高中数学人教A版 (2019)必修 第一册指数同步测试题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册指数同步测试题，文件包含人教A版必修第一册高一数学上学期同步考点分类训练专题41指数4类必考点原卷版docx、人教A版必修第一册高一数学上学期同步考点分类训练专题41指数4类必考点解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共17页， 欢迎下载使用。
TOC \ "1-3" \h \z \t "正文,1"
\l "_Tc117709645" 【考点1：根式的化简求值】 PAGEREF _Tc117709645 \h 1
\l "_Tc117709646" 【考点2：指数幂的计算】 PAGEREF _Tc117709646 \h 4
\l "_Tc117709647" 【考点3：分数指数幂与根式的互化】 PAGEREF _Tc117709647 \h 7
\l "_Tc117709648" 【考点4：指数幂的化简求值与证明】 PAGEREF _Tc117709648 \h 11
【考点1：根式的化简求值】
【知识点：根式的概念】
若xn＝a，则x叫做a的n次方根，其中n＞1且n∈N*.式子eq \r(n,a)叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
1．化简a−b2+5b−a5的结果是（ ）
A．0B．2b−aC．0或2b−aD．2a−b
【答案】C
【分析】根据指数幂的运算化简，然后根据a,b的大小关系讨论即可.
【详解】a−b2+5b−a5=a−b+b−a．当a≥b时，原式=a−b+b−a=0；
当a0 B．x≠0 C．x≤0D．x是任意实数
【答案】C
【分析】根据根式的性质和绝对值的意义可得结果.
【详解】因为x2=|x|=−x，所以x≤0.故选：C.
3．若x≠0，则x-x2+x2|x|的值为（ ）
A．－1B．0C．1D．2
【答案】C
【分析】利用x2=x进行求解.
【详解】因为x≠0，所以x-x2+x2|x|=x-x+xx=1.故选：C
4．2022(−9)2022=__________．
【答案】9
【分析】根据公式nan=a直接可得.
【详解】2022(−9)2022=−9=9.故答案为：9
5．(1−x)2+(2−x)2(x≥1)=__________.
【答案】1，1≤x≤22x−3，x>2
【分析】根据1≤x≤2与x>2分类讨论化简即可求解.
【详解】当1≤x≤2时，(1−x)2+(2−x)2=x−1+2−x=1；
当x>2时，(1−x)2+(2−x)2=x−1+x−2=2x−3.
所以(1−x)2+(2−x)2=1(1≤x≤2)2x−3(x>2).故答案为：1，1≤x≤22x−3，x>2
6．若b=a2−1+1−a2a+1，则a+b=_________．
【答案】1
【分析】根据二次根式的性质进行求解即可.
【详解】因为a2−1≥01−a2≥0a+1≠0 所以 a=1 ，此时 b=0+02=0，所以a+b=1+0=1，故答案为：1
7．二次根式a2=−a成立的条件是_________
【答案】a≤0
【分析】利用a2=a得到a=−a，从而得到a≤0.
【详解】二次根式a2=a=−a，所以a≤0.故答案为：a≤0
8．如果x+y=23，x−y=6，那么x−y的值是______.
【答案】3
【分析】根据平方差公式即可求解.
【详解】由x+y=23知：x,y为非负数，∵x−y=x+yx−y，x+y=23
∴x−y=623=3故答案为：3
9．已知x=1a−a，则4x+x2=________
【答案】1a−a
【分析】由题意可得1a−a≥0，求出x，再将4x+x2用a表示，从而可得出答案.
【详解】解：∵x=1a−a≥0，∴x=1a−a2=1a−2+a，
又∵4x+x2=x4+x=1a−a21a+2+a=1a−a2⋅1a+a2，
∴4x+x2=1a−a1a+a=1a−a.故答案为：1a−a.
10．计算：
(1)12−18+313+8； (2)(6−215)×3−612+320．
【答案】(1)33−2；(2)0
【分析】根据根式的运算即可求解（1）（2）.
