九年级上学期数学压轴必考题型——相似三角形的应用练习（含答案）

这是一份九年级上学期数学压轴必考题型——相似三角形的应用练习（含答案），共42页。
1．（2020秋•曾都区期末）《九章算术》是中国古代的数学专著，它奠定了中国古代数学的基本框架，以计算为中心，密切联系实际，以解决人们生产、生活中的数学问题为目的．书中记载了这样一个问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何．”其大意是：如图，Rt△ABC的两条直角边的长分别为5和12，则它的内接正方形CDEF的边长为（ ）
A．B．C．D．
2．（2021春•阜南县月考）如图，一束平行的阳光从教室窗户射入，小兵同学量出BC＝1m，NC＝m，BN＝m，AC＝4.5m，MC＝6m，则MA的长为（ ）
A．5mB．7.5mC．6mD．5.5m
3．（2021•招远市一模）小刚身高1.7m，测得他站立在阳光下的影子长为0.85m，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为1.11m，那么小刚举起的手臂超出头顶（ ）
A．0.5mB．0.52mC．0.55mD．2.22m
4．（2021•深圳模拟）如图，小颖身高为160cm，在阳光下影长AB＝240cm，当她走到距离墙角（点D）120cm的C处时，她的部分影子投射到墙上，则投射在墙上的影子DE的长度为（ ）
A．120cmB．80cmC．60cmD．40cm
5．（2020秋•大理市期末）如图是一块三角形钢材ABC，其中边BC＝60cm，高AD＝40cm，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，则这个正方形零件的边长是（ ）
A．16B．24C．30D．36
6．（2020秋•孝义市期末）如图是用卡钳测量容器内径的示意图，已知卡钳的四个端点A，B，C，D到支点O的距离满足，且OA＝OB．现在只要测得卡钳外端C，D两个端点之间的距离，就可以计算出容器的内径d的大小．这种测量原理用到了（ ）
A．图形的旋转B．图形的平移
C．图形的轴对称D．图形的相似
7．（2020秋•滨湖区期末）有一个三角形木架三边长分别是15cm，20cm，24cm，现要再做一个与其相似的三角形木架，而只有长为12cm和24cm的两根木条．要求以其中一根为一边，从另一根截下两段作为另两边（允许有余料），则不同的截法有（ ）
A．一种B．两种C．三种D．四种
8．（2020秋•东城区期末）如图，在圆形花圃中有两条笔直的小径，两端都在花圃边界上，分别记为AC，BD，设交点为P，点C，D之间有一座假山，为了测量C，D之间的距离，小明已经测量了线段AP和PD的长度，只需再测量一条线段的长度，就可以计算C，D之间的距离．小明应该测量的是（ ）
A．线段BPB．线段CPC．线段ABD．线段AD
二．填空题
9．（2021•吉林）如图，为了测量山坡的护坡石坝高，把一根长为4.5m的竹竿AC斜靠在石坝旁，量出竿上AD长为1m时，它离地面的高度DE为0.6m，则坝高CF为 m．
10．（2021•嘉定区三模）清朝《数理精蕴》里有一首小诗《古色古香方城池》：今有一座古方城，四面正中都开门，南门直行八里止，脚下有座塔耸立．又出西门二里停，切城角恰见塔形，请问诸君能算者，方城每边长是几？
如图所示，诗的意思是：有正方形的城池一座，四面城墙的正中有门，从南门口（点D）直行8里有一塔（点A），自西门（点E）直行2里至点B，切城角（点C）也可以看见塔，问这座方城每面城墙的长是 里．
11．（2021•莆田模拟）莆田湄洲岛，是亿万妈祖信徒敬仰的圣地，这里的妈祖庙更是名扬四海．在湄洲妈祖庙的正殿前方上建造了一尊巨型石雕妈祖像，面向台湾海峡，为海峡两岸同胞共同瞻仰．小颖想测量雕像的高，她先测得雕像的影长为4.1m，并在同一时刻测得一根长为1.4m的竹竿的影长是0.4m．请你帮她算一下，石雕妈祖像高是 m．
