河南省青桐鸣2025-2026学年高二上学期9月大联考数学试卷（Word版附解析）（北师大版）

这是一份河南省青桐鸣2025-2026学年高二上学期9月大联考数学试卷（Word版附解析）（北师大版），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
数学试题（北师大版）
一、单选题
1．直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
2．已知，，则（ ）
A．B．C．D．
3．若的图象关于原点对称，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
4．设点到直线的距离为，直线与直线之间的距离为，则与之间的大小关系为（ ）
A．B．C．D．无法确定
5．函数的图象在区间内的对称轴条数为（ ）
A．4B．5C．6D．7
6．过点，，的圆的圆心坐标为（ ）
A．B．C．D．
7．设随机事件A，满足，，则（ ）
A．0.4B．0.35C．0.25D．0.1
8．已知平面向量，，，若，，三点共线，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
9．某工厂生产了一批钢丝，现随机抽取其中根，得到它们的长度分别为，，，，（单位：厘米），则这组数据的（ ）
A．极差为B．平均数为
C．中位数为D．方差为
10．已知函数，则下列选项正确的有（ ）
A．的定义域为B．曲线的图象关于点中心对称
C．若，则D．
11．已知为坐标原点，过点的直线与圆交于，不同的两点，分别作圆在点，处的切线，两条切线相交于点，则下列选项正确的有（ ）
A．当时，
B．当直线的斜率为时，的面积为
C．当时，的外接圆半径为
D．当时，
三、填空题
12．已知某圆柱与某圆锥的母线长均为6，且圆柱的底面半径是圆锥底面半径的2倍，若圆柱的体积为，则圆锥的体积为 .
13．若圆恒过两个不同的定点A，B，则 .
14．已知函数，则方程的根的个数为 ，其所有根之和的取值范围为 （提示：函数在上单调递增）.
四、解答题
15．已知圆，直线，直线，.
(1)探求与是否垂直；
(2)若，判断与圆的位置关系；
(3)若，求圆与圆公切线的条数.
16．记的内角，，的对边分别为，，，且，.
(1)证明：为等腰三角形；
(2)若，，求的值.
17．在平面直角坐标系中，直线的一个方向向量为.
(1)证明：；
(2)若直线的方向向量与直线的方向向量的数量积为0，且点到直线的距离为1，求的一般式方程.
18．在平面直角坐标系中，已知，，，满足，点与点可以重合，记点的轨迹为.
(1)求曲线的方程；
(2)若，求的值；
(3)若点不与原点重合，求的角平分线所在直线的斜截式方程.
19．已知圆，圆，且.
(1)证明：与相切；
(2)若与内切，求公切线的方程；
(3)若，且，圆与内切于点，且与的面积之积为，若经过点，的直线分别交于点（异于点），交于点（异于点），证明：以为直径的圆过定点.
参考答案
1．A
【详解】由化为，即该直线斜率为，
所以其倾斜角为.
故选：A
2．A
【详解】由，则，解得，即，
又，故．
故选：A．
3．D
【详解】因为函数的图象关于原点对称，
所以函数为奇函数，则满足，且定义域关于原点对称，
又因为，
所以在定义域上恒成立，
因为在定义域上不恒为，所以，
可得在定义域上恒成立，所以.
故选：D.
4．B
【详解】点到直线的距离为，
直线与直线之间的距离为，
所以.
故选：B.
5．D
【详解】由函数，令，解得
再令，解得，
因为，所以，即函数的图象在内有7条对称轴.
故选：D.
6．C
【详解】设圆的方程为.
因该圆过点，，，所以，解得.
因此圆的方程为.
化简得.
因此该圆的圆心为.
故选：C
7．D
【详解】注意到，，则，
又，
则.
故选：D
8．C
【详解】因为A，B, C三点共线，所以与共线，因为平面向量，，，
故可得，
整理可得，
化为关于的一元二次方程为，因为存在实数解，
故，即，
解得或，
即或，
故选：.
9．BC
【详解】将数据，，，，从小到大排列可得，，，，，
所以这组数据的极差为，A错误，
平均数为，B正确，
中位数为，C正确，
方差，
所以，D错误，
故选：BC.
10．ABD
【详解】对于A，因为有意义，所以，
所以，
所以或，
所以函数的定义域为，A正确，
对于B，因为函数的定义域为，
所以对于任意的，，
因为，所以，
所以，
所以曲线的图象关于点中心对称，B正确，
对于C，因为，所以，所以，
所以，即，
所以，所以，又，
所以，C错误，
对于D，因为，
所以，，
所以，因为，所以，
所以，D正确，
故选：ABD.
11．AB
【详解】依题意可得直线的斜率存在，设直线的方程为，圆心到直线的距离为，则，
对于选项A，由，，
则当时，，所以，
所以，即，解得，
则，所以，故A正确；
对于选项B，当直线的斜率为时，即直线的方程为，
则 ，则，所以，故B正确；
对于选项C，设，由，，所以，，，四点共圆，且以为直径，
则该圆的方程为，即，
联立，整理得直线的方程为，
又点在直线上，则，解得，即点的轨迹方程为，
又当时，即，解得，
所以，即的外接圆半径为，故C错误；

