)，FC=(−2,2,−4)，可得A1E=FC，且E∉FC，所以CF//A1E，因为CF⊄面A1BD，A1E⊂面A1BD，所以CF//面A1BD，当点P在F(2,2,4)处时，CP//面A1BD，所以存在点P，使得CP//面A1BD，故A正确；B项，在面A1BD中，DA1=(4,0,4)，DB=(4,4,0)，设面A1BD的法向量为n=(x1,y1,z1)，可得n⋅DA1=0n⋅DB=0，即4x1+4z1=04x1+4y1=0，令x1=−1，可得n=(−1,1,1,)，若AP⊥面A1BD，则AP1=tn=(−t,t,t)，可得P(4−t,t,t)，因为动点P在正方体表面A1B1C1D1上，所以t=4，此时P=(0,4,4)与C1重合，因为点P不在边界上，故不存在点P，使得AP⊥面A1BD，所以B错误；C项，因为AA1//CC1，AP与CC1的夹角为π6，所以AP与AA1所成的角为π6，则∠A1AP=π6，由几何知识得，点P的轨迹是以点A1为圆心，A1P为半径的圆的四分之一(即P1P2)，在△AA1P中，AA1=4，∠A1AP=π6，∠AA1P=π2，可得A1P=AA1⋅tanπ6=4× 33=4 33，所以点P的轨迹长度为：14⋅2πA1P=14×2π×4 33=2 33π，所以C正确；D项，M为面C1CDD1的中心，作点A关于平面A1B1C1D1的对称点A2，连接A2M，当AP+PM最小时，A2P=AP，AA1=A1A2=4，当A2(4,0,8)，M(0,2,2)，所以AP+PM=A2P+PM=A2M= (4−0)2+(0−2)2+(8−2)2=2 14，所以D正确．故选：ACD.A项，建立空间直角坐标系并表达出各点的坐标，通过证明CF//A1E即可得出结论；B项，求出面A1BD的法向量，计算出AP⊥面A1BD时点P的坐标，即可得出结论；C项，求出点P的轨迹，即可求出点P的轨迹长度；D项，作出AP+PM取最小值时的图，根据对称性和两点之间距离公式即可求出AP+PM的最小值．本题考查用空间向量的性质的应用，属于中档题． 12.【答案】1  【解析】【分析】 本题考查点线、线线距离的向量求法，属于基础题．先求出OA在OB方向上的投影向量的模，再利用勾股定理，即可得解． 【解答】解：OA在OB方向上的投影向量的模为|OA⋅OB||OB|=|1+2|3=1，所以点A到直线OB的距离为 |OA|2−12= 2−1=1.故答案为：1. 13.【答案】[−1,1]  【解析】解：∵直线l过点P(1,0)且与以A(2,1)，B(4,−3)为端点的线段AB有公共点，∵直线PB的斜率为−3−04−1=−1，直线PA的斜率为1−02−1=1，则直线l斜率的取值范围为[−1,1]，故答案为：[−1,1].由题意利用直线的斜率公式求出直线 PB的斜率、直线PA的斜率，可得直线l斜率的取值范围．本题主要考查直线的斜率公式，属于基础题． 14.【答案】x−y−2=0或x+y−6=0  【解析】解：根据直线l与x轴、y轴分别交于点A、B，可知直线l的斜率存在，设直线l的方程为：y−2=k(x−4)，可得A(4−2k,0)，B(0,2−4k)，所以|CB|= 16+16k2=4 1+k2，|CA|= 4k2+4=2 1k2+1，可得|CA|⋅|CB|=8 (1k2+1)(1+k2)=8 k2+1k2+2≥16，当且仅当k2=1k2时，即k=±1时，取等号，此时直线的方程为y=x−2或y=−x+6，即x−y−2=0或x+y−6=0.故答案为：x−y−2=0或x+y−6=0.由题意知直线l的斜率存在，设直线的方程为y−2=k(x−4)，用含有k的式子表示出|CB|、|CA|，运用基本不等式算出|AC|⋅|BC|的最小值，进而求得满足条件的直线l方程．本题主要考查直线的方程及其应用、运用基本不等式求最值等知识，属于中档题． 15.【答案】解：(1)由3x+4y−2=02x+y+2=0，求得x=−2y=2，可得两直线l1：3x+4y−2=0和l2：2x+y+2=0的交点为(−2,2).当直线l与直线3x+y−1=0平行，设l的方程为3x+y+m=0，把点(−2,2)代入求得m=4，可得l的方程为3x+y+4=0.(2)当l的斜率不存在时，直线l的方程为x=−2，满足点A(3,1)到直线l的距离为5.当l的斜率存在时，设直限l的方程为y−2=k(x+2)，即kx−y+2k+2=0，则点A到直线l的距离为|3k−1+2k+2| k2+1=5，求得k=125，故l的方程为125x−y+2k+2=0，即12x−5y+34=0.综上，直线l的方程为x=−2或12x−5y+34=0.  【解析】(1)由题意两立方程组，求两直线的交点的坐标，利用两直线平行的性质，用待定系数法求出l的方程．(2)分类讨论直线l的斜率，利用点到直线的距离公式，用点斜式求直线l的方程．本题主要考查求直线的交点，两直线平行的性质，点到直线的距离公式，用点斜式求直线的方程． 16.【答案】解：(1)设AB=a，AD=b，AA1=c，则a⋅b=0，a⋅c=1，b⋅c=1，所以AD1⋅AC=(b+c)⋅(a+b)=a⋅b+b2+a⋅c+b⋅c=0+1+1+1=3.(2)|AC1|=|a+b+c|= (a+b+c)2= a2+b2+c2+2a⋅b+2b⋅c+2a⋅c= 1+1+4+0+2+2= 10.  【解析】本题考查空间向量的运算，熟练掌握空间向量的线性运算，数量积运算法则是解题的关键，考查空间立体感和运算求解能力，属于中档题．