12．（2021•瑞安市一模）数学兴趣小组计划测量公路上路灯的高度AB，准备了标杆CD，EF及皮尺，按如图竖直放置标杆CD与EF．已知CD＝EF＝2米，DF＝2米，在路灯的照射下，标杆CD的顶端C在EF上留下的影子为G，标杆EF在地面上的影子是FH，测得FG＝0.5米，FH＝4米，则路灯的高度AB＝ 米．
13．（2020秋•汉寿县期末）学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC位置，已知AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B，D，AO＝6m，AB＝1.2m，CO＝1m，则栏杆C端应下降的垂直距离CD为 m．
14．（2020秋•河南期末）如图，为了确定一条河的宽度，测量人员观察到在对岸岸边P点处有一根柱子，再在他们所在的这一侧岸上选点A和点B，使得B，A，P在同一条直线上，且与河岸垂直，随后确定点C，点D，使AC⊥BP，BD⊥BP，由观测可以确定AC与DP的交点C．他们测得AB＝20m，AC＝40m，BD＝50m，从而确定河宽PA为 m．
15．（2020•孝感模拟）《九章算术》是我国数学经典，上面记载：“今有邑方不知大小，各中开门．出北门三十步有木，出西门七百五十步见木．问邑方几何？”其意思是：如图，已知正方形小城ABCD，点E，G分别为CD，AD的中点，EF⊥CD，GH⊥AD，点F，D，H在一条直线上，EF＝30步，GH＝750步．问正方形小城ABCD的边长是多少？该问题的答案是 ．
16．（2020•泰顺县二模）图1是一种手机托架，使用该手机托架示意图如图3所示，底部放置手机处宽AB＝1.2厘米，托架斜面长BD＝6厘米，它有C到F共4个档位调节角度，相邻两个档位间的距离为0.8厘米，档位C到B的距离为2.4厘米．将某型号手机置于托架上（图2），手机屏幕长AG是15厘米，O是支点且OB＝OE＝2.5厘米（支架的厚度忽略不计）．当支架调到E档时，点G离水平面的距离GH为 厘米；当支架从E档调到F档时，点D离水平面的距离下降了 厘米．
三．解答题
17．（2021春•工业园区期末）如图，安装路灯AB的路面CD比种植树木的地面PQ高1.2m（CP＝1.2m）身高1.8m的小明MN站在距离C点15m远的路面上．在路灯的照射下，路基CP留在地面上的影长EP为0.4m，小明留在路面上的影长NF为3m，求路灯AB的高度．





18．（2021•金台区一模）傍晚，小张和妈妈在某公园散步，发现公园的一路灯旁有一棵古老的大树，大树的顶端恰好与路灯的灯泡在同一水平线上，小华激动地说：“妈妈，我可以通过测量您的影长，计算出这棵大树的高度．”小华让妈妈先站在D处，测得妈妈的影长DF＝1.6m．妈妈沿BD的方向到达点F处，此时小华测得妈妈的影长FG＝2m．已知妈妈的身高为1.6m（即CD＝EF＝1.6m），点B、D、F、G在同一水平线上，AB⊥BG，CD⊥BG，EF⊥BG．求这棵大树的高度．







19．（2021•韩城市一模）青龙寺是西安最著名的樱花观赏地，品种达到了13种之多，每年3、4月陆续开放的樱花让这里成为了花的海洋．一天，小明和小刚去青龙寺游玩，想利用所学知识测量一棵樱花树的高度（樱花树四周被围起来了，底部不易到达）．小明在F处竖立了一根标杆EF，小刚走到C处时，站立在C处看到标杆顶端E和树的顶端B在一条直线上．此时测得小刚的眼睛到地面的距离DC＝1.6米；然后，小刚在C处蹲下，小明平移标杆到H处时，小刚恰好看到标杆顶端G和树的顶端B在一条直线上，此时测得小刚的眼睛到地面的距离MC＝0.8米．已知EF＝GH＝2.4米，CF＝2米，FH＝1.6米，点C、F、H、A在一条直线上，点M在CD上，CD⊥AC，EF⊥AC，GH⊥AC，AB⊥AC．根据以上测量过程及测量数据，请你求出这棵樱花树AB的高度．









20．（2020秋•富平县期末）小雁塔位于西安市南郊的荐福寺内，又称“荐福寺塔”，建于唐景龙年间，与大雁塔同为唐长安城保留至今的重要标志．数学活动小组的同学对该塔进行了测量，测量方法如下：如图所示，间接测得该塔底部点B到地面上一点E的距离为38米，塔的顶端为点A，且AB⊥EB，在点E处竖直放一根标杆，其顶端为D，DE⊥EB，在BE的延长线上找一点C，使C，D，A三点在同一直线上，测得CE＝2米．已知标杆DE＝2.2米，求该塔的高度AB．






