甘肃省多校2025-2026学年高二上学期第一次月考数学试卷（Word版附解析）

这是一份甘肃省多校2025-2026学年高二上学期第一次月考数学试卷（Word版附解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知数列的通项公式为，则2025是这个数列的（ ）
A．第1项B．第2项C．第3项D．第4项
2．在正项等比数列中，，则（ ）
A．B．3C．4D．
3．记为等差数列的前项和，已知，则取最小值时，的取值为（ ）
A．21B．22C．23D．24
4．在等比数列中，如果，那么（ ）
A．B．C．D．
5．已知数列满足，且，则数列的前50项和为（ ）
A．24B．26C．D．
6．已知是正项等比数列，若，，成等差数列，则的公比为（ ）
A．B．C．D．
7．已知单调递增数列满足，且，则（ ）
A．B．C．D．
8．设的整数部分为，则数列的前21项的和为（ ）
A．250B．253C．255D．258
二、多选题
9．数列的通项公式可能是（ ）
A．B．
C．D．
10．设等差数列的前n项和为，若，则（ ）
A．
B．
C．最大时，
D．的整数的最大值为
11．在公比为q的等比数列中，.记数列的前n项积为，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．若，则的最大项为
D．若，则的最小项为
三、填空题
12．已知等差数列的前项和为.若，则 .
13．设公比为的等比数列的前项和为，若，则 .
14．已知和都是等差数列，的公差为，记分别为数列的前项和，且，则
四、解答题
15．已知等差数列的前n项和为．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
16．（1）已知数列的前项和，求的通项公式；
（2）在数列中，，求的通项公式.
17．在递增的等比数列中，，且是和的等差中项.
(1)求的通项公式；
(2)若求数列的前项和.
18．某台商到大陆一创业园投资万美元建起一座蔬菜加工厂，第一年各种经费支出万美元，以后每年比上一年增加万美元，每年销售蔬菜收入万美元，设表示前年的纯利润（=前年的总收入—前年的总支出—投资额）.
（1）从第几年开始获得纯利润？
（2）若五年后，该台商为开发新项目，决定出售该厂，现有两种方案：①年平均利润最大时，以万美元出售该厂；②纯利润总和最大时，以万美元出售该厂.问哪种方案较合算？
19．已知数列的前项和为，且，．
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和；
(3)若数列满足，记的前项和，判断是否存在正整数，使得成立？若存在，则求出所有值；若不存在，请说明理由．
1．C
令求解即可.
【详解】令，所以，解得.
故选：C
2．A
由等比中项列出等式即可求解.
【详解】在正项等比数列中，有，解得.
故选：A
3．B
根据等差数列的通项公式确定数列的项的正负情况，即可求得答案.
【详解】由题意知为等差数列，
由，知数列为递增数列，
且当时，，当时，，
所以当的取值为22时，取最小值.
故选：B.
4．D
根据条件，求得，再利用，即可求解.
【详解】设等比数列的公比为，
因为，则，得到，
又，
故选：D.
5．C
根据递推公式求解数列的周期性，由周期性即可求解.
【详解】数列满足，，
可得，，，⋯，
所以，所以数列的前50项和为：
．
故选：C．
6．C
由题意设出公比，根据等差中项的性质建立方程，可得答案.
【详解】设等比数列的公比为，由数列为正项数列，则，
由，，为等差数列，则，即，
所以，整理得，解得或（舍去）.
故选：C.
7．A
变形得到、，讨论、时判断数列性质，即可得.
【详解】由于，即，整理得，
当时，单调递增，符合；
当时，则是首项为，公比为的等比数列，
所以，则，
当时，则，，不符，
当时，则，不符，
当时，则，，不符，
故选：A.
8．B
根据即可结合等差数列的求和公式即可求解.
【详解】因为，
所以当时，，所以，
当时，，所以为小于1的分数，此时，所以
则数列的前21项和为.
故选:B.
9．AC
代入验证即可求解.