（1）12−18+313+8=23−32+3×33+22 =23−32+3+22 =33−2；
（2）(6−215)×3−612+320 =6×3−215×3−32+65=32−65−32+65=0
【考点2：指数幂的计算】
【知识点：指数幂的计算】
1．设a>0，则下列等式恒成立的是（ ）
A．am+an=am+nB．am·an=am−n
C．(am)n=am+nD．am·an=am+n
【答案】D
【分析】根据指数幂的运算性质即可求解.
【详解】amn=amn , am·an=am+n,故B，C错误，D正确，
由于21+22=6,21+2=8 ，所以am+an≠am+n ，故A 错误，故选：D
2．下列计算正确的是（ ）
A．2a−12=4a2−1B．a+2a2=3a3
C．4=±2D．−a23=−a6
【答案】D
【分析】根据指数幂的运算逐一判断即可得到结果.
【详解】∵2a−12=4a2−4a+1，∴A错误；∵a，2a2不是同类项，∴a+2a2≠3a3，∴B错误；
∵4=2，∴C错误；∵−a23=−a6，∴D正确，故选:D．
3．下列选项中，计算结果等于4a3的是（ ）
A．2a3⋅2a3 B．5a4−a C．8a3÷2a3 D．a3+3a3
【答案】D
【分析】根据指数幂的运算法则，即可判断出答案.
【详解】由题意可得2a3⋅2a3=4a6，A错误；a≠0时，5a4−a=5a(a3−1)≠4a3，B错误；
8a3÷2a3=4(a≠0)，C错误；a3+3a3=4a3，D正确，故选：D
4．设a>0,b>0，下列等式恒成立的是（ ）
A．a43⋅a34=aB．a53⋅a−53=0
C．a355=a3D．a12b136=a3b2
【答案】CD
【分析】根分式指数幂的运算法则，正确运算，即可求解.
【详解】对于A中，根分式指数幂的运算法则，可得a43⋅a34=a43+34=a2512≠a；
对于B中，根分式指数幂的运算法则，可得a53⋅a−53=a53−53=a0=1≠0；
对于C中，根分式指数幂的运算法则，可得a355=a35×5=a3恒成立；
对于D中，根分式指数幂的运算法则，可得a12b136=a126⋅b136=a3b2.故选：CD.
5．（1）a⋅a6=______（2）(-2xy)3=______
【答案】 a7 -8x3y3
【分析】根据指数的运算法则运算求解.
【详解】空1：a⋅a6=a7空2：(-2xy)3=(-2)3x3y3=-8x3y3故答案为：a7；-8x3y3.
6．2723+1612−12−2−827−23=________．
【答案】274
【分析】直接利用指数的运算法则求解即可．
【详解】因为2723+1612−12−2−827−23=32+4−4−23−2=9−94=274故答案为:274．
7．化简求值：(42×3)4+(−π)0−2×(449)−12
【答案】12
【分析】由指数的运算法则即可求解.
【详解】原式=2×9+1−2×72=18+1−7=12故答案为：12
8．（1）化简：3x−34y12−14x14y−1365x−1y−16x,y>0；
（2）计算：1100−12−1−22−8×5−30+816．
【答案】（1）−10y；（2）3
【分析】（1）分数指数幂的运算法则进行计算；（2）分数指数幂与根式运算法则进行计算.
【详解】（1）原式=3x−34y12−310x−34y−12=−10y．
（2）原式=100−1−12−2−1−8+2316=10012−2+1−8+212=10+1−8=3．
9．计算：
(1)21412−9.60−338−23+1.5−2； (2)4π−1344+1649−12+(−8)23+80.25×42．
【答案】(1)12；(2)11−π
【分析】（1）将带分数化为假分数，将负指数幂化为正指数幂，再根据幂的运算法则计算可得；
（2）将根式化为分数指数幂，再根据幂的运算法则计算可得.
（1）解：21412−9.60−338−23+1.5−2=9412−1−278−23+32−2
=9412−1−82723+232=32−1−49+49=12．
（2）解：4π−1344+1649−12+(−8)23+80.25×42=π−134+491612+−22+234×214=134−π+74+4+2=11−π．
【考点3：分数指数幂与根式的互化】
【知识点：分数指数幂与根式的互化】
xn＝a⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\r(n,a)当n为奇数且n>1时，,x＝±\r(n,a)当n为偶数且n>1时.))