21．（2021春•唐山月考）如图，Rt△ABC为一块铁板余料，∠B＝90°，BC＝6cm，AB＝8cm，要把它加工成正方形小铁板，有如图所示的两种加工方案，请你分别计算这两种加工方案的正方形的边长．








22．（2021•雁塔区校级二模）如图，建筑物BC上有一根旗杆AB，小芳计划用学过的知识测量该建筑物的高度，测量方法如下：在该建筑物底部所在的平地上有一棵小树FD，小芳沿CD后退，发现地面上的点E、树顶F、旗杆顶端A恰好在一条直线上，继续后退，发现地面上的点G、树顶F、建筑物顶端B恰好在一条直线上，已知旗杆AB＝3米，FD＝4米，DE＝5米，EG＝1.5米，点A、B、C在一条直线上，点C、D、E、G在一条直线上，AC、FD均垂直于CG，请你帮助小芳求出这座建筑物的高BC．





23．（2021•陕西模拟）如图，强强同学为了测量学校一棵笔直的大树OE的高度，先在操场上点A处放一面平面镜，从点A处后退1m到点B处，恰好在平面镜中看到树的顶部E点的像；再将平面镜向后移动4m（即AC＝4m）放在C处，从点C处向后退1.5m到点D处，恰好再次在平面镜中看到大树的顶部E点的像，测得强强的眼睛距地面的高度FB、GD为1.5m，已知点O，A，B，C，D在同一水平线上，且GD⊥OD，FB⊥OD，EO⊥OD．求大树OE的高度．（平面镜的大小忽略不计）



24．（2020秋•昌图县期末）如图，小明同学为了测量教学楼的高度OE，先在操场上点A处放一面镜子，从点A处后退1m到点B处，恰好在镜子中看到楼的顶部E点；再将镜子向后移动4m放在C处，从点C处向后退1.5m到点D处，恰好再次在镜子中看到楼的顶部E点，测得小明的眼睛距地面的高度FB，GD为1.5m，点O，A，B，C，D在同一水平线上，镜子可看成一个点．求教学楼的高度OE．






25．（2020秋•平阴县期末）如图，某同学想测量旗杆的高度，他在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长1.5米，在同时刻测量旗杆的影长时，因旗杆靠近一楼房，影子不全落在地面上，有一部分落在墙上，他测得落在地面上影长为21米，留在墙上的影高为2米，求旗杆的高度．







26．（2020秋•韩城市期末）如图，某中学两座教学楼中间有个路灯，甲、乙两个人分别在楼上观察路灯顶端，视线所及如图①所示．根据实际情况画出平面图形如图②，CD⊥DF，AB⊥DF，EF⊥DF，甲从点C可以看到点G处，乙从点E恰巧可以看到点D处，点B是DF的中点，路灯AB高8米，DF＝120米，tan∠AGB＝，求甲、乙两人的观测点到地面的距离的差．





27．（2021•崆峒区一模）如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P、Q、S共线且直线PS与河垂直，接着再过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R．如果测得QS＝45m，ST＝90m，QR＝60m，求河的宽度PQ．
人教版数学九年级全册压轴题专题精选汇编
专题 相似三角形的应用
一．选择题
1．（2020秋•曾都区期末）《九章算术》是中国古代的数学专著，它奠定了中国古代数学的基本框架，以计算为中心，密切联系实际，以解决人们生产、生活中的数学问题为目的．书中记载了这样一个问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何．”其大意是：如图，Rt△ABC的两条直角边的长分别为5和12，则它的内接正方形CDEF的边长为（ ）
A．B．C．D．
【思路引导】根据正方形的性质得：DE∥BC，则△ADE∽△ACB，列比例式可得结论．
【完整解答】解：∵四边形CDEF是正方形，
∴CD＝ED，DE∥CF，
设ED＝x，则CD＝x，AD＝5﹣x，
∵DE∥CF，
∴∠ADE＝∠C，∠AED＝∠B，
