2025-2026学年内蒙古赤峰实验中学高二上学期第一次月考数学试卷（含答案）

这是一份2025-2026学年内蒙古赤峰实验中学高二上学期第一次月考数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，周四，多选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.盘子里有肉馅、素馅和豆沙馅的包子共10个，从中随机取出1个，若是肉馅包子的概率为25，不是豆沙馅包子的概率为710，则素馅包子的个数为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
2.在空间直角坐标系Oxyz中，已知点A1,1,1,B2,-1,0，若点P与点A关于Oyz平面对称，则BP=( )
A. -3,2,1B. -1,0,1C. -1,0,-1D. 3,-2,-1
3.已知a=1,1,0,b=0,1,1,c=1,0,1,p=a-b,q=a+2b-c，则p⋅q=( )
A. -1B. 1C. 0D. -2
4.如图，三个元件T1,T2,T3正常工作的概率均为13，且是相互独立的，将它们接入电路中，则电路不发生故障的概率是( )
A. 19B. 127C. 527D. 727
5.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，点E为棱AA1的中点，点F为棱CC1上靠近C的三等分点．若EF=xAB+yAD+zAA1,x,y,z∈R，则x+y+z的值为( )
A. 16B. 116C. 176D. -16
6.A={1,2,3}，B={x∈R|x2-ax+b=0,a∈A,b∈A}，则A∩B=B的概率是
A. 29B. 13C. 89D. 1
7.学校足球赛决赛计划在周三、周四、周五三天中的某一天进行，如果这一天下雨则推迟至后一天，如果这三天都下雨则推迟至下一周，已知这三天下雨的概率均为12，则这周能进行决赛的概率为
A. 18B. 38C. 58D. 78
8.如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB⊥AD，AB=AD=1，AA1>AB，E，F分别是侧棱BB1，DD1上的动点，且平面AEF与平面ABC所成角的大小为30 ∘，则线段BE的长的最大值为( )
A. 13B. 33C. 12D. 22
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知AB=(-2,1,4),AC=(4,2,0),AP=(1,-2,1),AQ=(0,4,4)，则下列说法正确的是( )
A. AP是平面ABC的一个法向量B. A,B,C,Q四点共面
C. PQ//BCD. BC= 53
10.甲罐中有3个红球、2个白球，乙罐中有4个红球、1个白球，先从甲罐中随机取出1个球放入乙罐，分别以A1,A2表示由甲罐中取出的球是红球､白球的事件，再从乙罐中随机取出1个球，以B表示从乙罐中取出的球是红球的事件，下列命题正确的是( )
A. 事件A1,A2互斥B. 事件B与事件A1相互独立
C. PA1B=12D. PB=2330
11.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P满足BP=λBC+μBB1，且0≤λ≤1,0≤μ≤1，则下列说法正确的是( )
A. 若λ+u=1，则AP//面A1C1D
B. 若λ+u=1，则AP⊥BC1
C. 若λ=μ=12，则P到平面A1BD的距离为23 3
D. 若λ=1,0≤μ≤1时，直线DP与平面A1BD所成角为θ，则sinθ∈ 33, 63
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若a=1,0,1,b=0,2,2，则csa,b= ．
13.从1，2，3，4，5这5个数中任取2个，则这2个数字之积大于5的概率为 ．
14.如图，在三棱锥O-ABC中，点P,Q分别是OA,BC的中点，点D为线段PQ上一点，且PD=2DQ，若记OA=a,OB=b,OC=c，则OD等于 .(用a,b,c表示)．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知a=3,4,x，b=2,y,-2．
(1)若(a+2b) // (a-b)，求x，y的值；
(2)若a+b⊥a-b，且b=5，求x的值．
16.(本小题15分)
将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，事件A：“两数之和为8”，事件B：“两数之和是3的倍数”，事件C：“两个数均为偶数”．
(I)写出该试验的基本事件Ω，并求事件A发生的概率；
(II)求事件B发生的概率；
(III)事件A与事件C至少有一个发生的概率．
17.(本小题15分)
三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱与底面垂直，∠ABC=90 ∘，AB=BC=BB1=2，M，N分别是AB，A1C的中点．
(1)求证：MN//平面BCC1B1．
(2)求证：MN⊥平面A1B1C．
18.(本小题17分)
2025年8月21日，DeepSeek在官方公众号发文称，正式发布DeepSeek-V3.1模型，此次升级也标志着国产大模型在技术迭代与商业化探索中又迈出了关键一步．为强化相关技术的落实应用能力，某公司特针对A，B两部门开展专项技能培训．
(1)已知该公司A，B两部门分别有3位领导，此次培训需要从这6位领导中随机选取2位分别负责第一天和第二天的工作，假设每人被抽到的可能性都相同，求这两天的工作由A，B两部门的领导分别负责一天的概率；
(2)此次培训分三轮进行，员工甲第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为34,23,12，每轮的培训结果均相互独立，至少两轮培训达到“优秀”才算合格，求甲培训合格的概率．
19.(本小题17分)
如图1，在四边形ABCD中，AB=BC= 2，AC=AD=2，∠BAD=3π4，如图2，把▵ACD沿AC折起，使点D到达点P处，且平面PAC⊥平面ABC，Q为PC的中点．
(1)求证：AC⊥BQ；
(2)求二面角A-BQ-P的余弦值；
(3)判断线段AP上是否存在点M，使得三棱锥M-ABQ的体积为16.若存在，求出AMAP的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
1.C
2.A
3.A
4.C
5.B
6.C
7.D
8.B
9.AD
10.ACD
11.ACD
12.12##0.5
13.35##0.6
14.16a+13b+13c
15.解：(1)∵a=3,4,x，b=2,y,-2，
∴a+2b=7,4+2y,x-4，a-b=1,4-y,x+2．
又(a+2b)//(a-b)，
∴71=4+2y4-y=x-4x+2，解得x=-3，y=83．
(2)由a+b⊥a-b，得a+b⋅a-b=0，
∴a2-b2=0，∴a=b=5，即a2=25，∴32+42+x2=25，解得x=0．

