辽宁省沈文新高考研究联盟2025-2026学年高一上学期10月考试数学试卷

这是一份辽宁省沈文新高考研究联盟2025-2026学年高一上学期10月考试数学试卷，共19页。
第Ⅰ卷 选择题（共 58 分）
一、单选题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）
已知集合 A  {x∣3  x 1  4}, B  {x∣x  5, x  N} ，则 A ∩ B  （ ）
{1, 2, 3}B. {1, 0,1, 2}
x3  x5
设甲： x 0,1 ，乙： 11 ，则（）
甲是乙的充分不必要条件
甲是乙的必要不充分条件
甲是乙的充要条件
甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
命题“ x  R, 2x2  3x  5  0 ”的否定是（）
C. {1, 2, 3, 4}D. {0,1, 2, 3}
A. x  R, 2x2  3x  5  0
C x  R, 2x2  3x  5  0
B. x  R, 2x2  3x  5  0
D. x  R, 2x2  3x  5  0
x  1
已知变量 x, y 满足{y  2
x  y  0
则 x  y 的最小值是
A. 4B. 3C. 2D. 1
学校举办运动会时，高一（1）班有 28 名同学参加比赛，有 15 人参加游泳比赛，有 8 人参加田径比赛，有 14 人参加球类比赛，同时参加游泳和田径比赛的有 3 人，同时参加游泳和球类比赛的有 3 人，没有人同时参加三项比赛．则同时参加田径和球类比赛的人数是．
B. 4C. 5D. 6
x2y2
设函数 f（x）＝sin（ωx+φ）， A   x0 , f  x0  f  x0   0， B  (x, y∣) 1 ，若存在实数

φ，使得集合 A∩B 中恰好有 7 个元素，则 ω（ω＞0）的取值范围是（）
322
 35 
 3
5 
3 



 4 π, 4 π
 4
π,π

π, 4 π
π, 2 π
在等腰梯形 ABCD 中， AB / / DC ， AB  2BC  2CD  2 ，P 是底边 AB 上的动点，则 PD  PC 的
最小值为（ ）
2
A. 2
3
B. 2C.
2
D. 1
2
若函数 f  x   3x  a 6x  a  3 a  10 有两个零点，则整数 a 的值共有（）
A. 7 个B. 8 个C. 9 个D. 17 个
二、多选题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分）
下列关系中正确的是（）
2
AÏ R
B. 1 Q 2
C. π  Z
D. 0  N
已知 a, b, c 满足c  b  a 且ac  0 ，则下列不等式恒成立的是（）
Ab  c aa
b  a  0
c
2
2
b  a
cc
a  c  0
ac
Cbb-Duglas 生产函数是宏观经济学和微观经济学中最常用的生产函数之一，函数的数学形式为
Y  AKαLβ( A  0, K  0, L  0, 0 α 1, 0  β 1) ，其中Y 是总产出， K 是资本存量， L 是劳动力，
A 是技术参数，α,β是资本和劳动的产出弹性.当 A 不变时，下列说法正确的是（）
若 K 与 L 均变为原来的 m m  0 倍，且α β 1 ，则Y 变为原来的m 倍
若 K 与 L 均变为原来的 m m  1 倍，且αβ 1 则Y 最少可变为原来的m 倍
4
若 K 与 L 均变为原来的 m m  0 倍，且α2  β2  1 ，则Y 最少可变为原来的m 倍
2
若α,β, L 均不变，则函数Y  AKαLβ 的增长速度越来越慢
第Ⅱ卷 非选择题（共 92 分）
三、填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）
若集合 A  a, a  b, b ， 0  A ，则 ab  2a  2 的最小值为.
已知不等式 ax2  a  2 x  c  0 的解集为x 1  x  2，则函数 y 
ax2  cx
的单调递增区间为
.
为满足人民群众便利消费、安全消费、放心消费的需求，某社区农贸市场管理部门规划建造总面积为
2400m2 的新型生鲜销售市场．市场内设蔬菜水果类和肉食水产类店面共 80 间．每间蔬菜水果类店面的
建造面积为28m2 ，月租费为 x 万元；每间肉食水产店面的建造面积为20m2 ，月租费为 0.8 万元．全部店面的建造面积不低于总面积的 80%，又不能超过总面积的 85%．①两类店面间数的建造方案为
种．②市场建成后所有店面全部租出，为保证任何一种建设方案平均每间店面月租费不低于每间蔬菜水果
类店面月租费的 90%，则 x 的最大值为万元．
 x2  4x  12
四、解答题（本大题共 5 小题，共 77 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
已知函数 y 
的定义域为集合 A ， B  x | x2  4x  m2  4  0, m  0 .
求集合 A 、 B ；
若 x  A 是 x  B 成立的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.
3
（1）求证：
 2
 2 
2
7
（2）已知 a>0，b>0，c>0，且 a＋b＋c＝1 求证： 1  1  1  9 .
abc
国际上钻石的重量计量单位为克拉，已知某种钻石的价值 v(美元)与其重量 w(克拉)的平方成正比，且一颗重为 3 克拉的该种钻石的价值为 54000 美元.
求 v 关于 w 的函数关系式；
若把一颗钻石切割成重量比为 1∶3 的两颗钻石，求价值损失的百分率；
把一颗钻石切割成两颗钻石，两颗钻石的重量分别为 m 克拉和 n 克拉，若价值损失的百分率最大，
求价值损失百分率的最大值及此时 m.n 应满足的关系式.(价值损失的百分率=
原有价值- 现有价值原有价值
×100%，在切割过程中重量损耗忽略不计)
已知不等式 mx2  3x  2  0 的解集为x n  x  2 .
求 m，n 的值；
若关于 x 的不等式 x2  ax  2  0 在1, 2上恒成立，求实数 a 的取值范围；
解关于 x 的不等式 ax2  n  a 1 x  m 1  0 .
已知 f  x 为偶函数， g  x  为奇函数，且满足 f  x  g  x  2  4x ．
（1）求 f  x 、 g  x  ；
若方程 mf  x   g  x2  2m  9 有解，求实数m 的取值范围；
若 h  x 
 f  x  g  x 1 ，且方程h  x2   2k  1  h  x  k  0 有三个解，求实数 k 的取
1
2
2 