∴△ADE∽△ACB，
∴＝，
∴＝，
∴x＝，
∴正方形CDEF的边长为．
故选：B．
2．（2021春•阜南县月考）如图，一束平行的阳光从教室窗户射入，小兵同学量出BC＝1m，NC＝m，BN＝m，AC＝4.5m，MC＝6m，则MA的长为（ ）
A．5mB．7.5mC．6mD．5.5m
【思路引导】由于光线是平行的，因此BN∥AM，可得△BCN∽△ACM，根据三角形相似的性质，对应线段成比例，列出等式求解即可得出MA．
【完整解答】解：∵BN∥AM，
∴△BCN∽△ACM，
∴＝，
∵BC＝1m，BN＝m，AC＝4.5m，
∴＝，
∴MA＝7.5（m）．
故选：B．
3．（2021•招远市一模）小刚身高1.7m，测得他站立在阳光下的影子长为0.85m，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为1.11m，那么小刚举起的手臂超出头顶（ ）
A．0.5mB．0.52mC．0.55mD．2.22m
【思路引导】根据在同一时物体的高度和影长成正比，设出手臂竖直举起时总高度x，即可列方程解出x的值，再减去身高即可得出小刚举起的手臂超出头顶的高度．
【完整解答】解：设手臂竖直举起时总高度xm，列方程得：
＝，
解得x＝2.22，
2.22﹣1.7＝0.52m，
所以小刚举起的手臂超出头顶的高度为0.52m．
故选：B．
4．（2021•深圳模拟）如图，小颖身高为160cm，在阳光下影长AB＝240cm，当她走到距离墙角（点D）120cm的C处时，她的部分影子投射到墙上，则投射在墙上的影子DE的长度为（ ）
A．120cmB．80cmC．60cmD．40cm
【思路引导】过E作EF⊥CG于F，利用相似三角形列出比例式求出投射在墙上的影子DE长度即可．
【完整解答】解：过E作EF⊥CG于F，
设投射在墙上的影子DE长度为xcm，由题意得：△GFE∽△HAB，
∴AB：FE＝AH：（GC﹣x），
则240：120＝160：（160﹣x），
解得：x＝80．
即：投射在墙上的影子DE长度为80cm．
故选：B．
5．（2020秋•大理市期末）如图是一块三角形钢材ABC，其中边BC＝60cm，高AD＝40cm，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，则这个正方形零件的边长是（ ）
A．16B．24C．30D．36
【思路引导】根据正方形的对边平行得到BC∥EF，利用“平行于三角形的一边的直线截其它两边或其它两边的延长线，得到的三角形与原三角形相似”，设正方形零件的边长为xcm，则KD＝EF＝xcm，AK＝（40﹣x）cm，根据相似三角形的性质得到比例式，解方程即可得到结果．
【完整解答】解：∵四边形EGHF为正方形，
∴BC∥EF，
∴△AEF∽△ABC；
设正方形零件的边长为x cm，则KD＝EF＝xcm，AK＝（40﹣x）cm，
∵AD⊥BC，
∴＝，
∴＝，
解得：x＝24．
即：正方形零件的边长为24cm．
故选：B．
6．（2020秋•孝义市期末）如图是用卡钳测量容器内径的示意图，已知卡钳的四个端点A，B，C，D到支点O的距离满足，且OA＝OB．现在只要测得卡钳外端C，D两个端点之间的距离，就可以计算出容器的内径d的大小．这种测量原理用到了（ ）
A．图形的旋转B．图形的平移
C．图形的轴对称D．图形的相似
【思路引导】首先连接AB、CD，然后根据“两边及夹角”判定△AOB∽△COD．
【完整解答】解：如图，连接AB、CD，
∵，OA＝OB，
∴OC＝OD，
∴＝．
又∵∠AOB＝∠COD，
∴△AOB∽△COD．
∴＝＝2，
∴AB＝2CD，即d＝2CD．
所以这种测量原理用到了图形的相似．
故选：D．
7．（2020秋•滨湖区期末）有一个三角形木架三边长分别是15cm，20cm，24cm，现要再做一个与其相似的三角形木架，而只有长为12cm和24cm的两根木条．要求以其中一根为一边，从另一根截下两段作为另两边（允许有余料），则不同的截法有（ ）
A．一种B．两种C．三种D．四种