对于选项D，结合选项C有，则当时，有，
又，则，
所以，所以，
又，即，
得，故D错误．

故选：AB．
12．
【详解】设圆锥的底面半径为，则圆柱的底面半径为.
因圆柱的母线长为6，故圆柱的高为6.
而圆柱的体积为，因此，解得.
故圆锥的高，可知其体积．
故答案为：.
13．3
【详解】变形得到，
令，解得或，
不妨设，，
所以.
故答案为：3
14． 2
【详解】令，则，所以，由，
因为，所以，作出的图像：

由图可知：有两个交点，所以的根的个数为2；
由有，
所以，
所以，
令，则，
由函数在上单调递增，
所以，即，
又在单调递增，所以，
所以，所以，
故答案为：.
15．(1)答案见解析
(2)相离
(3)0
【详解】（1）因为，
若，则与垂直；
若，则与不垂直.
（2）当时，，圆，
则圆的圆心为，半径为，
因圆心到直线的距离为，
与圆相离.
（3）当时，圆，圆，
则圆的圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径为，
则两圆得圆心距为，
则圆与圆内含，其公切线的条数为0.
16．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）中，，
由正弦定理可得，
可得，又，所以.
又，可得，则有，所以为等腰三角形；
（2）若，，则，
可得，
又，.
17．(1)证明见解析；
(2).
【详解】（1）由可化为，则其一个方向向量为，
由题意可知，解之得，所以；
（2）设直线的方向向量为，则该直线方程为，
由题意可知，解之得，
即该直线方程为，
所以的一般式方程为.
18．(1)；
(2)；
(3)或.
【详解】（1）根据题意，，，，且满足，
即，化简得，
即曲线的方程为；
（2）由（1），可得曲线的图像，如图所示，

因为，所以，
又为圆心，在圆上，所以，
又，；
（3）设的角平分线所在直线的倾斜角为，
当时，为锐角，且，又，，所以，
所以，即，解得或，
因为为锐角，所以，
又因为的角平分线过原点，所以其直线方程的斜截式为：；
当时，为钝角，且，又，，所以，
所以，即，解得或，
因为为锐角，所以，
所以
又因为的角平分线过原点，所以其直线方程的斜截式为：.
综上所述，的角平分线所在直线的斜截式方程为或.
19．(1)证明见解析
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）证明：由，可得圆心，半径，
圆，可得，
可得圆心，半径，
则，
当时，可得，，则，两圆相外切；
当时，可得，，则，两圆相内切；
当时，可得，，则，两圆相内切.
综上可得，当时，圆与相切.
（2）解：联立方程组，可得，
设直线的方程为，
由点到直线的距离为，
点到直线的距离为，
所以直线与相切，也与相切，所以为圆与的公切线方程，
即圆与的公切线方程.
（3）证明：联立方程组，整理得，解得，
所以与的切点为，且圆与内切于点，
所以直线过点的直线，此时直线方程为，
当且时，可得，且和的面积之积为，
则，可得，
又由直线的倾斜角为，则有，可得，
则以为直径的圆的方程为：，
整理得，
即，
将其整理为关于的二次多项式，可得：
，
所以，即，解得或，
所以以为直径的圆恒过定点，.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
A
D
B
D
C
D
C
BC
ABD
题号
11









答案
AB