值范围．
秘密★启用前
2025-2026（上）10 月质量监测高 一 数 学
本试卷满分 150 分考试时间 120 分钟
第Ⅰ卷 选择题（共 58 分）
一、单选题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）
已知集合 A  {x∣3  x 1  4}, B  {x∣x  5, x  N} ，则 A ∩ B  （ ）
A. {1, 2, 3}B. {1, 0,1, 2}C. {1, 2, 3, 4}D. {0,1, 2, 3}
【答案】D
【解析】
【分析】由交集运算即可求解.
【详解】因为 A  {x∣3  x 1  4}  {x∣4  x  3} ，
B  {x∣x  5, x  N}  {0,1, 2, 3, 4, 5}，所以 A ∩ B  {0,1, 2, 3} ．
故选：D．
x3  x5
设甲： x 0,1 ，乙： 11 ，则（）
甲是乙的充分不必要条件
甲是乙的必要不充分条件
甲是乙的充要条件
甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】易知充分性成立，举例说明可证明必要性不成立，结合充分、必要条件的概念即可下结论.
x3  x5
【详解】当 x 0,1 时， 11 ；
x3  x5
令 x  215 ，满足 11 ，但 x 0,1 不成立.
所以甲是乙的充分不必要条件.故选：A.
命题“ x  R, 2x2  3x  5  0 ”的否定是（）
x  R, 2x2  3x  5  0B. x  R, 2x2  3x  5  0
C. x  R, 2x2  3x  5  0D. x  R, 2x2  3x  5  0
【答案】C
【解析】
【分析】根据全称命题的否定，可得答案.
【详解】由全称命题的否定知原命题的否定为x  R, 2x2  3x  5  0 ．
故选：C．
x  1
已知变量 x, y 满足{y  2则 x  y 的最小值是
x  y  0
B. 3C. 2D. 1
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：先作出不等式组所表示的平面区域，如下图所示，设 z  x  y ，则 z 相当于直线
x  y  z  0 的纵截距，要使 z 最小，则须直线 x  y  z  0 的纵截距最小，当直线 x  y  z  0 经过点
A(1,1) 时，纵截距取得最小值，此时 z  x  y  11  2 ，选 C.
考点：线性规划.
学校举办运动会时，高一（1）班有 28 名同学参加比赛，有 15 人参加游泳比赛，有 8 人参加田径比赛，有 14 人参加球类比赛，同时参加游泳和田径比赛的有 3 人，同时参加游泳和球类比赛的有 3 人，没有人同时参加三项比赛．则同时参加田径和球类比赛的人数是．
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】A
【解析】
【详解】试题分析：只参加游泳比赛的人数：15-3-3=9（人）；同时参加田径和球类比赛的人数：8+14-（28-9）=3（人）．
考点：排列、组合及简单计数问题
x2y2
设函数 f（x）＝sin（ωx+φ）， A   x0 , f  x0  f  x0   0， B  (x, y∣) 1 ，若存在实数

