福建省连城县第一中学2025-2026学年高二上学期10月月考数学试题（解析版）

这是一份福建省连城县第一中学2025-2026学年高二上学期10月月考数学试题（解析版），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
满分：150 考试时间：120分钟
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1. 已知数列，2，，，，，…，则这个数列的第25项为（ ）
A. B. C. 7D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据数列前的几项归纳出，即可求出结果.
【详解】由题知，所以，
故选：B.
2. 直线：的倾斜角为（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用倾斜角与斜率的关系计算即可.
【详解】根据题意可知该直线的斜率为，所以其倾斜角为.
故选：C
3. 已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A. 30B. 40C. 60D. 120
【答案】C
【解析】
【分析】利用等差数列的性质可求.
【详解】因为为等差数列，故，
故选：C.
4. 某影院欲新建一个放映厅，可以容纳1160个座位，若第一排安排20个座位，从第二排起，后一排比前一排多4个座位，则放映厅最多可以建造的座位的排数为（ ）
A. 20B. 22C. 24D. 26
【答案】A
【解析】
【分析】由题意，设每排的座位数构成等差数列，其中，公差，利用等差数列的求和公式，列出方程，即可求解.
【详解】由题意，设每排的座位数构成等差数列，其中，公差，
再设放映厅最多可以建的座位的排数为，
可得，即，
解得，又，得放映厅最多可以建的座位的排数为.
故选：A.
5. 已知等比数列的各项均为正数，且，则（ ）
A. 3B. 5C. D. 30
【答案】B
【解析】
【分析】为等比数列，得到，结合对数运算法则得到.
【详解】为等比数列，，故，
且，
故.
故选：B
6. 在数列中，若，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】结合递推关系和首项，求出数列得前几项，归纳出数列周期为4，结合周期性求解.
【详解】因为且，
所以，
，
，
，
，
所以是以4为周期的周期数列，
所以.
故选：A.
7. 已知，若点在线段上，则的最小值为（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用两点连线的斜率公式知表示点和点连线的斜率，再数形结合，即可求出结果.
【详解】如图，因为表示点和点连线的斜率，
又，所以，，
由图知，的最小值为，

故选：C.
8. 已知数列满足，设，，若数列是递增数列，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由递推公式结合等比数列定义可得数列的通项公式，则可计算出，再结合数列单调性计算即可得.
【详解】，所以，
所以是以为首项、2为公比的等比数列，
所以，
所以，
若数列是递增数列，则恒成立，
所以
恒成立，
所以恒成立，所以，
所以实数的取值范围是.
故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 过两点的直线的倾斜角为
B. 经过点的所有直线都可以用方程表示
C. 直线在轴上的截距为
D. 点在同一条直线上
【答案】AD
【解析】
【分析】借助斜率与倾斜角的关系计算可得A；考虑斜率不存在的情况可得B；由截距定义可得C；借助斜率公式计算可得D.
【详解】对于A：过两点的直线的斜率，
所以直线的倾斜角为，故A正确；
对于B：过点斜率不存在时，方程为，故B错误；
对于C：直线在轴上的截距为，故C错误；
对于D：因为，，
则，所以三点共线，故D正确.
故选：AD
10. 已知数列的前项和，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 数列是等差数列
C. 的最小值为D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据与的关系求出数列的通项公式，即可判断A；根据等差数列的定义即可判断B；由数列的通项得出每一项的符号情况，即可判断C；根据等差数列前项和公式即可判断D.
【详解】对于A，当时，，
而满足上式，因此，则，故A正确；
对于B，，当时，，
数列是等差数列，故B正确；
对于C，由选项A知，数列单调递增，
由，得，即数列前5项均为负数，
第6项为0，从第7项起为正数，最小值为，故C错误；
对于D，
，故D正确.
故选：ABD.
11. 高斯被誉为“数学王子”，是世界上伟大数学家.用他名字定义的函数（表示不超过的最大整数）称为高斯函数.已知正项数列的前项和为，且，令，则下列结论正确的有（ ）
A B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据与的关系，化简可得，判断A，B；再由裂项相消法求判断C；利用放缩法判断D.
【详解】对于A，B，，
所以当时，，
又，则，
所以，故A错，B对；
对于C，，
，
，故C对；
对于D，，
，
当时，，
，
，故D对；
故选：BCD
【点睛】关键点点睛：此题解题的关键是正确理解高斯函数，根据递推式，从而可归纳出通项公式，进而可求得答案.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 设等比数列的前n项和为，若，，则______．
【答案】81
【解析】
【分析】根据等比数列的性质可得，，，，…成等比数列，并设其公比为，又，由等比数列的性质，即可求出结果.