【思路引导】分类讨论：长24cm的木条与三角形木架的最长边相等，则长24cm的木条不能作为一边，设从24cm的一根上截下的两段长分别为xcm，ycm（x+y≤24），易得长12cm的木条不能与15cm的一边对应，所以当长12cm的木条与20cm的一边对应时有＝＝；当长12cm的木条与24cm的一边对应时有＝＝，然后分别利用比例的性质计算出两种情况下得x和y的值．
【完整解答】解：长24cm的木条与三角形木架的最长边相等，要满足两边之和大于第三边，则长24cm的木条不能作为一边，
设从24cm的木条上截下两段长分别为xcm，ycm（x+y≤24），
由于长12cm的木条不能与15cm的一边对应，否则x+y＞24cm，
当长12cm的木条与20cm的一边对应，则＝＝，
解得：x＝9，y＝14.4；
当长12cm的木条与24cm的一边对应，则＝＝，
解得：x＝7.5，y＝10．
∴有两种不同的截法：把24cm的木条截成9cm、14.4cm两段或把24cm的木条截成7.5cm、10cm两段．
故选：B．
8．（2020秋•东城区期末）如图，在圆形花圃中有两条笔直的小径，两端都在花圃边界上，分别记为AC，BD，设交点为P，点C，D之间有一座假山，为了测量C，D之间的距离，小明已经测量了线段AP和PD的长度，只需再测量一条线段的长度，就可以计算C，D之间的距离．小明应该测量的是（ ）
A．线段BPB．线段CPC．线段ABD．线段AD
【思路引导】利用两角法证得△APB∽△DPC，由该相似三角形的对应边成比例求得线段CD的长度．
【完整解答】解：如图，连接AB．
∵∠DCP＝∠ABP，∠DPC＝∠APB，
∴△APB∽△DPC，
∴AP：DP＝AB：DC．
∴只需再测量AB线段的长度，就可以计算C，D之间的距离．
故选：C．
二．填空题
9．（2021•吉林）如图，为了测量山坡的护坡石坝高，把一根长为4.5m的竹竿AC斜靠在石坝旁，量出竿上AD长为1m时，它离地面的高度DE为0.6m，则坝高CF为 2.7 m．
【思路引导】根据DE∥CF，可得，进而得出CF即可．
【完整解答】解：如图，过C作CF⊥AB于F，则DE∥CF，
∴，即，
解得CF＝2.7，
故答案为：2.7．
10．（2021•嘉定区三模）清朝《数理精蕴》里有一首小诗《古色古香方城池》：今有一座古方城，四面正中都开门，南门直行八里止，脚下有座塔耸立．又出西门二里停，切城角恰见塔形，请问诸君能算者，方城每边长是几？
如图所示，诗的意思是：有正方形的城池一座，四面城墙的正中有门，从南门口（点D）直行8里有一塔（点A），自西门（点E）直行2里至点B，切城角（点C）也可以看见塔，问这座方城每面城墙的长是 8 里．
【思路引导】设这座方城每面城墙的长为x里，根据题意得到BE∥CD，∠BEC＝∠ADC＝90°，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【完整解答】解：设这座方城每面城墙的长为x里，
由题意得，BE∥CD，∠BEC＝∠ADC＝90°，CE＝CD＝x，BE＝2里，AD＝8里，
∴∠B＝∠ACD，
∴△CEB∽△ADC，
∴，
∴，
∴x＝8，
答：这座方城每面城墙的长为8里，
故答案为：8．
11．（2021•莆田模拟）莆田湄洲岛，是亿万妈祖信徒敬仰的圣地，这里的妈祖庙更是名扬四海．在湄洲妈祖庙的正殿前方上建造了一尊巨型石雕妈祖像，面向台湾海峡，为海峡两岸同胞共同瞻仰．小颖想测量雕像的高，她先测得雕像的影长为4.1m，并在同一时刻测得一根长为1.4m的竹竿的影长是0.4m．请你帮她算一下，石雕妈祖像高是 14.35 m．
【思路引导】根据题意作出图形，然后根据相似三角形的性质可得答案．
【完整解答】解：根据题意，作出如下图形：石雕妈祖像身高为AB，影长为BE，同一时刻竹竿为CD，竹竿的影子为ED．
设石雕妈祖像身高为xm，
∵AB∥CD，
∴△ABE∽△CDE，
∴，
∴x＝14.35，
∴石雕妈祖像身高为14.35m，
故答案为：14.35．