φ，使得集合 A∩B 中恰好有 7 个元素，则 ω（ω＞0）的取值范围是（）
322
 35 
 3
5 
3 



 4 π, 4 π
 4
π,π

π, 4 π
π, 2 π
【答案】B
【解析】
【分析】
3 2π 8
ω
由题意求出﹣4≤x≤4，结合正弦函数的性质可得2π
，从而可求出 ω 的取值范围.
4  8
ω
【详解】解：∵f′（x0）＝0，∴f（x0）是 f（x）的最大值或最小值，又 f（x）＝sin（ωx+φ）的最大值或最小值在直线 y＝±1 上，
2
∴y＝±1 代入 x
y2
 1 得，
x21
  1 ，解得﹣4≤x≤4，
322
322
3 2π 8
ω
又存在实数 φ，使得集合 A∩B 中恰好有 7 个元素，∴ 2π
，且 ω＞0，
4  8
ω
解得 3π ω π ，∴ω 的取值范围是 3π,π ．

4 4
故选：B．
【点睛】关键点睛：
本题的关键是求出 x 的取值范围，再结合三角函数的性质列关于 ω 的不等式.
2
在等腰梯形 ABCD 中， AB / / DC ， AB  2BC  2CD  2 ，P 是底边 AB 上的动点，则 PD  PC 的
最小值为（ ）
2
A. 2
【答案】D
【解析】
3
B. 2C.
2
D. 1
【分析】根据题设条件，建系，写出相关点的坐标，利用向量坐标的数量积运算将其化成二次函数，即可求得最值.
【详解】根据题意，以 A 为原点，射线 AB 为 x 轴正半轴建立直角坐标系，如图所示，
因 AB  2BC  2CD  2 ，易推得∠DAB  60∘ ，则 D( 1 ,
33
) ，
C(,
3 ) ，
2222
设 P a, 0 ，其中0  a  2 ，则–––→  ( 1  a, 3 ) ， –––→  ( 3  a, 3 ) ，
PDPC
2222
–––→ –––→
1332321
于是， PD  PC  (  a)(  a)   a  2a   (a  1)  ，
22422
2
故当 a  1 时， PD  PC 取得最小值为 1 .
故答案为：D．
若函数 f  x   3x  a 6x  a  3 a  10 有两个零点，则整数 a 的值共有（）
A. 7 个B. 8 个C. 9 个D. 17 个
【答案】A
【解析】
【分析】先判断出函数 f  x  3x  a6x  a  3 在 R 有两个零点为 a  3 和lg a ，由 a 的范围求出符
63
合题意的整数 a.
【详解】因为方程6x  a  3  0 在 R 上有且仅有一解 x  a  3 ，
6
所以要使函数 f  x  3x  a6x  a  3 在 R 有两个零点,
只需3x  a  0 在 R 上有且仅有一个解,同时该解不能为 a  3 .
6
因为 y  3x 在 R 上值域为(0,+∞），因此要满足3x  a  0 即3x  a 有解,只需 a>0.
又因为 y  3x 在 R 上单调递增,因此当 a>0 时, 3x  a  0 在 R 上有且仅有一个解 x  lg3a .
因为 a  10 且 a>0,所以整数 a 可以为 1,2,3,4,5,6,7,8,9,其中当 a=3 或 a=9 时, a  3  lg a .
63
因此满足条件的a 为 1,2,4,5,6,7,8 共 7 个.
故选：A
二、多选题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分）
下列关系中正确的是（）
2
Ï R
1 Q 2
π  Z
0  N
【答案】BD
【解析】
【分析】由数的相关概念判断各数与对应数集的关系.
【详解】由数的概念知：所以 B、D 对，A、C 错.
