上海师范大学附属嘉定高级中学2024-2025学年高一（上）月考数学试卷（一）（解析版）

这是一份上海师范大学附属嘉定高级中学2024-2025学年高一（上）月考数学试卷（一）（解析版），共11页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知全集，集合，，，则 ．
2．用反证法证明命题：“，则且”，首先要假设 ．
3．已知集合，5，，且中至多有一个奇数，则这样的集合的个数共有 个．
4．设，，若是的充分条件，则实数的取值范围是 ．
5．若集合，则 ．
6．若集合，，且，则的所有可能的值组成的集合为 ．
7．已知方程的两个根为和，则 ．
8．若关于的不等式组的解集为，则实数的取值范围 ．
9．设、、、、、均为非零实数，关于的方程和的解集分别为集合和，则“”是“”的 条件．
10．定义集合的“长度”是，其中，．已知集合，，且，都是集合的子集，则集合的“长度”的最小值是 ．
二、选择题（本大题共有4小题，只有一个正确选项，每题得4分）
11．已知，集合，则下列表示正确的是
A．B．C．D．
12．对任意，，，给出下列命题：
①“”是“”的充要条件
②“是无理数”是“是无理数”的充要条件
③“”是“”的必要条件
④“”是“”的充分条件
其中真命题的个数为
A．1个B．2个C．3个D．4个
13．下列命题是假命题的是
A．若，则B．若，则
C．若且，则D．若且，则
14．已知非空集合，满足以下两个条件：
（ⅰ），2，3，4，5，，；
（ⅱ）的元素个数不是中的元素，的元素个数不是中的元素，则有序集合对的个数为
A．10B．12C．14D．16
三、解答题
15．已知集合，，，，，，，，且，
（1）求，的值；
（2）若全集，，求．
16．设关于的不等式的解集为．
（1）求；
（2）若且，求实数的取值范围．
17．已知集合，，．
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若，求实数的取值范围．
18．如图，图片中为初中化学实验试题．已知不饱和的盐水中含有氯化钠，若再加入氯化钠并能完全溶解，则盐水变得更咸了．
（1）用数学中的不等式解释这一现象；
（2）证明（1）中的不等式．
19．已知集合，，．
（1）求证：、、；
（2）已知，，证明：“”的充分非必要条件是“”．
参考答案
一．选择题（共4小题）
一、填空题（本大题共有10小题，只要求直接填写结果，每题得4分）
1．已知全集，集合，，，则 ， ．
解：由，，，，
故，．
故答案为：，．
2．用反证法证明命题：“，则且”，首先要假设 或 ．
解：根据用反证法证明数学命题的方法，应先假设要证命题的否定成立，
而要证命题的否定为“或”，
故答案为或
3．已知集合，5，，且中至多有一个奇数，则这样的集合的个数共有 6 个．
解：因为集合，5，，且中至多有一个奇数，
若中没有奇数，则可能为，；
若中有一个奇数，则可能为，，，，，，
所以这样的集合的个数共有6个．
故答案为：6
4．设，，若是的充分条件，则实数的取值范围是 ．
解：设，．
因为是的充分条件，所以，
所以，
故的范围为．
故答案为：．
5．若集合，则 ．
解：，，
因为，所以，即，．
所以．
故答案为：．
6．若集合，，且，则的所有可能的值组成的集合为 ．
解：由题意可知，集合，，
因为，且，
①当时，，
②当时，，
解得，
③当时，，
解得，
综上所述，的所有可能的值组成的集合为，，．
故答案为：．
7．已知方程的两个根为和，则 ．
解：由题意可知，方程的两个根为，，
由韦达定理可得，，
所以．
故答案为：．
8．若关于的不等式组的解集为，则实数的取值范围 ．
解：，
所以，解得．
故答案为：．
9．设、、、、、均为非零实数，关于的方程和的解集分别为集合和，则“”是“”的 充分非必要 条件．
