安徽省宿州市2025-2026学年高二上学期10月月考数学试题（Word版附解析）

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命题人：刘伟 审题人：周双喜
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先把方程化为斜截式，得到直线的斜率，即可求解.
【详解】由得：，设其倾斜角为，，
所以斜率， 故倾斜角为，
故选：C
2. 直线：与直线：的距离是（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】将直线的方程化为，进而根据平行线间的距离公式计算求解即可.
【详解】直线：化为，
又直线：，所以，
所以直线与直线的距离是.
故选：A.
3. 已知，若，则实数的值为（ ）
A. B.
C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】利用两个向量垂直的性质，数量积公式即求得的值.
【详解】向量，
若，
则，
.
故选：C.
4. 已知直线，若，则（ ）
A. 或B. C. 或D.
【答案】B
【解析】
【分析】由条件结合直线平行结论列方程求，并对所得结果进行检验.
【详解】因为，，
所以，所以，解得或，
当时，，，直线重合，不满足要求，
当时，，，直线平行，满足要求，
故选：B.
5. 如图，空间四边形中，，，，点在线段上，且，点为的中点，则（ ）

A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据向量的线性运算即可求解.
【详解】由题可知，
故选：A
6. 在直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】依据题目中的垂直关系，可建立空间直角坐标系，求出向量与的坐标，即可求得异面直线与所成角的余弦值．
【详解】由题意可知， 三线两两垂直，所以可建立空间直角坐标系，如图所示：
则，．
∴．
∴．
异面直线与所成角余弦值为．
故选：C．
7. 从直线x－y＋3＝0上的点向圆x2＋y2－4x－4y＋7＝0引切线，则切线长的最小值为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】设直线上的点为，已知圆的圆心和半径分别为，则切线长为，故当时，，应选答案B．
点睛：本题求解时先设直线上动点，运用勾股定理建立圆的切线长的函数关系，再运用二次函数的图像与性质求出其最小值，从而使得问题获解．本题的求解过程综合运用了函数思想与等价转化与化归的数学思想．
8. 设点是圆与圆的一个交点，过点作直线交圆于另一点，交圆于另一点，若，则直线的斜率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】证明，证明是以为直径的圆与圆的公共弦，求出点坐标，求出以为直径的圆的方程，求出直线的方程即可求解.
【详解】由知为中点，
所以，以为直径的圆过点，
故是以为直径的圆与圆的公共弦，
联立圆圆的方程，可解得，
当时，以为直径的圆的方程，与圆的方程相减，可得直线的方程为，
直线的斜率为，考虑对称性，直线斜率的另外一解为.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题关键在于证明是以为直径的圆与圆的公共弦.
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 若直线的一个方向向量为，则该直线的斜率为
B. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件
C. 当点到直线的距离最大时，的值为
D. 已知直线过定点且与以为端点的线段有交点，则直线的斜率的取值范围是
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据条件，结合也是直线的方向向量计算的值即可判断A；根据两直线互相垂直计算参数的值即可判断B，再判断正误；根据直线恒过定点可知当直线与垂直时，点到直线的距离最大即可判断C；计算直线的斜率，结合图象确定直线斜率的取值范围即可判断D.
【详解】A.由是直线的一个方向向量得也是直线的方向向量，因为是直线的方向向量，所以，选项A正确；
B.由两直线互相垂直得，，解得或，可知“”两直线垂直的充分不必要条件，选项B错误；
C.将直线方程变形为，由得，
直线过定点，斜率为.
当直线与垂直时，点到直线的距离最大.
因为，所以，选项C正确；
D.
如图，，
由图可知，当或时，直线与线段有交点.
故选项D正确.
故选：ACD.
10. 以下四个命题表述正确的是（ ）
A. 若方程表示圆，则的取值范围是
B. 直线恒过定点
C. 圆与圆恰有条公切线
D. 已知圆和圆，圆和圆的公共弦长为
【答案】BD
【解析】
【分析】对于A根据圆的一般方程即可求解；对于B将直线方程进行重新整理，利用参数分离法进行求解即可；对于C通过两圆的位置关系判断公切线条数；对于D将两圆作差求出公共弦的方程，圆心到直线的距离公式求出,利用公式即可求解．
【详解】对于A：若方程表示圆，
则或，故A错误；
对于B：直线，得，
由，得，即直线恒过定点，故B正确；
对于C： 曲线，即，圆心为，半径为，
曲线，即，圆心为，半径为，
两圆心的距离为，则两圆外切，有条公切线，故C错误；
对于D：圆和圆，
两方程作差可得公共弦所在的直线方程为，
圆即，
圆心，半径，圆心到直线的距离为
，所以公共弦长为，故D正确．
故选：BD．
11. 如图，在直四棱柱中，，底面为菱形，且点为棱柱内部（含表面）的点，满足为棱的中点．则下列说法正确的有（ ）