Î R ， 1 Q ， π  Z ， 0  N ，
2
2
故选：BD
已知 a, b, c 满足c  b  a 且ac  0 ，则下列不等式恒成立的是（）
b  c
aa
b  a  0
c
2
2
Cb  a cc
D. a  c  0
ac
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用不等式的性质对各选项逐一判断即可.
【详解】因为 a, b, c 满足c  b  a 且ac  0 ，所以c  0 ， a  0 ， b 符号不确定，
选项 A：因为b  c ， 1  0 ，所以 b  c ，选项 A 正确；
aaa
选项 B：因为b  a ， 1  0 ，所以b  a < 0 ， b  a  0 ，选项 B 正确；
cc
选项 C：因为b  a ， 1  0 ，
c
a
2
2
当 b  a 时， b2  a2 ，所以 b ；
当b  0 且 b  a 时， b2  a
cc
2ba
22
，所以，选项 C 错误；
cc
选项 D：因为c  a ， 1
ac
 0 ，所以a  c  0 ， a  c  0 ，选项 D 正确；
ac
故选：ABD
Cbb-Duglas 生产函数是宏观经济学和微观经济学中最常用的生产函数之一，函数的数学形式为
Y  AKαLβ( A  0, K  0, L  0, 0 α 1, 0  β 1) ，其中Y 是总产出， K 是资本存量， L 是劳动力，
A 是技术参数，α,β是资本和劳动的产出弹性.当 A 不变时，下列说法正确的是（）
若 K 与 L 均变为原来的 m m  0 倍，且α β 1 ，则Y 变为原来的m 倍
若 K 与 L 均变为原来的 m m  1 倍，且αβ 1 则Y 最少可变为原来的m 倍
4
若 K 与 L 均变为原来的 m m  0 倍，且α2  β2  1 ，则Y 最少可变为原来的m 倍
2
若α,β, L 均不变，则函数Y  AKαLβ 的增长速度越来越慢
【答案】ABD
【解析】
α β αβ
【 分析】 由 Y  AKαLβ ， 得 Ym  AK L m， 代入判断 A ； 利用基本不等式判断 B ； 利用
α2  β2
2
 αβ
2
判断 C；利用导函数的单调性判断 D.
αβα β αβ
【详解】由题意可知， Ym  A(mK ) (mL)  AK L m，
当α β 1 时， Ym  mY ，故 A 对；
当αβ 1 时，αβ 2
4
αβ 1 ，所以Ym
 AKαLβmαβ  AKαLβm2 αβ  AKαLβm  mY ，
当且仅当α β 1 时，取等号，故 B 对；
2
α2  β2  1
αβ
当 时，因为
2
，所以
2
α2  β2
2
α2 β2
2
m
Y  AKαLβmαβ  AKαLβm2 AKαLβm  mY ，
当且仅当α β 1 时，取等号，故 C 错；
2
若α,β, L 均不变， Y 是 K 的函数，且Y  K   ALβαKα1 ， 因为0 α 1，所以Y  K   ALβαKα1 是减函数，故 D 对；故选：ABD.
第Ⅱ卷 非选择题（共 92 分）
三、填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）
若集合 A  a, a  b, b ， 0  A ，则 ab  2a  2 的最小值为.
【答案】1
【解析】
【分析】利用元素的互异性可得出b  a 且 a  0 ，再利用二次函数的基本性质可求得 ab  2a  2 的最小值.
a  b  a
【详解】因为 A  a, a  b, b ，则a  b  b ，可知 a  0 且b  0 ，则 a  b  0 ，从而b  a ，

