华东师大版（2024）八年级上册（2024）1. 平方根教案

这是一份华东师大版（2024）八年级上册（2024）1. 平方根教案，共8页。教案主要包含了教材分析，教学目标，教学重难点，教学过程等内容，欢迎下载使用。
眉山市东坡区复兴镇初级中学 蔡志伦
第1课时 平方根

一、教材分析
本节课《平方根》是华东师大版初中数学八年级上册第一章第一节的内容.平方根和算术平方根是在学生掌握有理数运算基础上展开的，是后续学习立方根、实数的基石，对完善数系认知意义重大.
从求面积为25cm²的正方形边长这一实际问题出发，引发学生对已知平方求原数的思考，让学生感知学习平方根的必要性，体现数学源于生活.借助复习求一个数的平方运算，逆向探究已知平方求原数，通过具体数字实例，逐步引出平方根概念.再以正数a为例，区分算术平方根与平方根，帮助学生理解两者联系与区别.明确平方与开平方互为逆运算关系，通过教材例题、经典例题，让学生掌握求平方根的方法，包括直接根据平方根意义求解，以及利用计算器求算术平方根 ，提升学生运算能力.

二、教学目标
1.了解平方根和算术平方根的概念，会用符号表示正数的平方根和算术平方根，并掌握它们的性质.
2.了解开平方与平方互为逆运算，会求某些非负数的平方根.
3.会用计算器求一个数的算术平方根.
4.通过学习平方根和算术平方根，建立初步的数感和符号感，发展抽象思维.

三、教学重难点
重点：平方根和算术平方根的概念，会用符号表示正数的平方根和算术平方根.
难点：会求某些非负数的平方根，会用计算器求一个数的算术平方根.

四、教学过程
本章引入
问题：同学们，想剪出一张面积为25cm²的正方形纸片，可不知道边长是多少.大家能帮老师想想办法不？
我们知道，正方形面积=边长×边长，25=边长²，那么边长应该等于多少呢？
这就是本章要学的有关数的一种新的运算-开方.通过开方运算，不光能解决这类求正方形边长的问题，还会认识新的数—无理数！接下来，咱们就开启这章的学习之旅.
设计意图：通过求正方形纸片边长的实际问题，引出开方运算，激发学生兴趣，自然导入本章学习内容.
复习回顾
填空：
(1) 22=_______，(-2)2= _______；
(2) 232=_______，−232=_______；
(3) 0.82 =_______，(-0.8)2 =_______. .
提示：求一个数的平方，实际上是相同的两个数相乘.
预设：（1）4，4；（2）49，49；（3）0.64，0.64.
反过来，如果已知一个数的平方，怎样求这个数呢？接下来我们就一起来探究.
师生活动：教师填一填，带领大家回顾如何计算求一个数的平方，接着提出问题，引出新课．
设计意图：通过填空练习，让学生回顾求一个数平方的运算，巩固旧知.再由已知平方求原数的问题，制造认知冲突，自然引出新课，激发学生探究欲望，为后续学习开方运算做铺垫.
探究新知
活动一：平方根
试一试：本章导图中提出的问题，就是已知正方形的面积为25cm²，求这个正方形的边长.
预设：因为52=25，所以这个数可以是5；所以，这个正方形的边长是5cm.
上述问题实质上就是要求一个数，这个数的平方等于25.
师生活动：学生结合复习回顾环节进行解答，教师给出答案.
思考：一个数的平方等于25，这个数除了5之外还有哪些数？
预设：因为(-5)2=25，所以这个数可以是-5；除了5和-5外，任何一个数的平方都不等于25.
如果一个数的平方等于25，那么这个数是5或-5.
师生活动：教师提出问题，学生思考并回答.
探究：根据上面的研究过程填写下表：
预设：
师生活动：鼓励学生填一填，小组讨论.
你发现了什么规律？
预设：互为相反数的两个数的平方等于同一个数.
设计意图：通过求正方形边长实例，引导学生思考已知平方求原数，再经填表探究，让学生在实践中发现规律.培养学生逆向思维与归纳能力，自然引入平方根概念，为后续学习奠基.
【概括】
如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根(square rt).
因为5²=25，所以5是25的一个平方根.
又因为(-5)²=25，所以-5也是25的一个平方根.
这就是说，5和-5都是25的平方根.
根据平方根的意义，我们可以利用平方运算来探求一个数的平方根.
设计意图：通过具体数字示例，从“数的平方等于a”的角度自然引出平方根概念，让学生直观理解平方根与平方运算的关联，明确求平方根的方向.
活动二：算术平方根
试一试：（1）144的平方根是什么?
（2）0的平方根是什么？
（3）-4有没有平方根?为什么?
预设：（1）因为12²=144，(-12)²=144，除了12和-12外，任何一个数的平方都不等于144，所以144的平方根是±12.
（2）因为0²=0，除了0外任何一个数的平方都不等于0，所以0的平方根是0.
（3）因为任何数的平方都不可能是负数，所以没有一个数的平方为-4，即-4没有平方根.
请你自己也编三道求平方根的题目，并给出解答.
思考：通过试一试，你有什么启发？
预设：①一个正数如果有平方根，那么必定有两个，它们互为相反数.
注意：知道了这两个平方根中的一个，立即可以得到另一个.
②0的平方根只有一个.
③任何有理数的平方都不可能是负数，所以负数没有平方根.
师生活动：鼓励学生自主尝试，并结合试一试内容，自己编题，由小组内其它同学解答，最后小组讨论.
设计意图：通过试求不同数的平方根，让学生在实践中深化对平方根概念的理解，发现正数、0、负数平方根的特点.自编题目与小组讨论，培养学生自主探究与合作交流能力，提升对知识的运用与归纳水平.
【概括】
正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作a，读作“根号a”；另一个平方根是它的相反数，即−a.
交流：你能用符号表示出正数的平方根吗？
预设：正数a的平方根，记作±a，读作正、负根号a.(其中a是非负数）
注意：0的平方根只有1个，也叫0的算术平方根，记作0，即0=0.
说一说：a(a≥0)表示a的算术平方根，试就a＞0和a=0两种情况，分别说出它的意义.
预设：当a＞0时，a表示的是一个正数的算术平方根.例如，9表示9的算术平方根.
当a=0时，a表示的是0的算术平方根.即0表示0的算术平方根.
设计意图：先概括算术平方根概念，再通过交流引导学生用符号表示正数平方根，明确0的情况，最后让学生阐述a意义.帮助学生区分算术平方根与平方根，准确掌握相关符号表示及内涵.
活动三：开平方
已知一个数，求它的平方的运算，叫做平方运算.
思考：已知一个数的平方，求这个数的运算叫什么？
预设：求一个非负数a的平方根的运算，叫做开平方.
注意：将一个正数开平方，关键是找出它的算术平方根.平方与开平方互为逆运算.
应用新知
教材例题
例1 求100的平方根.
分析：根据平方根的意义求解即可.
解：因为10²=100，(-10)²=100，
除了10和-10以外，任何数的平方都不等于100，
所以100的平方根是10和-10.也可以说，100的平方根是±10.
思考：你能先求出100的算术平方根，再求解吗？
预设：因为100的算术平方根是100=10，所以根据一个正数有两个平方根且互为相反数，得100的平方根是±100=±10.
例2 将下列各数开平方：
(1)49; (2)425
分析：先求出各个数的算术平方根，再根据一个正数有两个互为相反数的平方根进行解答.
解: (1)因为7²=49，所以49=7，因此49的平方根为±49=±7.
仿照小题(1)的解答过程，写出小题(2)的解答.
(2)因为(25)²=425，所以425=25，因此425的平方根为±425=±25.
师生活动：学生先独立思考再作答.
在例1、例2中，我们是通过观察，利用开平方与平方的关系来求平方根的.通常可用计算器直接求出一个正数的算术平方根(有时得到的是近似值).
按键顺序：
其中a为任意的数.
注意：计算器的型号不同，按键顺序可能有所不同，要注意阅读使用说明书.
例3 用计算器求下列各数的算术平方根:
(1) 529 (2) 44.81(精确到0.01）
分析：用计算器求一个正数的算术平方根，只需直接按书写顺序按键即可.
解: (1)本小题的按键顺序是：
显示结果为23，所以529的算术平方根为529=23.
(2)本小题的按键顺序是：
显示结果为6.694027188，要求精确到0.01，所以44.81的算术平方根为44.81≈6.69.
经典例题
例4 求下列各式中x的值:
(1)x2=49; (2)9x2=4.
分析：(1)根据平方根的意义直接求解；
(2)先将左边的系数化为1，再根据平方根的意义求解.
解: (1)因为(±7)²=49，所以x=±7.
(2)9x2=4，x2=49
因为(±23)²=49，所以x=±23.
注意：(2)中左边也可以看成是(3x)²，求3x的平方根，再系数化1.
设计意图：通过这两道例题，引导学生运用平方根概念求解含未知数的方程，强化对平方根意义的理解与运用，培养学生分析问题、转化式子及准确计算的能力，提升其代数运算素养.
课堂练习
【教材练习】
1.完成下表：