【详解】因为数列为等比数列，
由等比数列的性质可得，，，，…成等比数列，并设其公比为．
又由题意可得，，，所以，
所以．
故答案为：.
13. 若直线过点，向量是直线的一个方向向量，则直线的方程为___________________.
【答案】
【解析】
【分析】根据直线的一个方向向量可设直线的方程为，把点代入直线即可求出值，从而可得直线的方程.
【详解】直线的一个方向向量，则设直线的方程为，
把点代入方程求得，
所以直线的方程为。
故答案为：
14. 已知数列，其中，满足，设为数列的前n项和，当不等式成立时，正整数n的最小值为______.
【答案】9
【解析】
【分析】利用递推关系式得，由此可证得是等比数列；由等比数列通项公式推导可得，进而可求得的表达式，代入解不等式即可求解.
【详解】因为由得：，
又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，所以.
所以，
所以等价，
由知，满足正整数n的最小值为9.
故答案为：9.
【点睛】方法点睛：求数列的通项公式有以下方法：
（1）观察法，（2）等差、等比公式法，（3）由与关系求解，（4）累加法，（5）累乘法，（6）构造等比数列，（7）构造等差数列.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知直线l经过点和点．
（1）求直线l的截距式方程；
（2）求直线l与两坐标轴围成的图形面积．
【答案】（1）
（2）16
【解析】
【分析】（1）根据两点式直线写出直线方程，再转化为截距式；
（2）由（1）得出直线在两坐标轴上的截距，然后直接计算三角形面积．
【小问1详解】
由已知得直线l的两点式方程为，
即，
整理得．
所以截距式方程为．
小问2详解】
由（1）知直线l在两坐标轴上的截距分别为4和8，
所以围成的图形的面积为．
16. 已知等差数列的前项和为，且，．
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据等差数列的通项公式与求和公式列式，求和即可.
（2）利用裂项求和法求.
【小问1详解】
解法一：设等差数列的首项为，公差为，
由已知，
解得，
所以．
解法二：因为，所以．
因为，所以.
所以，
所以.
【小问2详解】
因为．
所以数列的前项和
17. 已知数列满足.
（1）证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
（2）设，求数列前项和.
【答案】（1）证明见解析，
（2）
【解析】
【分析】（1）通过构造思想，等式两边同时加1，即可证得等比数列，再求通项公式即可；
（2）利用错位相减法直接求和即可.
【小问1详解】
由，
所以是首项、公比均为3的等比数列，故
所以.
【小问2详解】
由（1）有，则，
所以，
两式相减，得
所以.
18. 我国某西部地区进行沙漠治理，该地区有土地1万平方千米，其中70％是沙漠，从今年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的16％改造为绿洲，同时原有绿洲的4％被沙漠所侵蚀又变成沙漠.设从今年起第年绿洲面积为万平方千米.
（1）求；
（2）求第年绿洲面积与上一年绿洲面积的关系；
（3）至少经过几年，绿洲面积可超过60％？（）
【答案】（1），
（2）
（3）6年
【解析】
【分析】（1）根据题意确定第一年，第二年，第三年绿洲面积，即可得的值；
（2）根据数列的递推关系确定第年绿洲面积与上一年绿洲面积的关系即可；
（3）结合数列的递推关系式构造等比数列，从而列不等式，结合指对运算得所求.
【小问1详解】
由题意可得，
，
；
【小问2详解】
由题意得
，
所以；
【小问3详解】
由（1）得，所以，
又，所以，
所以是以为首项，为公比的等比数列，
故，即，
令，即，
两边取常用对数得，
所以，
所以，
故至少经过6年，绿洲面积可超过60%.
19. 已知数列中，，，.
（1）证明：数列为等比数列；
（2）若，求满足条件的最大整数n；
（3）设，数列的前项和为，求证：.
【答案】（1）证明见解析；
（2）；
（3）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）将给定等式变形得，再利用等比数列定义推理得证.
（2）利用分组求和法及等比数列前项和公式求出，再利用单调性求出最大整数n.
（3）由（2）求出，利用放缩法及等比数列前项和公式求和即可得证.
【小问1详解】
由，得，则，由，得，
所以数列是以2为首项，以为公比的等比数列.
【小问2详解】
由（1）得，则，
因此，
依题意，，而函数在上单调递增，
则满足的最大整数的值为，所以所求最大整数值为.
【小问3详解】
由（2）得，，，
则，
因此，当时，
，当时，，
所以.