所以， ab  2a  2  a2  2a  2  a 12 1  1，当且仅当 a  1 时，等号成立.
故 ab  2a  2 的最小值为1.
故答案为：1.
已知不等式 ax2  a  2 x  c  0 的解集为x 1  x  2，则函数 y 
ax2  cx
的单调递增区间为
.
【答案】0,1
【解析】
【分析】根据不等式的解集可知一元二次不等式所对应的一元二次方程的根，利用韦达定理可求出 a ，c 的值，再根据复合函数求单调区间的方法，得出单调递增区间.
【详解】解：因为不等式 ax2  a  2 x  c  0 的解集为x 1  x  2，所以1和2 为方程 ax2  a  2 x  c  0 的两根且 a  0 ，
1 2   a  2
a
所以

1 2  c
a
a  1

，解得c  2 ，
ax2  cx
x2  2x ，
则 y 
令x2  2x  0 ，解得0  x  2 ，
x2  2x
所以函数 y 
的定义域为 x 0, 2 ，
t
因为 y  x2  2x 的单调递增区间为,1 ， y 在定义域上单调递增，
x2  2x
所以 y 的增区间为0,1（开闭均正确）.
故答案为： 0,1.
为满足人民群众便利消费、安全消费、放心消费的需求，某社区农贸市场管理部门规划建造总面积为
2400m2 的新型生鲜销售市场．市场内设蔬菜水果类和肉食水产类店面共 80 间．每间蔬菜水果类店面的
建造面积为28m2 ，月租费为 x 万元；每间肉食水产店面的建造面积为20m2 ，月租费为 0.8 万元．全部店面的建造面积不低于总面积的 80%，又不能超过总面积的 85%．①两类店面间数的建造方案为
种．②市场建成后所有店面全部租出，为保证任何一种建设方案平均每间店面月租费不低于每间蔬菜水果
类店面月租费的 90%，则 x 的最大值为万元．
【答案】①. 16②. 1
【解析】
【分析】
设蔬菜水果类和肉食水产类店分别为 a, b ，根据条件建立不等关系和相等关系，求解，确定解的个数；
0.8b  ax
平均每间店的收入
80
立求 x 的最大值即可.
不低于每间蔬菜水果类店面月租费的 90%建立不等式，根据不等式恒成
【详解】设蔬菜水果类和肉食水产类店分别为 a, b ,
（1）由题意知， 0.85 2400  28a  20b  0.8 2400 ，
化简得： 480  7a  5b  510 ，又 a+b  80 ，
所以480  7a  5(80  a)  510 ，解得： 40  a  55 ，
 a  40, 41,K ,55 共16 种；
（2）由题意知 0.8b  ax  0.9x ，
80
0.8b  (80  b)x  72x ，
 x  0.8b  0.8[1
b  8
8 ]，
b  8
Q bmax  80  40  40 ，
 x  0.8(1
8 )  0.8 5  1 ，
324
即 x 的最大值为 1 万元，故答案为：16；1
【点睛】本题主要考查了不等式在实际问题中的应用，不等式的性质，属于难题.
 x2  4x  12
四、解答题（本大题共 5 小题，共 77 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
已知函数 y 
的定义域为集合 A ， B  x | x2  4x  m2  4  0, m  0 .
求集合 A 、 B ；
若 x  A 是 x  B 成立的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.
【答案】（1） A  2, 6， B  2  m, 2  m ；
（2） m 4,  .
【解析】
【分析】（1）由根式性质求定义域得集合 A，解一元二次不等式求解集得集合 B.
（2）由题意有 AB ，根据（1）所得集合列不等式组求参数范围即可.
【小问 1 详解】
由根式性质知： x2  4x 12  0 ，解得2  x  6 ，则 A  2, 6，
由 x2  4x  m2  4  0 且 m  0 ，解得2  m  x  2  m ，故 B  2  m, 2  m ；
【小问 2 详解】
∵ x  A 是 x  B 成立的充分不必要条件，则 AB ，
2  m  2