1．下列等式中的字母都是正数，则错误的选项是（ ）
A．x4·x3=x7B．(3x)2·(−2x)3=−72x5
C．1a=a−12D．a3b2=a12·b23
【答案】D
【分析】根据指数幂的运算性质，可得答案.
【详解】对于A，x4⋅x3=x4+3=x7，故A正确；对于B，3x2⋅-2x3=32×-23⋅x2+3=-72x5，故B正确；
对于C，1a=1a12=a-12，故C正确；对于D，a3b2=a12b23=a12⋅b-23，故D错误.故选：D.
2．式子33×33×63=（ ）
A．12B．9C．6D．3
【答案】B
【分析】化根式为分数指数幂，然后利用有理数指数幂的运算性质求解.
【详解】33×33×63=3×312×313×316=31+12+13+16=32=9故选：B
3．下列各式中成立的一项是（ ）
A．ab3=a3b13B．12−24=3−2C．34=32D．4a3−b3=a−b34
【答案】C
【分析】利用根式运算法则及根式与分数指数幂互化，选出正确答案.
【详解】ab3=a3b−3，A错误；12−24=1224=32，B错误；34=41312=41213=32，C正确；
a−b34=4a−b3≠4a3−b3，D错误.故选：C
4．化简3a2a−1÷3a−83a15÷3a−3a−1的结果为（ ）
A．a−1B．a−2C．1D．a
【答案】C
【分析】先将根式化为分数指数幂的形式，再利用分数指数幂的运算性质计算即可.
【详解】3a2a−1÷3a−83a15÷3a−3a−1=3a2a−12÷a−83a5÷3a−32a−12=3a32÷a73÷3a−2=a12÷a76÷a−23=a12−76÷a−23=a−23÷a−23=1
故选：C
5．式子m⋅3m46m5m>0的计算结果为（ ）
A．1B．m120C．m512D．m
【答案】D
【分析】由指数运算法则直接计算可得结果.
【详解】m⋅3m46m5=m12⋅m43m56=m12+43−56=m.故选：D.
6．下列各式中成立的是（ ）
A．nm7=n7m17n>0,m>0B．−1234=3−3
C．39=33D．a32b23−13=a−2b−2a>0,b>0
【答案】BCD
【分析】根据根式、幂的运算法则计算后判断．
【详解】nm7=n7m7=n7m−7，故A错误；−1234=−3412=−313=3−3，故B正确；39=332=323=33，故C正确；a32b23−13=(a6b6)−13=a−2b−2a>0,b>0故D正确．故选：BCD．
7．下列根式与分数指数幂的互化正确的是（ ）
A．−x=−x12B．6y2=y13y0D．3−x234=x12x>0
【答案】CD
【分析】根据分式与指数幂的互化逐项判断可得答案.
【详解】−x=−x12x≥0，而−x12=−xx≤0，故A错误；6y2=−y13y0，故C 正确；3−x234=x2×13×34=x12x>0，故D正确.故选：CD.
8．已知a>0,b>0，化简：(3a)3⋅ab3=____．（用分数指数幂表示）
【答案】a32b32
【分析】将根式化为分数指数幂，再进行相关计算.
【详解】(3a)3⋅ab3=a133⋅ab312=a⋅a12b32=a32b32.故答案为：a32b32
9．化简3aa÷a76(a>0)=___________
【答案】a−23
【分析】将根式化成指数幂，再根据幂的运算法则计算可得；
【详解】解：3aa÷a76=a⋅a1213÷a76=a12÷a76=a12−76=a−23.故答案为：a−23
10．化简：
（1）56a12b−13×−3a−16b−1÷4a23b−312=______；
（2）3a92a−3÷3a−7⋅3a13=______．
【答案】 −54b16 1
【分析】（1）根据分数指数幂的运算性质即可求解；
（2）先将根式转化为分数指数幂，然后根据分数指数幂的运算性质即可求解；
【详解】解：（1）原式=56a12b−13×−3a−16b−1÷2a13b−32=−54a12−16−13b−13−1+32=−54b16．
（2）因为a−3有意义，所以a>0，所以原式=3a92⋅a−32÷a−73⋅a133=3a3÷a2=a÷a=1．
故答案为：（1）−54b16；（2）1.
