四川省宣汉中学2026届高三上学期10月月考数学试题（Word版附解析）

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注意事项：
1.选择题部分请全部填涂作答到答题卡上，非选择题部分用 0.5m 黑色签字笔在答题卡规定区
域书写.
2.考试结束后，只交回答题卡.
（预祝同学们考试旗开得胜!）
一､单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合
题目要求的.
1. 下列结论不正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据 、 、 、 表示的数集，结合元素与集合之间的关系即可做出判断
【详解】解：由 表示自然数集，知 ，故 A 正确；
由 表示有理数集，知 ，故 B 正确；
由 表示实数集，知 ，故 C 错；
由 表示整数集，知 ，故 D 正确.
故选：C
2. 在复平面内,复数 对应的点位于
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【详解】试题分析： ，对应的点为 ，在第一象限
考点：复数运算
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3. 设 为直线， ， 为两个不同的平面，则下列结论中错误的是（ ）
A. ， ，且 B. ，
C. ，且 D. ，且 与 相交 与 相交
【答案】B
【解析】
分析】根据空间中线面平行、面面平行关系逐项分析判断.
【详解】对于选项 A：若 ， ，则 或 ，
又因 ，所以 ，故 A 正确；
对于选项 B：若 ， ，则 或 与 相交，
例如在正方体 中， //平面 ， //平面 ，
显然平面 与平面 相交，故 B 错误；
对于选项 C：若 ，且 ，由面面平行的性质可得 ，故 C 正确；
对于选项 D：若 ，且 与 相交，由面面平行的性质可得 与 相交，故 D 正确；
故选：B.
4. 已知幂函数 是 上的偶函数，且函数 在区间
上单调递减，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据幂函数的定义与奇偶性求出 的值，可得出函数 的解析式，再利用二次函数的单调性可
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得出关于实数 的不等式，从而得解.
【详解】因为幂函数 是 上的偶函数，
则 ，解得 或 ，
当 时， ，该函数是定义域为 的奇函数，不合乎题意；
当 时， ，该函数是定义域为 的偶函数，合乎题意.
所以 ，则 ，其对称轴方程为 ，
因为 在区间 上单调递减，则 ，解得 .
故选：C．
5. 已知 ， ，若直线 上存在点 P，使得 ，则 t 的取值范围为（
）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设 ，根据 ，得出 的轨迹方程，再结合条件 为直线 上的点，得到直线
与圆的位置关系，即可求解.
【详解】设 ，则 ， ，
因为 ，所以 ，
即 ，所以点 在以 为圆心，4 为半径的圆上.
点 在直线 上，
所以直线 与圆 有公共点，
则 ，解得
故选:B.
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6. “ ”是“直线 与双曲线 只有一个公共点”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，联立直线与双曲线方程，由直线与双曲线只有一个公共点代入计算，即可得到 的取
值，再由充分条件，必要条件的定义，即可得到结果.
【详解】联立方程 ，整理可得 ，
当 时，即 ，方程有一解，即只有一个公共点；
当 时， ，解得 ；
所以直线 与双曲线 只有一个公共点时， 或 ，
所以“ ”是“直线 与双曲线 只有一个公共点”的充分不必要条件，
故选：A
7. “十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出
了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单
音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于 .若第一个单音的频率为 f，则第八个单音的频率为
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】分析：根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列，利用等比数列的相关性质可解.
详解：因为每一个单音与前一个单音频率比为 ，
所以 ，
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又 ，则
故选 D.
点睛：此题考查等比数列的实际应用，解决本题的关键是能够判断单音成等比数列. 等比数列的判断方法主
要有如下两种：
（1）定义法，若 （ ）或 （ ）， 数列 是等比数列；
（2）等比中项公式法，若数列 中， 且 （ ），则数列 是等比数列
.
8. 已知函数 ，若 成立，则实数 a 的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设 ，则可得 为偶函数，且在 单调递增，所以
的图象关于直线 对称，在 单调递增，则将 转化为
，从而可求出实数 a 的取值范围.