A. 不存在点的位置，使得
B. 直线与所成角的范围是
C. 若，则点的轨迹长度为
D. 若点在上，且时，点到平面的距离为
【答案】BD
【解析】
【分析】连接，判断点为平行四边形内部（含边上）的点．A：考虑当P点在上时；B：与夹角即为与夹角，求出最大值和最小值即可得范围；C：以B为球心，2为半径的球的表面与平行四边形的交线即为点的轨迹，为半圆弧，求其长度即可；D：P为AC与BD的交点，再根据求解即可．
【详解】连接，

，，
∴四边形是平行四边形，
∵点为棱柱内部（含表面）的点，且满足，
∴点为平行四边形内部（含边上）的点．
A：当P点在上时，由平面，平面，
可知，故选项A错误；
B：∵，∴与夹角即为与夹角，
当P在上时，与夹角最小，即为；
当P点在上时，平面，平面，则，夹角最大，为；
故直线与所成角的范围是，故B正确；
C：若，则以B为球心，2为半径的球的表面与平行四边形的交线即为点的轨迹，如图：

连接交于，由易知平面，
故圆弧为以为圆心，为直径的半圆弧，其长度为，故C错误；
D：

设，由，知平面，
又平面，
即若点在上，且时，为与的交点．
平面平面
平面，
，到平面的距离与到平面的距离相等，均为2．
故．
连接，取中点为，连接，
由余弦定理易求，则，
，则，
在△中，由余弦定理得，
∴，
∴，
∴根据可得点D到平面的距离为，故D正确．
故选：BD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知直线，直线．若，则实数的值为______．
【答案】或
【解析】
【分析】由题意利用两条直线垂直的性质，求得的值．
【详解】因为直线，直线，且，
所以，解得或.
故答案为：或.
13. 已知向量，且向量在向量上的投影向量为，则___________．
【答案】##
【解析】
【分析】利用空间向量数量积的坐标表示，结合投影向量公式进行求解即可.
【详解】由题意得，，
∴向量在向量上的投影数量为．
所以
故答案为：.
14. 已知平面上两定点A、B，且，动点P满足，若点P总不在以点B为圆心，为半径的圆内，则负数的最大值为_______．
【答案】##-0.75
【解析】
【分析】利用解析方法，以所在直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，得到动点P点的轨迹方程，分和两种情况讨论，当时，利用两圆的位置关系得到关于的不等式，进而求解得到的取值范围.
【详解】以所在直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则
．
设，且动点P满足，
即，
则，
当时，满足题意；
当时，点P在以原点为圆心，为半径的圆上，同时点P总不在以点B为圆心，为半径的圆内，
即圆与圆相离或外切内切或内含，
所以或，
解得或（舍去），
所以负数的最大值为．
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知点，求下列直线的方程：
（1）求经过点，且在轴上的截距是轴上截距的2倍的直线的方程；
（2）光线自点射到轴的点后被轴反射，求反射光线所在直线的方程．
【答案】（1）或.
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，分直线过原点与不过原点讨论，结合直线的截距式代入计算，即可得到结果；
（2）根据题意，求得点关于轴的对称点的坐标为，再由直线的点斜式代入计算，即可得到结果.
【小问1详解】
当直线过原点时，满足在轴上的截距是轴上截距的2倍，
此时直线方程为，将代入，可得，化简可得；
当直线不过原点时，设直线方程为，且，
即，将代入，可得，解得，
则直线方程为，化简可得；
