黑龙江省龙东联盟2025-2026学年高一上学期10月月考数学试卷（Word版附解析）

这是一份黑龙江省龙东联盟2025-2026学年高一上学期10月月考数学试卷（Word版附解析），共12页。试卷主要包含了答题前，考生务必用直径0，本卷命题范围， 已知集合，若，且同时满足， 已知命题，，命题，，则等内容，欢迎下载使用。
考生注意：
1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.
4.本卷命题范围：人教A版必修第一册第一章、第二章.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】因为集合，，所以.
故选：A
2. 命题“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】B
【详解】命题“，”的否定是“，”.
故选：B.
3. 已知，，，且，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】因为，所以，又，当时，故A错误；
当，时，，故B错误；
当，时，，故C错误；
由，
所以，故D正确.
故选：D
4. 设，，且，则的最小值为（ ）
A. B. 5C. D. 4
【答案】C
【详解】因为，，且，
所以，
当且仅当，即时取等号.
故选:C.
5. 已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合的真子集个数为（ ）

A. 2B. 3C. 4D. 7
【答案】B
【详解】根据题意，图中阴影部分区域表示为，
因为，
所以，则，
所以其真子集的个数为.
故选：B
6. 对于实数，规定表示不大于的最大整数，如，，那么不等式成立的一个充分不必要条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】由，得，解得，因此或或，
又因为表示不大于的最大整数，所以，
要找其成立的一个充分不必要条件，则应找其真子集，只有选项A满足要求.
故选：A
7. 已知集合，若，且同时满足：①若，则；②若，则，则集合的个数为（ ）
A. 4B. 8C. 12D. 16
【答案】D
【详解】因为，，
由题意可知，若，则，若，则，
若，则，若，则，3，7没有限制，
综上所述，满足条件的集合可为：
、、、、、、、
、、、、、、、
、，共16个.
故选:D.
8. 若，且不等式对任意恒成立，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】因为，
所以当时，恒成立；
当时，，则需；
当时，，则需.
设，则解得或，
所以，当时，取得最小值，且最小值为.
故选：A.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知命题，，命题，，则（ ）
A. 是真命题B. 是假命题
C. 和都是真命题D. 和都是假命题
【答案】AD
【详解】命题，，当时，，故命题为假命题，则，，为真命题；
命题，，当时，，故命题为真命题，则，，为假命题，
故A，D正确，B，C错误.
故选:AD.
10. 当两个集合中的一个集合为另一个集合的子集时，称这两个集合构成“全食”；当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时，称这两个集合构成“偏食”.对于集合，，若集合与构成“全食”或“偏食”，则实数的取值可以是（ ）
A. B. 0C. D. 1
【答案】BD
【详解】当时，，
当时，，
对于A：若，，此时，不满足；
对于B：若，，此时，满足；
对于C：若，，此时，不满足；
对于D：若，，此时，满足.
故选：BD
11. 已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.
C.
D. 设关于的方程的解为，，则
【答案】ABD
【详解】因为不等式的解集为，
所以和为方程的两根，且，
所以，即，，所以，A正确；
又（等号不成立），所以，所以，，B正确；
，C错误；
方程可化为，
整理得，解得，，
所以，
又，且，
所以，即，
所以，故D正确.
故选：ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知命题“，”为真命题，则实数的取值范围是_____.
【答案】
【详解】当时，显然恒成立；
当时，由二次函数性质知，解得.
综上，实数的取值范围是.
故答案为：
13. 已知集合，，若集合中恰有两个整数，则实数的取值范围是_____.
【答案】或
【详解】若集合中的两个整数是3和4，则解得；
若集合中的两个整数是2和3，则解得.
综上所述，实数的取值范围是或.
故答案为：或.
14. 已知，，，且，则实数的最小值为_____.
【答案】81
【详解】由，得，即，
因为，，，所以，当且仅当时取等号，
令，则，解得或（舍），
即，，当且仅当时取等号，故实数的最小值是81.
故答案为：81
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知命题：实数满足；命题：实数满足.
（1）若，且和都是真命题，求实数的取值范围；
（2）若是充分不必要条件，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【小问1详解】
若，解，得，即命题.
解，得，即命题.
因为和都是真命题，所以，即实数的取值范围是.
【小问2详解】
由，得.
因为是的充分不必要条件，
所以且等号不同时成立，解得，
所以实数的取值范围是.
16. 已知全集，集合，.
（1）若，求；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）；
（2）.
【小问1详解】
因为，所以或.
当时，，故.
【小问2详解】
因为，所以.
若，此时，解得；
若，此时，且，解得，
综上，实数的取值范围是.
17. 如图，某农场紧急围建一个面积为的矩形场地，要求矩形场地的一面利用现有旧墙（利用旧墙需要先进行维修），其余三面修建新墙，与旧墙平行的那面新墙上，需预留宽的入口（入口不需建墙）.已知旧墙的维修费用为28元/，新墙的造价为100元/，旧墙的使用长度为，修建此矩形场地的总费用为（单位：元）.
（1）写出关于的表达式；
（2）当为何值时，修建此围墙所需费用最少？并求出最少费用.
【答案】（1）
（2）当时，修建此围墙所需费用最少，最少费用为3000元
【小问1详解】
依题意，新墙总长度，修建新墙费用为，维修旧墙费用为，
因此，
所以修建此矩形场地的总费用.
【小问2详解】
由（1）知，
当时，，
当且仅当，即时，，
所以当时，修建此围墙所需费用最少，最少费用3000元.
18. 已知函数.
（1）若关于的不等式的解集为（），求实数，的值；
（2）若当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围；
（3）求关于的不等式的解集.
【答案】（1），；
（2）；
（3）答案见解析.
【小问1详解】
由关于的不等式的解集为，得，
且和是方程的两个实数根，即，解得，
所以另一实数根为，即，所以，.
【小问2详解】
由，得，又，所以恒成立.
当时，，当且仅当时取等号，
所以，即实数的取值范围为.
【小问3详解】
当时，不等式为，其解集为；
当时，不等式可化为，其方程对应的两根分别为，.
若，不等式解集为；
若，不等式可化为，此时不等式解集为；
若，不等式解集为；
若，不等式解集为.
综上可知，
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为.
19. 已知正整数集的一个非空子集，其中且，（）.若对任意的，，都有，则称集合具有性质“跨度k”，其中.
（1）若，，，集合具有性质“跨度4”，求集合中元素的最小值；
（2）若集合具有性质“跨度36”，求证：
（ⅰ）；
（ⅱ）.
（3）若集合具有性质“跨度36”，求集合中元素个数的最大值，并说明理由.
【答案】（1）最小值为12；
（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析；
（3）最大值为11，理由见解析.
【小问1详解】
根据性质“跨度4”的定义可得且，解得，
所以集合中元素的最小值为12.
【小问2详解】
（ⅰ）根据性质“跨度36”的定义可得.
因为，均为正整数，不等式两边同除，得，得证.
（ⅱ）根据性质“跨度36”的定义可得，，
因为，均为正整数，所以不等式两边同除，得，
所以，，，，，
累加得，得证.
【小问3详解】
由（2）可知，所以，解得，
同（2）证明得，所以，
又由定义知，所以，所以在上成立，
当时，取，则，解得，矛盾；
当时，对任意，的最大值为，满足恒成立