∴ 2  m  6（等号不同时成立），解得m  4 ，

2  m  2  m
∴实数 m的取值范围为 m 4,  ．
3
（1）求证：
 2
 2 
2
7
（2）已知 a>0，b>0，c>0，且 a＋b＋c＝1.求证： 1  1  1  9 .
abc
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.
【解析】
【分析】（1）利用两边平方的方法证得不等式成立.
7
（2）利用基本不等式证得等式成立.
3
【详解】（1）由于
 2 2 2  11 4
， 2 
7 2  11 4，
6
7
6
3
，所以
 2 2 2  2 
7 2 ，所以
 2
 2 .
3
2
7
由于 a  b  c  1，所以
1  1  1  a  b  c  a  b  c  a  b  c abcabc
 3  b  a  c  a  c  b abacbc
b  a a b
 3  2
 2
 2
 9 ，
c  a a c
c  b b c
当且仅当 a  b  c  1 时等号成立.
3
【点睛】本小题主要考查不等式的证明，考查利用基本不等式证明不等式，属于基础题.
国际上钻石的重量计量单位为克拉，已知某种钻石的价值 v(美元)与其重量 w(克拉)的平方成正比，且一颗重为 3 克拉的该种钻石的价值为 54000 美元.
求 v 关于 w 的函数关系式；
若把一颗钻石切割成重量比为 1∶3 的两颗钻石，求价值损失的百分率；
把一颗钻石切割成两颗钻石，两颗钻石的重量分别为 m 克拉和 n 克拉，若价值损失的百分率最大，
求价值损失百分率的最大值及此时 m.n 应满足的关系式.(价值损失的百分率=
原有价值- 现有价值原有价值
×100%，在切割过程中重量损耗忽略不计)
【答案】（1）v=6000w2；（2）37.5%；（3）价值损失百分率的最大值为 50%，此时 m=n.
【解析】
【分析】
由题设等量关系设出解析式，代入即可得解；
设钻石重量为4a (克拉)，由价值损失百分率的公式代入即可得解；
由价值损失百分率结合基本不等式即可得解.
【详解】（1）设v  kw2 ，则54000  9k ，可得k  6000，所以v  6000w2 ；
（2）设钻石重量为4a (克拉)，则原有价值为6000  (4a)2  96000a2
(美元)，
现有价值为6000a2  6000  (3a)2  60000a2
(美元)，
所以价值损失的百分率 96000  60000 100%  37.5% ；
96000
由题意，原有价值为6000  (m  n)2 (美元)，现有价值为6000m2  6000n2 (美元)，
则价值损失的百分率为：

6000(m  n)2  (6000m2  6000n2 ) 
1
6000(m  n)2
100%  1
1

2mn 100% ，

m2  n2 
2mnm2  n2
由基本不等式可得1 1 2 ，当且仅当
m  n
时，等号成立，
m2  n2m2  n2
1
12mn m2  n2
 11
2 ，1
1 1
2mn2 ，
m2  n2
所以价值损失百分率的最大值为50% ，此时 m  n .
已知不等式 mx2  3x  2  0 的解集为x n  x  2 .
求 m，n 的值；
若关于 x 的不等式 x2  ax  2  0 在1, 2上恒成立，求实数 a 的取值范围；
解关于 x 的不等式 ax2  n  a 1 x  m 1  0 .
【答案】（1） m  1, n  1；
2
（2） a  2；
（3）答案见解析.
【解析】
【分析】（1）利用一元二次不等式的解与一元二次方程的根的关系求出 m, n .
根据给定条件，分离参数并利用基本不等式求出最小值即可.
由（1）的结论，解含参的一元二次不等式即得.
【小问 1 详解】
由不等式 mx2  3x  2  0 的解集为x n  x  2 ，得 m  0 ，且 n, 2 是方程 mx2  3x  2  0 的两个实根，
n  2   3