11．（1）化简：aaaa≥0(用分数指数幂表示)；
（2）计算：813×100−12×(14)−2×(1681)0．
【答案】（1）a78，（2）165
【分析】根据指数幂的运算性质进行计算即可．
【详解】（1）aaa=aa1+12=a1+34=a78；
（2）813×100−12×(14)−2×(1681)0=2×110×16×1=165.
12．化简：
(1)2a13b12×−6a12b12÷−3a16b56×4a13b−16；
(2)3xy26x5⋅4y3x>0,y>0；
(3)y2xx3y3y6x3x>0,y>0．
【答案】(1)16a；(2)x−12y−112；(3)y54
【分析】利用指数幂的运算性质进行计算可得.
（1）2a13b12×−6a12b12÷−3a16b56×4a13b−16=2×−6÷−3×4a13+12−16+13b12+12−56−16=16a,
（2）3xy26x5⋅4y3=x13y23x56y34=x13−56y23−34=x−12y−112,
（3）方法一（从外向里化简） y2xx3y3y6x3= y2xx3y3y6x312=y2xx3y3y6x31212= y2xx3yy6x3131212=y2x12⋅x3y14⋅y6x3112= yx12⋅x34y14⋅y12x14=x34⋅y32x34⋅y14=y54．
方法二（从里向外化简）y2xx3y3y6x3=y2xx3yy6x313=y2xx3y⋅y2x =y2xx2y12 =y2x⋅xy1212=y54．
【考点4：指数幂的化简求值与证明】
【知识点：指数幂的化简求值与证明】
1．已知a+a-1=3，则下列选项中正确的有（ ）
A．a2+a-2=7B．a12-a-12=±1
C．a12+a-12=±5D．a32+a-32=25
【答案】ABD
【分析】A选项，对a+a-1=3两边平方可得结果；B选项，先计算a12-a-122=1，开方即可；
C选项，先计算a12+a-122=5，再结合a12>0,a-12>0，开方求出答案；D选项，使用立方和即可求解.
【详解】a+a-1=3两边平方得：a+a-12=a2+2+a-2=9，所以a2+a-2=7，A正确；
a12-a-122=a-2+a-1=3-2=1，因为a12,a-12的大小不确定，所以a12-a-12=±1，B正确；
a12+a-122=a+2+a-1=3+2=5，因为a12>0,a-12>0，所以a12+a-12=5，C错误；
由立方和公式可得：a32+a-32=a123+a-123=a-12+a12a-1+a-1=5×3-1=25，D正确.故选：ABD
2．已知x+1x=3，则x3+1x3+3=__________.
【答案】21
【分析】由题知x2+1x2=7，再根据立方和公式分解因式求解即可.
【详解】解：因为x+1x=3，所以x+1x2=x2+1x2+2=9，即x2+1x2=7
所以，x3+1x3+3=x3+1x3+3=x+1xx2-1+1x2+3=3×6+3=21故答案为：21
3．若10x=3，10y=2，则103x−y2=________．
【答案】362
【分析】根据分数指数幂的运算化简求值即可.
【详解】103x−y2=103x−y12=10x310y12=33212=362．故答案为:362.
4．（1）计算：−0.120+32−2×33823−3343+1−22=________；
（2）化简：a23⋅b−1−12⋅a−12⋅b136a⋅b5=________．
【答案】 2−2； 1a
【分析】根据指数幂的运算，化简求值即可.
【详解】（1）−0.120+32−2×33823−3343+1−22=1+49×32323−3×3121243+2−1
=1+49×94−3+2−1=2−2．
（2）原式=a−13⋅b12⋅a−12⋅b13a16⋅b56=a−13−12−16⋅b12+13−56=a−1⋅b0=1a．故答案为:2−2，1a
5．若x+x-1=4，求下列各式的值
(1)x12+x-12
(2)x32+x-32
【答案】(1)6；(2)36
【分析】（1）利用x12+x-12=x12+x-122=x+x-1+2即可求出答案；
（2）利用x32+x-32=x12+x-12x-1+x-1即可求出答案.