【详解】设 ，
因为 ，
所以 为偶函数，
所以 的图象关于直线 对称，
所以 的图象关于直线 对称，
设 ，则 ，
令 ，则 ，得 ，
所以 在 上递增，
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因为函数 在定义域上单调递增，
所以 在 单调递增，
所以 在 单调递增，
因为 ，
所以 ，
所以 ，化简得 ，解得 ．
所以实数 a 的取值范围为 ，
故选：B
【点睛】关键点点睛：解题的关键是根据已知条件判断出 的图象关于直线 对称，在 单调
递增，从而可求解不等式.
二､多选题：本题共 3 小题，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 已知函数 在 上是单调函数，则实数 的值可以是（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】ABC
【解析】
【分析】由题意得 在 上恒成立，由判别式小于等于 0 求出参数即可.
【详解】因为 为二次函数，开口向下，必存在负值，
由题意得 在 上恒成立，
则 ，解得 .
故选：ABC.
10. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，P 为双曲线上一点，且
，若 ，则对双曲线中 a，b，c，e 的有关结论正确的是（ ）
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A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】
根据 ，结合双曲线定义得到 ，然后在 中，结合 利用余
弦定理求解.
【详解】 ，
由双曲线定义可知： ，
，
由 ，得 ，
在 中，由余弦定理可得： ，
解得， 或 ，
或 ，
或 ，
或 ，
故选：ACD．
【点睛】本题主要考查双曲线的定义，离心率的求法以及余弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属
于中档题.
11. 在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知 ，则下
列结论正确的是（ ）
A.
B.
C. 若 ，则 面积是
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D. 若 ，则 外接圆半径是
【答案】AD
【解析】
【分析】由已知比例关系易得 ，应用正弦边角关系判断 A；由向量数量积的定义及三角形
内角性质判断 B；余弦定理求得 ，再由面积公式求面积判断 C；利用正弦定理求外接圆半径判断 D.
【详解】令 ，则 ， ，可得 ，
所以 ，由正弦边角关系易知： ，A 对；
若 ，则 ，故 ， ，则 ，
所以 ，C 错；
由 ，结合 C 可得 ，B 错；
由 ，则 ，而 ，故 外接圆半径是 ，D 对.
故选：AD.
三､填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 在 中，若 ，则 __________.
【答案】
【解析】
【分析】利用余弦定理可求角的大小.
【详解】由余弦定理可得 ，而 ，故 ，
故答案为： .
13. 已知双曲线 的一条渐近线为 ，则 C 的焦距为_________．
【答案】4
【解析】
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【分析】将渐近线方程化成斜截式，得出 的关系，再结合双曲线中 对应关系，联立求解 ，再由
关系式求得 ，即可求解.
【详解】由渐近线方程 化简得 ，即 ，同时平方得 ，又双曲线中
，故 ，解得 （舍去）， ，故焦距 .
故答案为：4.
【点睛】本题为基础题，考查由渐近线求解双曲线中参数，焦距，正确计算并联立关系式求解是关键.
14. 甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前
期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为 0.6，客场取胜的概率
为 0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以 4∶1 获胜的概率是____________．
【答案】0.18
【解析】
【分析】本题应注意分情况讨论，即前五场甲队获胜的两种情况，应用独立事件的概率的计算公式求解．题
目有一定的难度，注重了基础知识、基本计算能力及分类讨论思想的考查．
【详解】前四场中有一场客场输，第五场赢时，甲队以 获胜的概率是
前四场中有一场主场输，第五场赢时，甲队以 获胜的概率是
综上所述，甲队以 获胜的概率是
【点睛】由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错点之二是思维的
全面性是否具备，要考虑甲队以 获胜的两种情况；易错点之三是是否能够准确计算．
四､解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知数列 的首项 ，且满足 ．
（1）求证：数列 为等比数列．
（2）若 ，求满足条件的最大整数 n．
【答案】（1）证明见解析； （2） .
【解析】
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【分析】（1）由 ，化简得到 ，结合等比数列的定义，即可求解；
（2）由（1）求得 ，根据等比数列的求和公式和常数列的求和公式，求得
，根据 ，即可求解.