则

n  2  

m ，解得 m  1, n  1，
2
m
所以 m  1, n  1.
【小问 2 详解】
由不等式 x2  ax  2  0 在1, 2上恒成立，得a  x  2 在1, 2上恒成立，
2
2
2
x
x  2
x
而 x  2  2
x
 2
，当且仅当 x 时取等号，显然
2 1, 2 ，则 a  2，
2
所以实数 a 的取值范围是 a  2.
【小问 3 详解】
由（1）知，不等式 ax2  (n  a 1)x  m 1  0 化为： ax2  (a  2)x  2  0 ，即(ax  2)(x 1)  0 ，当 a  0 时， 2(x  1)  0 ，解得 x  1；
当 a  0 时，不等式为(x  2 )(x 1)  0 ，解得 2  x  1 ；
aa
当 a  0 时，不等式为(x  2 )(x 1)  0 ，若0  a  2 ，解得 x  1或 x  2 ；
aa
若 a  2 ，解得 x  1或 x  1 ；若 a  2 ，解得 x  2 或 x  1 ，
a
所以当 a  0 时，原不等式的解集为∞,1 ；
2
当 a  0 时，原不等式的解集为(,1) ；
a
当0  a  2 时，原不等式的解集为(,1) ∪ ( 2 , ) ；
a
当 a  2 时，原不等式的解集为(, 2 ) ∪ (1, ) .
a
已知 f  x 为偶函数， g  x  为奇函数，且满足 f  x  g  x  2  4x ．
（1）求 f  x 、 g  x  ；
若方程 mf  x   g  x2  2m  9 有解，求实数m 的取值范围；
1
2
若 h  x  f  x  g  x 1 ，且方程h  x2   2k  1  h  x  k  0 有三个解，求实数 k 的取
2 

值范围．
【答案】（1） f  x  4x  4x ， g  x  4x  4x ；
（2） 10,  ；
（3）0∪  1 ,+∞ ．

 2
【解析】
【分析】（1）由已知得到 f  x  g  x  2  4x ，然后和已知等式列方程组求解；
（2）将方程 mf  x   g  x2
 2m  9 有解转化为 m 
t 2  5
t  2
t 2  5
有解，利用基本不等式求
t  2
的最值即
可；
2
（3）求出 h  x  1  f  x  g  x 1 的值域，并画出 h  x 的图像，令 h  x  a ，将方程
h  x2   2k  1  h  x  k  0 有三个解转化为 a2  (2k  1 )a  k  0 有两个根 a , a ，研究方程的根
2 
212

的取值范围可得答案.
【小问 1 详解】
Q f  x  g  x  2  4x ①，
 f x  g x  2  4x ，
又 f  x 为偶函数， g  x  为奇函数，
 f  x  g  x  2  4x ②， 由①+②可得 f  x  4x  4x ，由②-①可得 g  x  4x  4x ，
 f  x  4x  4x ， g  x  4x  4x
【小问 2 详解】
令4x  4x  t ， t  2
则  g  x2  4x  4x 2  4x  4x 2  4  t 2  4
由 mf  x   g  x2  2m  9 得即 m(t  2)  t 2  5 ，
当t  2 时，不成立，

t 2  5(t  2)2  4(t  2)  99
当t2 时， m  (t  2)  4
t  2
t  2
t  2
(t  2) 
9
t  2
 2 4  6  4  10 ，
当且仅当t  5 时取等号，
故实数m 的取值范围为10,  ；
【小问 3 详解】
2
h  x  1  f  x  g  x 1  4x 1 0, ∞ ，
令 h  x  a ，则 a 0,  ，函数 h  x 的图像，如图：
Q方程h  x2   2k  1  h  x  k  0 有三个解，
2 

 a2  (2k  1 )a  k  0 有两个根
2
a1, a2 ，
则0  a1  1  a2 或 a1  0 ， 0  a2  1 或0  a1  1, a2  1，
当 a  0 ， 0  a  1 ，有 k  0 ， a2  1 a  0 ，解得 a  1 ，满足题意；
12222
当0  a  1, a  1时，有k  1 ， a2  3 a  1  0 ，解得 a  1 ，满足题意；
1222212
当0  a  1  a 时，令 p a  a2  (2k  1 )a  k ，
12
 p 0  k  0

2
，解得k  1
 p 1  1  k  02
2
综合得实数 k 的取值范围为0∪  1 ,+∞

 2