答案：
2.说出下列各数的平方根：
(1) 6400； (2) 0.25； (3) 4981.
解：(1) 因为 (±80)²=6400，所以它的平方根是±80.
(2)因为 (±0.5)²=0.25，所以它的平方根是±0.5.
(3) 因为(±79)2 =4981，它的平方根是±79.
3.用计算器计算:
(1)676； (2) 27.8784； (3) 4.225.(精确到0.01)
解：(1)本小题的按键顺序是：
显示结果为26，所以676=26.
(2)本小题的按键顺序是：
显示结果为5.28，所以27.8784=5.28.
(3)本小题的按键顺序是：
显示结果为，要求精确到0.01，所以4.225≈2.06.
4.下列说法正确吗?为什么?如果不正确，请予以改正.
(1)16的平方根是4; (2)25=±5
解：（1）错误，一个正数的平方根有2个，所以16的平方根是±4.
（2）错误，25是25的算术平方根，算术平方根只有1个且为非负数.
【自选练习】
5.求下列各数的平方根.
(1) 6481； (2) 6² ； (3)0.49.
解：(1)(±89)2 =6481，它的平方根是±89.
(2) 6²=36 ，(±6)²=36，它的平方根是±6.
(3) (±0.7)²=0.49，它的平方根是±0.7.
6.求下列各式中x 的值:
(1)x2=36; (2)(x-1)2=1.
解: (1)因为(±6)²=36，所以x=±6.
因为(±1)²=1，所以x−1=±1.所以x=2或x=0.
7.若|m-2| + n+2=0，求m+n的值.
解： 因为 |m-2| ≥0，n+2≥0，且 |m-2| +n+2 =0，
所以 |m-2| =0，n+2=0， m=2，n=-2，所以，m+n=2+(-2)=0.
设计意图：提供教材习题以外的练习题，供学生或教师选择性的使用，巩固本节课所学的内容.
归纳总结
师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容．
1.本节课你学到了什么？
2.什么是平方根、算术平方根？如何用符号表示？
3.平方根有哪些特征？