【详解】（1）由题意，数列 满足 ，可得 ，
可得 ，即 ，
又由 ，所以 ，
所以数列 表示首项为 ，公比为 的等比数列.
（2）由（1）可得 ，所以
设数列 的前 项和为 ，
则
，
若 ，即 ，
因为函数 为单调递增函数，
所以满足 的最大整数 的值为 .
16. 已知函数 .
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（1）讨论 的单调性；
（2）当 时，证明 .
【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【解析】
【分析】（1）先求函数导数 ，再根据导函数符号的变化情况讨论单调性：
当 时， ，则 在 单调递增；当 时， 在 单调递增，在
单调递减.
（2）证明 ，即证 ，而 ，所以需证
，设 g（x）=lnx-x+1 ，利用导数易得 ，即得证.
【详解】（1） 的定义域为（0，+ ）， .
若 a≥0，则当 x∈（0，+ ）时， ，故 f（x）在（0，+ ）单调递增.
若 a＜0，则当 时， 时；当 x∈ 时， .
故 f（x）在 单调递增，在 单调递减.
（2）由（1）知，当 a＜0 时，f（x）在 取得最大值，最大值为 .
所以 等价于 ，即 .
设 g（x）=lnx-x+1，则 .
当 x∈（0,1）时， ；当 x∈（1，+ ）时， .所以 g（x）在（0,1）单调递增，在（1，+
）单调递减.故当 x=1 时，g（x）取得最大值，最大值为 g（1）=0.所以当 x＞0 时，g（x）≤0.从而当 a＜0
时， ，即 .
【点睛】利用导数证明不等式的常见类型及解题策略：（1）构造差函数 .根据差函数导
函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.
（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、
等量代换将多元函数转化为一元函数.
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17. 如图， 平面 ， ， .
（1）求证： ∥平面 ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值；
（3）若二面角 的余弦值为 ，求线段 的长.
【答案】（Ⅰ）见证明；（Ⅱ） （Ⅲ）
【解析】
【分析】首先利用几何体的特征建立空间直角坐标系
(Ⅰ)利用直线 BF 的方向向量和平面 ADE 的法向量的关系即可证明线面平行；
(Ⅱ)分别求得直线 CE 的方向向量和平面 BDE 的法向量，然后求解线面角的正弦值即可；
(Ⅲ)首先确定两个半平面的法向量，然后利用二面角的余弦值计算公式得到关于 CF 长度的方程，解方程可
得 CF 的长度.
【详解】依题意，可以建立以 A 为原点，分别以 的方向为 x 轴，y 轴，z 轴正方向的空间直角
坐标系(如图)，
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可得 .
设 ，则 .
(Ⅰ)依题意， 是平面 ADE 的法向量，
又 ，可得 ，
又因为直线 平面 ，所以 平面 .
(Ⅱ)依题意， ，
设 为平面 BDE 的法向量，
则 ，即 ，
不妨令 z=1，可得 ，
因此有 .
所以，直线 与平面 所成角的正弦值为 .
(Ⅲ)设 为平面 BDF 的法向量，则 ，即 .
不妨令 y=1，可得 .
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由题意，有 ，解得 .
经检验，符合题意｡
所以，线段 的长为 .
【点睛】本题主要考查直线与平面平行、二面角、直线与平面所成的角等基础知识.考查用空间向量解决立
体几何问题的方法.考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.
18. 已知椭圆 的短轴长为 2，离心率为 ，左、右焦点分别为 ， 点 P 为
直线 上且不在 x 轴上的任意一点，直线 ， 与椭圆的交点分别为 A，B 和 C，D，O
为坐标原点.
（1）求椭圆 E 的标准方程;
（2）设直线 ， 的斜率分别为 ，
①求 的值;
②若直线 OA，OB，OC，OD 的斜率之和为 0，求点 P 的坐标.