综上，直线方程为或.
【小问2详解】
点关于轴的对称点的坐标为，
由题意可知，反射光线所在的直线经过点与，
所以反射光线所在的直线斜率为，
则反射光线所在的直线方程为，
化简可得.
16. 已知直线与圆交于两点，点在圆上运动．
（1）当时，求；
（2）已知点，求的中点的轨迹方程．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意可得圆心到直线的距离，结合点到直线的距离公式运算求解；
（2）设，利用相关点法求点的轨迹方程.
【小问1详解】
由题意可知：圆的圆心，半径，
则圆心到直线的距离，
可得，解得.
【小问2详解】
设，
因为点，且为的中点，则，
又因为点在圆上，则，整理得，
所以点的轨迹方程为.
17. 在直三棱柱中，D、E分别是、的中点，，，.
（1）求证：平面；
（2）求点E到平面的距离.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算即可证明线面平行；
（2）根据题意，利用空间向量的距离求法，即可得到结果.
【小问1详解】
因为直三棱柱，
则平面，且，
以的原点，分别为轴，轴，轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
因为，，且，分别是，的中点，
则，
所以,，
设平面的法向量为，
则，则，取，则，
则平面的一个法向量为，
因为平面，且，
则平面.
【小问2详解】
由（1）可知，平面的一个法向量为，且，
则点到平面的距离.
18. 在①圆过点C（－9，2）；②圆心在直线x－y＋1＝0上；③圆与直线2x－y－10＝0相切，且圆半径小于等于10，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并进行求解．
已知圆E过点A（1，12），B（7，10），且________．
（1）求圆E的方程．
（2）已知点C（－2，0），D（2，－20），在圆E上是否存在点P，使得PC2＋PD2＝258？若存在，求出点P的个数；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）（x－1）2＋（y－2）2＝100
（2）存在，2
【解析】
【详解】解：（1）若选①，设圆E的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
由已知可得
解得D＝－2，E＝－4，F＝－95，
所以圆E的方程为x2＋y2－2x－4y－95＝0.
若选②，由已知得AB的中点为（4，11），直线AB的斜率为－，
所以AB的垂直平分线的方程为y－11＝3（x－4），即y＝3x－1.
因为圆心在直线x－y＋1＝0上，所以联立方程
解得所以圆心E的坐标为（1，2），
半径为AE＝10，
所以圆E的方程为（x－1）2＋（y－2）2＝100.
若选③，设圆的方程为（x－a）2＋（y－b）2＝r2，
因为圆E过点A（1，12），B（7，10），
所以
因为圆与直线2x－y－10＝0相切，
所以＝r，解得a＝1，b＝2，r＝10，
所以圆E方程为（x－1）2＋（y－2）2＝100.
（2）设P（x，y），由已知PC2＋PD2＝（x＋2）2＋y2＋（x－2）2＋（y＋20）2＝2x2＋2y2＋40y＋408＝258，
所以x2＋y2＋20y＋75＝0，即x2＋（y＋10）2＝25，
所以点P在圆M：x2＋（y＋10）2＝25上，圆M的圆心M的坐标为（0，－10），半径r1＝5.
因为点P在圆E：（x－1）2＋（y－2）2＝100上，圆E的圆心E的坐标为（1，2），半径r＝10，
又ME＝＝，r－r1＝5，r＋r1＝15，
所以r－r1