12．（2021•瑞安市一模）数学兴趣小组计划测量公路上路灯的高度AB，准备了标杆CD，EF及皮尺，按如图竖直放置标杆CD与EF．已知CD＝EF＝2米，DF＝2米，在路灯的照射下，标杆CD的顶端C在EF上留下的影子为G，标杆EF在地面上的影子是FH，测得FG＝0.5米，FH＝4米，则路灯的高度AB＝ 5 米．
【思路引导】延长CG交FH于M，根据相似三角形的判定和性质解答即可．
【完整解答】解：如图，延长CG交FH于M，
∵∠GMF＝∠CMD，∠GFM＝∠CDM＝90°，
∴△GFM∽△CDM，
∴，
设FM为a米，则a＝（a+2）×，
解得：a＝，
设BD＝x米，AB＝y米，
同理可得，△CMD∽△AMB，
∴，，
可得，，
整理得：，
解得：，
经检验是分式方程组的解，
∴AB＝5米．
故答案为：5．
13．（2020秋•汉寿县期末）学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC位置，已知AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B，D，AO＝6m，AB＝1.2m，CO＝1m，则栏杆C端应下降的垂直距离CD为 0.2 m．
【思路引导】由∠ABO＝∠CDO＝90°、∠AOB＝∠COD知△ABO∽△CDO，据此得＝，将已知数据代入即可得．
【完整解答】解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABO＝∠CDO＝90°，
又∵∠AOB＝∠COD，
∴△ABO∽△CDO，
则＝，
∵AO＝6m，AB＝1.2m，CO＝1m，
∴＝，
解得：CD＝0.2，
∴栏杆C端应下降的垂直距离CD为0.2m．
故答案为：0.2．
14．（2020秋•河南期末）如图，为了确定一条河的宽度，测量人员观察到在对岸岸边P点处有一根柱子，再在他们所在的这一侧岸上选点A和点B，使得B，A，P在同一条直线上，且与河岸垂直，随后确定点C，点D，使AC⊥BP，BD⊥BP，由观测可以确定AC与DP的交点C．他们测得AB＝20m，AC＝40m，BD＝50m，从而确定河宽PA为 80 m．
【思路引导】证出△PBD和△PAC相似，然后根据相似三角形对应边成比例列式求解即可求得PA．
【完整解答】解：∵AC⊥BP，BD⊥BP，
∴AC∥BD，
∴△PBD∽△PAC，
∴＝，
∵AB＝20m，AC＝40m，BD＝50m，
即＝，
解得：PA＝80．
故答案为：80．
15．（2020•孝感模拟）《九章算术》是我国数学经典，上面记载：“今有邑方不知大小，各中开门．出北门三十步有木，出西门七百五十步见木．问邑方几何？”其意思是：如图，已知正方形小城ABCD，点E，G分别为CD，AD的中点，EF⊥CD，GH⊥AD，点F，D，H在一条直线上，EF＝30步，GH＝750步．问正方形小城ABCD的边长是多少？该问题的答案是 300步 ．
【思路引导】根据题意，可知Rt△DFE∽Rt△HDG，从而可以得到对应边的比相等，从而可以求得正方形的边长．
【完整解答】解：设正方形的边长为x步，
∵点G、点E分别是正方形ABCD的边AD、CD的中点，
∴DG＝AD，DE＝CD，
∴DG＝DE，
由题意易得，∠FDE＝∠H，∠FED＝∠DGH＝90°．
∴Rt△DFE∽Rt△HDG，
∴，
而EF＝30步，GH＝750步，
即DE×DG＝EF×HG，
∴DE2＝30×750＝22500，
解得：DE＝150，
∴CD＝2DE＝300步．
故答案为：300步．
16．（2020•泰顺县二模）图1是一种手机托架，使用该手机托架示意图如图3所示，底部放置手机处宽AB＝1.2厘米，托架斜面长BD＝6厘米，它有C到F共4个档位调节角度，相邻两个档位间的距离为0.8厘米，档位C到B的距离为2.4厘米．将某型号手机置于托架上（图2），手机屏幕长AG是15厘米，O是支点且OB＝OE＝2.5厘米（支架的厚度忽略不计）．当支架调到E档时，点G离水平面的距离GH为 厘米；当支架从E档调到F档时，点D离水平面的距离下降了 厘米．
【思路引导】如图3中，作DT⊥AH于T，OK⊥BD于K．解直角三角形求出BK，OK，利用相似三角形的性质求出DT，BT，AD，GH即可，再求出支架调到F档时DT的长即可解决问题．