(1)设AB=a，AD=b，AA1=c，由AD1⋅AC=(b+c)⋅(a+b)，展开运算，即可得解；(2)由|AC1|=|a+b+c|= (a+b+c)2，展开运算，即可得解． 17.【答案】证明见解析； 2 12943  【解析】证明：(1)以A为原点，以AB，AD，AA1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A(0,0,0),C( 3,1,0),B1( 3,0,2),D(0,3,0),C1( 3,1,2),D1(0,3,2)，∴AC=( 3,1,0),B1D=(− 3,3,−2)，∴AC⋅B1D= 3×(− 3)+1×3+0×(−2)=0，∴AC⊥B1D；解：(2)设平面ACD1的法向量为m=(x,y,z)，AC=( 3,1,0),AD1=(0,3,2)，则m⋅AC= 3x+y=0m⋅AD1=3y+2z=0，令x=2，则m=(2,−2 3,3 3)，∴sinθ=|B1C1⋅m||B1C1||m|=2 12943，∴直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值为2 12943.(1)构造空间直角坐标系，求出AC,B1D的坐标，由向量数量积的坐标运算判断它们的位置关系即可；(2)求面ACD1的法向量、B1C1的方向向量，利用向量夹角的坐标表示求线面角的正弦值．本题考查了线线垂直的证明和线面角的计算，属于中档题． 18.【答案】证明：(1)整理直线l的方程，得(2x−y+3)a+3x+y+7=0，所以直线l过直线2x−y+3=0与3x+y+7=0的交点，联立方程组2x−y+3=03x+y+7=0，解得x=−2y=−1，所以直线l过定点A，点A的坐标为(−2,−1)；(2)解：当截距为0时，直线l′的方程为y=12x，即x−2y=0，当截距不为0时，设直l′线的方程为xa+yb=1，则−2a+−1b=1a=2b，解得a=−4b=−2，直线l′的方程为x−4+y−2=1，即x+2y+4=0，故直线l′的方程为x−2y=0或x+2y+4=0；(3)当a=1时，直线l的方程为x=−2，符合题意，当a=−32时，直线l的方程为y=−1，不符合题意，当a≠1，且a≠−32时，y=2a+3a−1x+3a+7a−1，所以2a+3a−1≥03a+7a−1≥0⇒(2a+3)(a−1)≥0(3a+7)(a−1)≥0a−1≠0，解得a>1或a≤−73，综上所述，当直线l不经过第四象限时，a的取值范围是(−∞,−73]∪[1,+∞).  【解析】(1)化简方程为直线系方程的形式，组成方程组解出直线过的点；(2)根据题意分直线过原点、不过原点讨论，分析解决即可；(3)分①a=1，②a=−32，③a≠1，且a≠−32三种情况进行讨论分析解决．本题主要考查了直线过定点问题，考查了直线的截距式方程，属于中档题． 19.【答案】解：(1)证明：取线段AA1的中点P，连接PM，PD，因为MP为梯形ABB1A1的中位线，所以MP=AB+A1B12=3，又因为CN=1，所以DN=3，因为DN//AB，PM//AB，且MP=DN=3，所以PM//DN，PM=DN，所以四边形MNDP为平行四边形，所以MN//PD，又因为MN⊄平面ADD1A1，PD⊂平面ADD1A1，所以MN//平面ADD1A1.(2)在平面A1B1BA中，作A1O⊥AB于O，因为平面ABB1A1⊥平面ABCD，且平面ABB1A1∩平面ABCD=AB，所以A1O⊥平面ABCD，在正方形ABCD中，过O作AD的平行线交CD于点Q，则OQ⊥OB，分别以OQ，OB，OA1的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，因为四边形ABB1A1为等腰梯形，A1B1=2，AB=4，所以AO=1，又因为AA1=BB1= 5，所以A1O=2，则A(0,−1,0)，A1(0,0,2)，D(4,−1,0)，B1(0,2,2)，B(0,3,0)，设N(4,a,0)(−1≤a≤3)，AA1=(0,1,2)，所以AD=(4,0,0)，设平面ADD1A1的法向量为n1=(x1,y1,z1)，则n1⊥AA1n1⊥AD，所以n1⋅AA1=0n1⋅AD=0，则y1+2z1=04x1=0，令z1=1，所以n1=(0,−2,1)，又因为M为BB1的中点，所以M(0,52,1)，所以BM=(0,−12,1)，BN=(4,a−3,0)，设平面BMN的法向量为n2=(x2,y2,z2)，则n2⊥BMn2⊥BN，所以n2⋅BM=0n2⋅BN=0，则−12y2+z2=04x2+(a−3)y2=0，令x2=3−a，所以n2=(3−a,4,2)，又因为平面ADD1A1与平面MNB夹角的余弦值为 3010，所以|n1⋅n2|n1|⋅|n2||= 3010，整理得6 5× (3−a)2+20= 3010，所以a2−6a+5=0，解得a=1或a=5，又因为−1≤a≤3，所以a=1，所以存在，点N为CD的中点．  【解析】(1)取线段AA1的中点P，连接PM，PD，利用已知可证四边形MNDP为平行四边形，进而可得MN//PD，可证结论；(2)在平面A1B1BA中，作A1O⊥AB于O，可证OQ⊥OB，分别以OQ，OB，OA1的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，求得平面ADD1A1的一个法向量为n1，平面BMN的一个法向量为n2，利用向量法可求得a，可得结论．本题考查线面平行的判定，以及向量法的应用，属于中档题．