上海市育才初级中学2025-2026学年九年级（上）月考数学试卷（9月份）（含解析）

这是一份上海市育才初级中学2025-2026学年九年级（上）月考数学试卷（9月份）（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）下列函数中，不是二次函数的是
A．B．C．D．
2．（4分）将二次函数的图象向右平移3个单位，再向上平移4个单位，那么所得的解析式为
A．B．
C．D．
3．（4分）已知点在线段上，且满足，那么下列式子成立的是
A．B．C．D．
4．（4分）如图，在△中，点、、分别在边、、上，且，再将下列四个选项中的一个作为条件，不一定能使得△和△相似的是
A．B．C．D．．
5．（4分）在中，边，高，正方形的顶点、在边上，顶点、分别在边和上，那么这个正方形的边长等于
A．3B．2.5C．2.4D．2
6．（4分）如图，在正方形中，△是等边三角形，、的延长线分别交边于点、，联结，，与相交于点，下列结论中错误的是
A．B．△△C．△△D．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）若，且，那么 ．
8．（4分）如果函数是二次函数，那么的值为 ．
9．（4分）如果抛物线的对称轴为轴，那么实数的值为 ．
10．（4分）若抛物线的顶点在第二象限，则的取值范围为 ．
11．（4分）如果二次函数，如果将它的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位，那么所得的新抛物线的表达式是 ．
12．（4分）在比例尺为的地图上，若甲、乙两地间的距离为，则甲、乙两地的实际距离为 ．
13．（4分）已知点是线段上的一点，且，如果，那么 ．
14．（4分）如图，直线，如果，，那么长是 ．
15．（4分）如图，在△中，是边上的中线，点是△的重心，过点作交于点，那么 ．
16．（4分）如图，△的顶点在抛物线上，将△绕点顺时针旋转，得到△，边与该抛物线交于点，则点的坐标为 ．
17．（4分）为了测量校门口路灯的高度，小明准备了两根标杆、和皮尺，按如图的方式放置，已知米，在路灯的照射下，标杆的顶端在标杆留下的影子为，标杆在地面上的影长是，经测量得米，米，米，那么灯杆的长是 米．
18．（4分）如图，在等腰直角△中，，为边上任意一点，连接，将△沿翻折得到△，连接并延长交于点，若点为的中点，则的长为 ．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）已知：
（1）求代数式的值；
（2）如果，求，，的值．
20．（10分）如图，已知线段，在线段上求作一点，使．
21．（10分）已知：如图，点、在△边上，点在边上，且，．求证：．
22．（10分）已知：如图，在△中，点、分别在边、上，且，、交于点．
（1）求证：△△；
（2）如果平分，求证：．
23．（12分）如图，已知梯形中，，，点在对角线上，且满足．
（1）求证：；
（2）以点为圆心，长为半径画弧交边于点，联结．求证：．
24．（12分）如图，在直角坐标系中，点为函数在第一象限内的图象上的任一点，点的坐标为，直线过且与轴平行，过作轴的平行线分别交轴，于，，连接交轴于，直线交轴于．
（1）求证：点为线段的中点；
（2）求证：①四边形为平行四边形；②平行四边形为菱形；
（3）除点外，直线与抛物线有无其它公共点并说明理由．
25．（14分）如图，已知：梯形中，，，，，，点在边上，以点为圆心为半径作弧交边于点，射线于射线交于点．
（1）若，求的长；
（2）联结，若，求的长；
（3）线段上是否存在点，使得△与△相似？若相似，求的值；若不相似，请说明理由．
参考答案
一．选择题（共6小题）
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．（4分）下列函数中，不是二次函数的是
A．B．C．D．
解：．是二次函数，故此选项不符合题意；
．是二次函数，故此选项不符合题意；
．是二次函数，故此选项不符合题意；
．不是二次函数，故此选项符合题意．
故选：．
2．（4分）将二次函数的图象向右平移3个单位，再向上平移4个单位，那么所得的解析式为
A．B．
C．D．
解：将二次函数的图象向右平移3个单位，再向上平移4个单位，那么所得的解析式为．
故选：．
3．（4分）已知点在线段上，且满足，那么下列式子成立的是
A．B．C．D．
解：点在线段上，且满足，
点是的黄金分割点，且，
，
故选：．
4．（4分）如图，在△中，点、、分别在边、、上，且，再将下列四个选项中的一个作为条件，不一定能使得△和△相似的是
A．B．C．D．．
解：、，，△△，正确；
、，，△△，正确；
、，，不是夹角，不能得出△△，错误；
、，，△△，，，△△，△△，正确；
故选：．
5．（4分）在中，边，高，正方形的顶点、在边上，顶点、分别在边和上，那么这个正方形的边长等于
A．3B．2.5C．2.4D．2
解：设交于．
四边形是正方形，
，
，
又，
，，
，
设，则，
，
解得：，
．
答：这个正方形的边长为2.4．
故选：．
6．（4分）如图，在正方形中，△是等边三角形，、的延长线分别交边于点、，联结，，与相交于点，下列结论中错误的是
A．B．△△C．△△D．
解：四边形是正方形，
，
△是等边三角形，
，
，
，故正确，
，
，
，
又，，
，
，
，
△△，故正确，
，
△与△不相似，故错误，
，
，
，
△△，
，
，故正确，
故选：．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）若，且，那么 ．