（1）∵x+x-1=4∴x>0，∴x12+x-12=x12+x-122=x+x-1+2∴x12+x-12=6
（2）x32+x-32=x12+x-12x-1+x-1=36
6．（1）化简：（1）27−13−17−1+25912−(2)0；
（2）先化简，再求值．已知a=27，b=52，求a6−9b4a6+6a3b2+9b4⋅b2a2a3−3b2的值．
【答案】（1）−6；（2）2514．
【分析】（1）利用分数指数幂的运算法则进行计算；
（2）先利用平方差公式和完全平方公式进行化简，再代入求值.
【详解】（1）27−13−17−1+25912−(2)0=33−13−7+53212−1=13−7+53−1=−6；
（2）a6−9b4a6+6a3b2+9b4⋅b2a2a3−3b2=a3−3b2a3+3b2a3+3b22⋅b2a2a3−3b2=a3−3b2a3+3b2a3+3b2⋅b2a2a3−3b2=b2a2，
因为a=27，b=52，所以a6−9b4a6+6a3b2+9b4⋅b2a2a3−3b2=b2a2=522272=5028=2514.
7．（1）计算：2350+2−2×214−12−0.010.5
（2）化简：3a72a−3÷3a−8⋅3a12a>0
【答案】（1）1615；（2）1．
【分析】根据分数指数幂的运算性质进行运算即可．
【详解】（1）2350+2−2×214−12−+14×23−110=76−110=1615．
（2）3a72a−3÷3a−8⋅3a12a>0=3a72⋅a−32÷a−83⋅a4=3a2÷a43=a23÷a23=1
8．（1）求值：1100−12−1−22−8×2−30−2713
（2）已知非零实数a满足a−a−1=2，求(a+a−1)(a2+a−2+6)(a2−a−2)的值.
【答案】（1）−2；（2）6
【分析】（1）利用指数和指数幂的运算性质直接化简即可；
（2）根据a−a−1=2化得 a2+a−2=6，对式子(a+a−1)(a2+a−2+6)(a2−a−2)进行等价变形为(a2+a−2+6)(a−a−1)，然后代入求值即可.
【详解】（1）解:原式 =10−(2−1)−8−3=−2.
（2）∵a−a−1=2，∴a−a−12=4，∴a2+a−2−2=4，即a2+a−2=6.
∴原式=(a+a−1)(a2+a−2+6)(a+a−1)(a−a−1)=(a2+a−2+6)(a−a−1)=122=6.
9．（1）已知x=a−3+b−2，化简4x2−2a−3x+a−6.
（2）设a23+b23=4，x=a+3a13b23，y=b+3a23b13，求(x+y)23+(x−y)23的值.
【答案】（1）1|b|；（2）8
【分析】（1）由已知得x−a−3=b−2，结合指数运算法则化简；
（2）令a13=A，b13=B，结合因式分解可得x+y=(A+B)3，x−y=(A−B)3，则(x+y)23+(x−y)23=2(A2+B2)，结合已知即可求值.
【详解】（1）由x=a−3+b−2，得x−a−3=b−2，
∴4x2−2a−3x+a−6=4(x−a−3)2=4(b−2)2=1|b|.
（2）令a13=A，b13=B，则x=A3+3AB2，y=B3+3A2B，
x+y=A3+3AB2+3A2B+B3=(A+B)3，
x−y=A3+3AB2−3A2B−B3=(A−B)3.
∴(x+y)23+(x−y)23=(A+B)2+(A−B)2=2(A2+B2)=2(a23+b23)=8.
10．（1）化简：3x−34y12−14x14y−1365x−1y−16x,y>0；
（2）计算：1100−12−1−22−8×5−30+816．
【答案】（1）−10y；（2）3
【分析】（1）分数指数幂的运算法则进行计算；（2）分数指数幂与根式运算法则进行计算.
【详解】（1）原式=3x−34y12−310x−34y−12=−10y．
（2）原式=100−1−12−2−1−8+2316=10012−2+1−8+212=10+1−8=3．幂的有
关概念
正分数指数幂：a＝eq \r(n,am) (a＞0，m，n∈N*，且n＞1)
负分数指数幂：a＝eq \f(1,a)＝eq \f(1,\r(n,am))(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)
0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义
有理数
指数幂
的性质
aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)
(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)
(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)