【完整解答】解：如图3中，作DT⊥AH于T，OK⊥BD于K．
∵OB＝OE＝2.5cm，BE＝4cm，OK⊥BE，
∴BK＝KE＝2（cm），
∴OK＝＝＝1.5（cm），
∵∠OBK＝∠DBT，∠OKB＝∠BTD＝90°，
∴△BKO∽△BTD，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴BT＝4.8（cm），DT＝3.6（cm），
∴AD＝＝＝（cm），
∵DT∥GH，
∴＝，
∴＝
∴GH＝（cm），

如图3﹣1中，当支架调到F档时，作DT⊥AH于T，OK⊥BD于K．
∵OB＝OE＝2.5cm，BF＝4.8cm，OK⊥BF，
∴BK＝KF＝2.4（cm），
∴OK＝＝＝0.7（cm），
∵∠OBK＝∠DBT，∠OKB＝∠BTD＝90°，
∴△BKO∽△BTD，
∴＝，
∴＝，
∴DT＝（cm），
∵3.6﹣＝（cm），
∴点D离水平面的距离下降了cm，
故答案为，．
三．解答题
17．（2021春•工业园区期末）如图，安装路灯AB的路面CD比种植树木的地面PQ高1.2m（CP＝1.2m）身高1.8m的小明MN站在距离C点15m远的路面上．在路灯的照射下，路基CP留在地面上的影长EP为0.4m，小明留在路面上的影长NF为3m，求路灯AB的高度．
【思路引导】如图，设AB＝xm，CB＝ym．构建方程组解决问题即可．
【完整解答】解：如图，设AB＝xm，CB＝ym．
∵＝，＝，
∴，
解得，
经检验是分式方程的解，
∴AB＝9（m），
答：灯AB的高度为9m．
18．（2021•金台区一模）傍晚，小张和妈妈在某公园散步，发现公园的一路灯旁有一棵古老的大树，大树的顶端恰好与路灯的灯泡在同一水平线上，小华激动地说：“妈妈，我可以通过测量您的影长，计算出这棵大树的高度．”小华让妈妈先站在D处，测得妈妈的影长DF＝1.6m．妈妈沿BD的方向到达点F处，此时小华测得妈妈的影长FG＝2m．已知妈妈的身高为1.6m（即CD＝EF＝1.6m），点B、D、F、G在同一水平线上，AB⊥BG，CD⊥BG，EF⊥BG．求这棵大树的高度．
【思路引导】在同一时刻物高和影长成正比，根据相似三角形的性质即可解答．
【完整解答】解：∵CD∥EF∥AB，
∴△CDF∽△ABF，△ABG∽△EFG，
∴，，
又∵CD＝EF，
∴，
∵DF＝1.6m，FG＝2m，
∴BF＝BD+DF＝BD+1.6，BG＝BD+DF+FG＝BD+3.6，
∴＝，
∴BD＝6.4m，BF＝6.4+1.6＝8（m），
∴＝，
解得，AB＝8．
答：这棵大树的高度是8m．
19．（2021•韩城市一模）青龙寺是西安最著名的樱花观赏地，品种达到了13种之多，每年3、4月陆续开放的樱花让这里成为了花的海洋．一天，小明和小刚去青龙寺游玩，想利用所学知识测量一棵樱花树的高度（樱花树四周被围起来了，底部不易到达）．小明在F处竖立了一根标杆EF，小刚走到C处时，站立在C处看到标杆顶端E和树的顶端B在一条直线上．此时测得小刚的眼睛到地面的距离DC＝1.6米；然后，小刚在C处蹲下，小明平移标杆到H处时，小刚恰好看到标杆顶端G和树的顶端B在一条直线上，此时测得小刚的眼睛到地面的距离MC＝0.8米．已知EF＝GH＝2.4米，CF＝2米，FH＝1.6米，点C、F、H、A在一条直线上，点M在CD上，CD⊥AC，EF⊥AC，GH⊥AC，AB⊥AC．根据以上测量过程及测量数据，请你求出这棵樱花树AB的高度．
【思路引导】过点D作DP⊥AB于点P，交EF于点N，过点M作MQ⊥AB于点Q，交GH于点K，构造相似三角形：△DEN∽△DBP，△GMK∽△BMQ，利用相似三角形的对应边成比例求得相关线段的长度即可．
【完整解答】解：过点D作DP⊥AB于点P，交EF于点N，过点M作MQ⊥AB于点Q，交GH于点K，
由题意可得：DP＝MQ＝AC，DN＝CF＝2米，MK＝CH，AP＝DC＝1.6米，AQ＝HK＝MC＝0.8米．
∵∠EDN＝∠BDP，∠END＝∠BPD＝90°，∠GMK＝∠BMQ，∠GKM＝BQM＝90°，
∴△DEN∽△DBP，△GMK∽△BMQ，