16.解：(I)所有可能的基本事件为：
1,1,1,2,1,3,1,4,1,5,1,6
2,1,2,2,2,3,2,4,2,5,2,6
3,1,3,2,3,3,3,4,3,5,3,6
4,1,4,2,4,3,4,4,4,5,4,6
5,1,5,2,5,3,5,4,5,5,5,6
6,1,6,2,6,3,6,4,6,5,6,6
共36种.
其中“两数之和为8”的有2,6,3,5,4,4,5,3,6,2共5种，故PA=536．
(II)由(I)得“两数之和是3的倍数”的有1,2,1,5,2,1,2,4,3,3,3,6,4,2,4,5,5,1,5,4,6,3,6,6共12种，故概率为1236=13．
(III)由(I)“两个数均为偶数”的有9种，“两数之和为8”的有2,6,3,5,4,4,5,3,6,2共5种，重复的有2,6,4,4,6,2三种，故事件A与事件C至少有一个发生的有9+5-3=11种，概率为1136．

17.解：(1)证明：连接BC1，AC1，∵在▵ABC1中，M，N是AB，A1C的中点∴MN//BC1．
又∵MN⊄平面BCC1B1，BC1⊄平面BCC1B1，∴MN//平面BCC1B1．
(2)解：∵三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱与底面垂直，
∴四边形BCC1B1是正方形．
∴BC1⊥B1C．∴MN⊥B1C．
连接A1M，CM，ΔAMA1≅ΔBMC．
∴A1M=CM，又N是A1C的中点，∴MN⊥A1C．
∵B1C与A1C相交于点C，
∴MN⊥平面A1B1C．

18.解：(1)记A部门的3名领导为a1,a2,a3，B部门的3名领导为b1,b2,b3，
从这6位领导中随机选取2位分别负责第一天和第二天的工作，不同结果有：
a1a2,a1a3,a1b1,a1b2,a1b3,a2a1,a2a3,a2b1,a2b2,a2b3,a3a1,a3a2,a3b1,a3b2,a3b3,
b1a1,b1a2,b1a3,b1b2,b1b3,b2a1,b2a2,b2a3,b2b1,b2b3,b3a1,b3a2,b3a3,b3b1,b3b2，
共30种，
这两天的工作由A，B两部门的领导分别负责一天，不同结果有：a1b1,a1b2,a1b3,a2b1,a2b2,a2b3,a3b1,a3b2,a3b3,b1a1,b1a2,b1a3,b2a1,b2a2,b2a3,b3a1,b3a2,b3a3,共18种，
所以这两天的工作由A，B两部门的领导分别负责一天的概率为1830=35．
(2)记C=“每位员工经过培训合格”，Ai=“每位员工第i轮培训达到优秀”(i=1,2,3)，
则PA1=34,PA2=23,PA3=12，C=A1A2A3∪A1A2A3∪A1A2A3∪A1A2A3，
依题意，PC=PA1A2A3+PA1A2A3+PA1A2A3+PA1A2A3
=PA1PA2PA3+PA1PA2PA3+PA1PA2PA3+PA1PA2PA3
=34×23×12+14×23×12+34×13×12+34×23×12=1724，
所以每位员工经过培训合格的概率为1724．

19.解：(1)在图1中，由AB=BC= 2，AC=2，得AB2+BC2=AC2，则AB⊥BC，
所以∠BAC=π4，由∠BAD=3π4，得∠CAD=3π4，即DA⊥AC，
在图2中，PA⊥AC，取AC的中点O，连接QO,BO，由Q为PC的中点，
得QO//PA，则QO⊥AC，由AB=BC= 2，得BO⊥AC，而BO∩QO=O，
BO,QO⊂平面BOQ，则AC⊥平面BOQ，又BQ⊂平面BOQ，所以AC⊥BQ．
(2)由已知及(1)得平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，QO⊥AC，
于是QO⊥平面ABC，直线OB,OA,OQ两两垂直，
以O为坐标原点，直线OB,OA,OQ分别为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0,1,0),B(1,0,0),Q(0,0,1),P(0,1,2)，
AB=(1,-1,0),AQ=(0,-1,1),QB=(1,0,-1),QP=(0,1,1)，
设平面ABQ的法向量为n=(x,y,z)，
则n⋅AB=x-y=0n⋅AQ=-y+z=0，令y=1，则x=1,z=1，
所以平面ABQ的一个法向量为n=(1,1,1)，
设平面PBQ的法向量为m=(m,n,s)，
则m⋅QB=m-s=0m⋅QP=n+s=0，令m=1，则n=-1,s=1，
所以平面PBQ的法向量为m=(1,-1,1)，
则csm,n=m⋅nm⋅n=1-1+1 1+1+1× 1+1+1=13，
由图知二面角A-BQ-P为锐二面角，所以二面角A-BQ-P的余弦值为13．
(3)假设线段AP上是否存在点M，使得三棱锥的体积为16，
在▵ABQ中，AB=AQ=BQ= 2，所以S▵ABQ=12× 2× 2× 32= 32，
因为三棱锥M-ABQ的体积为16，设点M到平面ABQ的距离为d，
所以13× 32×d=16，所以d= 33，所以点M到平面ABQ的距离为 33，
令AMAP=λ0