【详解】对于A项，分别把代入，即得与数列相符，故A项正确；
对于B项，把代入，即得与数列不符，故B项错误；
对于C项，分别把代入，即得，故C项正确；
对于D项，把代入，即得，与数列不符，故D项错误.
故选:AC.
10．ABD
由得到，根据得，判断A选项，根据等差数列通项公式判断B选项，根据和求的最大值，判断C选项，由等差数列前项和公式判断D选项.
【详解】因为，所以，从而，
因为，所以，A正确；，B正确；
因为，所以，所以为的最大值，C错误；
，令，解得，所以整数的最大值为，D正确.
故选：ABD.
11．AC
根据可得选项A正确；根据可得选项B错误；根据条件可得，，利用可得选项C正确；类比选项C，比较的大小可得选项D错误.
【详解】A.由题意得，，
∵，∴，解得，故A正确.
B.由题意得，，
∵，，∴，即，故B错误.
C.∵，，∴，故数列中的奇数项为负数，偶数项为正数，
∵，∴，
∴，，
∵，，
∴的最大项为，故C正确.
D.∵，∴，
∵，∴，
∴，，
∵数列中的奇数项为负数，偶数项为正数，∴，
∵，，
∴当时，，此时，故D错误.
故选：AC.
12．12
根据等差数列的片段和性质即可求解.
【详解】在等差数列中，成等差数列，即成等差数列，所以，解得.
故答案为：12
13．/0.5
根据等比数列的前n项和与项之间的关系，结合等比数列的性质，即可求得答案.
【详解】因为是公比为的等比数列，
故，
所以，故.
故答案为：
14．2 或
根据题中条件可推出之间的关系式，再由求出的值，继而解方程，即可求得答案.
【详解】为等差数列，，
又，知，所以，
，即，
解得或，结合，则，且为递增数列，故；
又由得：，即，
，即，
解得或（舍去），
当时，，解得；
当时，，解得；
综上，或.
故答案为：2 或
15．(1)
(2)
(1)设等差数列的公差为，首项为，根据已知条件列出方程组求解出，，代入通项公式即可求解；
(2)根据等差、等比数列的前n项和公式，利用分组求和法即可求解.
【详解】（1）设公差为d，由得，
解得
故；
（2）因为，由（1）可得：，
故．
16．（1）；（2）
（1）根据与的关系求解即可；
（2）由题设可得，进而利用累加法求解即可.
【详解】解：（1）由，
当时，；
当时，，
所以的通项公式为.
（2）由，得，
当时，
，
显然满足上式，
所以的通项公式为.
17．(1)
(2)
（1）根据条件求出，结合可得公比，由此计算可得数列的通项公式.
（2）利用分组求和法可得.
【详解】（1）∵是和的等差中项，∴，
∵，∴，解得，故.
设等比数列的公比为，则，解得或（舍），
∴，
∴.
（2）由（1）得，
∴
.
18．（1）3年；（2）方案①比较合算.
【解析】（1）根据条件列出的表达式，然后令，求解出的取值范围，由此确定出从第几年开始获得纯利润；
（2）分别计算出方案①和方案②的出售总收入并比较大小，再根据时间因素确定出哪一种方案更合算.
【详解】（1）由条件可知：，即，
令，所以，解得，所以从第年开始获得纯利润；
（2）方案①：，
当且仅当时，即取“”，此时出售总收入为（万美元）；
方案②：因为，所以当时，，此时出售总收入为（万美元）；
因为出售时的总收入相同，但是方案①需要年，方案②需要年，
所以方案①比较合算.
19．(1)
(2)
(3)不存在，理由见解析
【详解】（1）因为，所以，又，所以；
当时，，
所以，所以，
又，所以，又，
所以是以1为首项，2为公比的等比数列，所以；
（2）由（1）可得，
所以
；
（3）因为，所以，
所以，，
两式相减得，
所以，
由，得，所以，
令，所以，
所以数列是递增数列，
又，，
所以不存在正整数，使得，题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
A
B
D
C
C
A
B
AC
ABD
题号
11









答案
AC