解：，
，
，
即．
故答案为：．
8．（4分）如果函数是二次函数，那么的值为 2 ．
解：由题意可得：
，，
解得：，，
，
，
故．
故答案为：2．
9．（4分）如果抛物线的对称轴为轴，那么实数的值为 0 ．
解：抛物线的对称轴为轴，
对称轴，
解得：．
故答案为0．
10．（4分）若抛物线的顶点在第二象限，则的取值范围为 ．
解：，
顶点为，
顶点在第二象限，
，，
，
故答案为．
11．（4分）如果二次函数，如果将它的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位，那么所得的新抛物线的表达式是 ．
解：由题意得，平移后所得的新抛物线的表达式是．
故答案为：．
12．（4分）在比例尺为的地图上，若甲、乙两地间的距离为，则甲、乙两地的实际距离为 30 ．
解：．
故答案为：30．
13．（4分）已知点是线段上的一点，且，如果，那么 ．
解：点是线段上的一点
，
，，
，
解得．
故答案为：．
14．（4分）如图，直线，如果，，那么长是 6 ．
解：，
，
，，
，
，
故答案为：6．
15．（4分）如图，在△中，是边上的中线，点是△的重心，过点作交于点，那么 ．
解：点是△的重心，
，
，
，
△△，
，
故答案为．
16．（4分）如图，△的顶点在抛物线上，将△绕点顺时针旋转，得到△，边与该抛物线交于点，则点的坐标为 ， ．
解：△的顶点在抛物线上，
，解得，
抛物线为，
点，
，
，
将△绕点顺时针旋转，得到△，
点在轴上，且，
，
，
轴，
点的纵坐标为2，
代入，得，
解得，
，．
故答案为，．
17．（4分）为了测量校门口路灯的高度，小明准备了两根标杆、和皮尺，按如图的方式放置，已知米，在路灯的照射下，标杆的顶端在标杆留下的影子为，标杆在地面上的影长是，经测量得米，米，米，那么灯杆的长是 4.5 米．
解：如图，延长交于，
，，
△△，
，
米，米，米，
，
（米，
（米，
同理可得，△△，△△，
，，
设米，米，
，，
，，
，，
，，
经检验，是分式方程组的解，
米．
故答案为：4.5．
18．（4分）如图，在等腰直角△中，，为边上任意一点，连接，将△沿翻折得到△，连接并延长交于点，若点为的中点，则的长为 ．
解：（方法如图所示，过作于，作于，
又，
四边形是矩形．
设，则，，
，
△△，
，即，
．
△中，，
即，
解得（不合题意），，
，．
，
，
又，
△△，
，即，
，
由折叠可得，．
故答案为：．
（方法如图所示，过作于，过作，交的延长线于，
又，
四边形是矩形．
设，，则，，
，
△△，
，即，
，．
，
，
，
△△，
，即，
，
．
故答案为：．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）已知：
（1）求代数式的值；
（2）如果，求，，的值．
解：（1），
设，，，
则；
（2）设，，，则
，
解得．
则，
，
．
20．（10分）如图，已知线段，在线段上求作一点，使．
解：如图所示，
点即为所求作的点．
21．（10分）已知：如图，点、在△边上，点在边上，且，．求证：．
【解答】证明：，
，
，
，
，
又，
△△，
，
．
22．（10分）已知：如图，在△中，点、分别在边、上，且，、交于点．
（1）求证：△△；
（2）如果平分，求证：．
【解答】（1）证明：，
、、、四点共圆，
，而，
△△．
（2）解：过点作，；
平分，
；设，
则，，
，而，
．
23．（12分）如图，已知梯形中，，，点在对角线上，且满足．
（1）求证：；
（2）以点为圆心，长为半径画弧交边于点，联结．求证：．
【解答】证明（1），
，
，
△△，
，
，
，
；
（2），，
，
，
又，，
，
，
△△，
，
，
由题意，得，，
，
．
24．（12分）如图，在直角坐标系中，点为函数在第一象限内的图象上的任一点，点的坐标为，直线过且与轴平行，过作轴的平行线分别交轴，于，，连接交轴于，直线交轴于．
（1）求证：点为线段的中点；
（2）求证：①四边形为平行四边形；②平行四边形为菱形；
（3）除点外，直线与抛物线有无其它公共点并说明理由．
【解答】（1）证明：，，
．（1分）
又轴，
；（2分）
（2）证明：①由（1）可知，，
，
，
．（3分）
，
又，
四边形为平行四边形．（4分）
②设，
轴，则，则．
过作轴，垂足为．
在中，，
平行四边形为菱形；（6分）
（3）解：设直线为，
由，得，，．
代入得：，
．
直线为．（7分）
设直线与抛物线的公共点为，代入直线关系式得：，，
解得．得公共点为．
所以直线与抛物线只有一个公共点．（8分）
25．（14分）如图，已知：梯形中，，，，，，点在边上，以点为圆心为半径作弧交边于点，射线于射线交于点．
（1）若，求的长；
（2）联结，若，求的长；
（3）线段上是否存在点，使得△与△相似？若相似，求的值；若不相似，请说明理由．
解：（1）如图1中，过点，作，交的延长线于点．
，
，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
，，
，，
根据勾股定理得，，则；
（2）连接，设．
，
，即等腰△、等腰△两个底角相等，
△△，，
即：，
而，
即：，
而，即：，
，
解得：（不合题意值已舍去），
即：；
（3）如图3中，在线段上取一点，连接．
设，则，
则：，
△△，设，
由，可得，，
在△中，，
在△中，，，
，
，
，
△△，
，
则，
，
，
即：，
解得：．
题号
1
2
3
4
5
6
答案
D
B
B
C
C
C