解：设，
则，
所以，即充分性成立；
若，则不一定成立，即必要性不成立，
故“”是“”的充分非必要条件．
故答案为：充分非必要．
10．定义集合的“长度”是，其中，．已知集合，，且，都是集合的子集，则集合的“长度”的最小值是 ．
解：集合，，且，都是集合的子集，
由，可得，
由，可得，
易知集合的“长度”的最小值．
故答案为：．
二、选择题（本大题共有4小题，只有一个正确选项，每题得4分）
11．已知，集合，则下列表示正确的是
A．B．C．D．
解：根据题意，分析选项
对于、，即有，正确；
对于、，即有，错误；
对于、集合之间符号有误，应为，错误；
对于、元素与集合之间符号有误，应为，错误；
故选：．
12．对任意，，，给出下列命题：
①“”是“”的充要条件
②“是无理数”是“是无理数”的充要条件
③“”是“”的必要条件
④“”是“”的充分条件
其中真命题的个数为
A．1个B．2个C．3个D．4个
解：若，则，当且时，不一定与相等，
“”是“”的充分不必要条件，①错；
无理数有理数一定是无理数，可判②对；
根据比的范围大，可判断③对；
，满足但不满足，
，满足，但不满足，可判断④错．
故选：．
13．下列命题是假命题的是
A．若，则B．若，则
C．若且，则D．若且，则
解：选项：取，，，，选项显然错误；
选项：若，又，则，选项正确；
选项：若，则，则，又因为，由不等式的性质可得，选项正确；
选项：若且，则，所以，选项正确．
故选：．
14．已知非空集合，满足以下两个条件：
（ⅰ），2，3，4，5，，；
（ⅱ）的元素个数不是中的元素，的元素个数不是中的元素，则有序集合对的个数为
A．10B．12C．14D．16
解：若集合中只有1个元素，则集合中只有5个元素，则，，
此时有1个，
若集合中只有2个元素，则集合中只有4个元素，则，，
此时有，
若集合中只有3个元素，则集合中只有3个元素，则，，不满足题意，
若集合中只有4个元素，则集合中只有2个元素，则，，
即，，此时有，
若集合中只有5个元素，则集合中只有1个元素，则，，
即，，此时有，
故有序集合对的个数是，
故选：．
三、解答题
15．已知集合，，，，，，，，且，
（1）求，的值；
（2）若全集，，求．
解：（1）集合，，，，，，，，且，
可得，即或，
当时，，，，此时；
当时，，，，此时或都不符合，
综上所述：，；
（2）由（1），，，，，，
全集，，，，0，1，2，，
因为，，0，1，，，3，2，，
所以，0，．
16．设关于的不等式的解集为．
（1）求；
（2）若且，求实数的取值范围．
解：（1），
当时，，
当时，，
当时，．
（2）且，
，解得：．
17．已知集合，，．
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若，求实数的取值范围．
解：（1）当时，，
解得，
当时，则，
解得，
综上所述，实数的取值范围为；
（2），，
若，则，
解得，
若，则，
解得，
若，不符合题意，
综上所述，的取值范围为．
18．如图，图片中为初中化学实验试题．已知不饱和的盐水中含有氯化钠，若再加入氯化钠并能完全溶解，则盐水变得更咸了．
（1）用数学中的不等式解释这一现象；
（2）证明（1）中的不等式．
解：（1）因为，
盐水中含有氯化钠的浓度变大了，则盐水变得更咸了．
（2）证明：因为，，
，
即．
19．已知集合，，．
（1）求证：、、；
（2）已知，，证明：“”的充分非必要条件是“”．
【解答】证明：（1）因为，所以，
因为，所以，
因为，所以，
所以、、；
（2）因为，，
所以，
所以由，必有，
又因为，
所以，而，即由推不出，
所以的充分非必要条件是．
题号
11
12
13
14
答案
A
B
A
A