【答案】（1）
（2）① ；② ， ，
【解析】
【分析】（1）根据椭圆的短轴长为 2，离心率为 列方程组，求出 的值，即可求椭圆 E 的标准方程;
（2）①设 ，则 ，利用斜率公式可求 的值;
②联立直线 与椭圆 E 的方程，利用斜率公式、结合韦达定理分别求出直线 OA，OB 的斜率之和，以及
若直线 OC，OD 的斜率之和，根据斜率之和为零求出斜率，再根据直线交点坐标可求点 P 的坐标.
【小问 1 详解】
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由 ，解得 ，
所以椭圆 E 的标准方程为
【小问 2 详解】
①设 ，则 ，
因为 ， ，
所以 ， ，
则
；
②联立直线 与椭圆 E 的方程，得 ，
消去 x，得 ，
设 ， ， ， ，
则 ，
因为直线 OA，OB 的斜率存在，所以 ， ，
又因为点 P 不在 x 轴上，所以 ， ，
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所以直线 OA，OB 的斜率之和
，
同理，直线 OC，OD 的斜率之和 ，
所以 ，
因为直线 OA，OB，OC，OD 斜率之和为 0，
所以 或
当 时，结合 ，解得
联立 ，解得 ，
所以点 P 的坐标为
当 时，结合 ，解得 或 ，
联立 ，
解得 ，所以点 P 的坐标为
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联立 ，解得
所以点 P 的坐标为
综上，点 P 的坐标为 ， ，
【点睛】本题②的解题关键是先将 用变量表示，然后证明其为
定值，探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：① 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证
明这个值与变量无关；② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.
19. 品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试，通常采用的测试方法如下：拿出 （ 且 ）瓶外观相
同但品质不同的酒让品酒师品尝，要求其按品质优劣为它们排序；经过一段时间，等其记忆淡忘之后，再
让其品尝这 瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序.这称为一轮测试，根据一轮测试中的两次排序的偏离程
度的高低为其评分.现分别以 、 、 、 、 表示第一次排序时被排在 、 、 、 、 的 种酒
在第二次排序时的序号，并令 ，则 是对两次排序的偏离程度
的一种描述.
（1）证明：无论 取何值， 的可能取值都为非负偶数；
（2）取 ，假设在品酒师仅凭随机猜测来排序的条件下， 、 、 、 等可能地为 、 、 、 的
各种排列，且各轮测试相互独立.
①求 的分布列和数学期望；
②若某品酒师在相继进行的三轮测试中，都有 ，则认为该品酒师有较好的酒味鉴别功能.求出现这种
现象的概率，并据此解释该测试方法的合理性.
【答案】（1）证明见解析；（2）①分布列答案见解析，数学期望为 ；②概率为 ，解释答案见解析
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.
【解析】
【分析】（1）分析出 且 与 的奇偶性一致，右由此可得出结论；
（2）①由题意可知，随机变量 的可能取值有 、 、 、 、 ，分别计算出随机变量 在不同取值下
的概率，可得出随机变量 的分布列，并由此计算出 的值；
②记“在相继进行的三轮测试中都有 ”为事件 ，计算出 的值，由此可得出结论.
【详解】（1）首先有 ，
去绝对值不影响数的奇偶性，故
与 的奇偶性一致，而
为偶数，故 的可能
取值都为非负偶数；
（2）①由（1）知当 时， 的可能取值为 、 、 、 、 ，
， ， ，
， ，
所以 的分布列为
从而 的数学期望 ；
②记“在相继进行的三轮测试中都有 ”为事件 ，“在某轮测试中有 ”
为事件 ，则 ，
又各轮测试相互独立， ，
因为 表示仅凭随机猜测得到较低偏离程度的结果的概率，
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而 ，该可能性非常小，所以我们可以认为该品酒师确实有较好的酒味鉴别能力，而
不是靠随机猜测，故这种测试方法合理.
【点睛】思路点睛：求解随机变量分布列的基本步骤如下：
（1）明确随机变量的可能取值，并确定随机变量服从何种概率分布；
（2）求出每一个随机变量取值 概率；
（3）列成表格，对于抽样问题，要特别注意放回与不放回的区别，一般地，不放回抽样由排列、组合数公
式求随机变量在不同取值下的概率，放回抽样由分步乘法计数原理求随机变量在不同取值下的概率.
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