∴＝，＝．
∴＝，＝．
∴AB＝8.8（米）．
答：这棵樱花树AB的高度是8.8米．
20．（2020秋•富平县期末）小雁塔位于西安市南郊的荐福寺内，又称“荐福寺塔”，建于唐景龙年间，与大雁塔同为唐长安城保留至今的重要标志．数学活动小组的同学对该塔进行了测量，测量方法如下：如图所示，间接测得该塔底部点B到地面上一点E的距离为38米，塔的顶端为点A，且AB⊥EB，在点E处竖直放一根标杆，其顶端为D，DE⊥EB，在BE的延长线上找一点C，使C，D，A三点在同一直线上，测得CE＝2米．已知标杆DE＝2.2米，求该塔的高度AB．
【思路引导】通过证明△ABC∽△DEC，得到该相似三角形的对应边成比例，即，易得答案．
【完整解答】解：∵AB⊥EB，DE⊥EB，
∴∠DEC＝∠ABC＝90°，
又∵∠DCE＝∠ACB，
∴△ABC∽△DEC，
∴，即，
解得：AB＝44（米）．
答：该塔的高度AB为44米．
21．（2021春•唐山月考）如图，Rt△ABC为一块铁板余料，∠B＝90°，BC＝6cm，AB＝8cm，要把它加工成正方形小铁板，有如图所示的两种加工方案，请你分别计算这两种加工方案的正方形的边长．
【思路引导】方案①：设正方形的边长为xcm，然后求出△AEF和△ABC相似，利用相似三角形对应边成比例列式计算即可得解．
方案②：作BH⊥AC于H，交DE于K，构造矩形DKHG和相似三角形（△BDE∽△BCA），利用矩形的性质和等面积法求得线段BH的长度，则BK＝4.8﹣y；然后由相似三角形的对应边成比例求得答案．
【完整解答】解：设方案①正方形的边长为xcm，
∵∠ABC＝90°，四边形BDFE是正方形，
∴EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴＝，
即＝，
解得x＝，
即加工成正方形的边长为cm．

设方案②正方形的边长为ycm，作BH⊥AC于H，交DE于K，
∵四边形EDGF是正方形，
∴DE∥AC，∠EDG＝∠DGF＝90°．
∴BH⊥DE于K．
∴∠DKH＝90°．
∴四边形DKHG为矩形．
故设HK＝DG＝y．
∴DE∥AC．
∴△BDE∽△BCA．
∴＝．
∵AC＝＝10．
∴S△ABC＝＝×BH．
∴BH＝4.8．
∴BK＝4.8﹣y．
∴＝．
解得y＝．
即方案②加工成正方形的边长为cm．
22．（2021•雁塔区校级二模）如图，建筑物BC上有一根旗杆AB，小芳计划用学过的知识测量该建筑物的高度，测量方法如下：在该建筑物底部所在的平地上有一棵小树FD，小芳沿CD后退，发现地面上的点E、树顶F、旗杆顶端A恰好在一条直线上，继续后退，发现地面上的点G、树顶F、建筑物顶端B恰好在一条直线上，已知旗杆AB＝3米，FD＝4米，DE＝5米，EG＝1.5米，点A、B、C在一条直线上，点C、D、E、G在一条直线上，AC、FD均垂直于CG，请你帮助小芳求出这座建筑物的高BC．
【思路引导】根据相似三角形的判定和性质得出CD，进而解答即可．
【完整解答】解：由题意可得，∠ACE＝∠EDF＝90°，∠AEC＝∠FED，
∴△ACE∽△FDE，
∴，
即，
∴CD＝，
由题意可得，∠BCG＝∠FDG＝90°，∠BGC＝∠FGD，
∴△BCG∽△FDG，
∴，
即，
∴6.5BC＝4（CD+6.5），
∴6.5BC＝4×，
∴BC＝14（米），
∴这座建筑物的高BC为14米．
23．（2021•陕西模拟）如图，强强同学为了测量学校一棵笔直的大树OE的高度，先在操场上点A处放一面平面镜，从点A处后退1m到点B处，恰好在平面镜中看到树的顶部E点的像；再将平面镜向后移动4m（即AC＝4m）放在C处，从点C处向后退1.5m到点D处，恰好再次在平面镜中看到大树的顶部E点的像，测得强强的眼睛距地面的高度FB、GD为1.5m，已知点O，A，B，C，D在同一水平线上，且GD⊥OD，FB⊥OD，EO⊥OD．求大树OE的高度．（平面镜的大小忽略不计）
【思路引导】根据题意得到△GDC∽△EOC和△BAF∽△OAE，利用相似三角形的对应边的比相等列式计算即可．
【完整解答】解：由已知得，AB＝1m，CD＝1.5m，AC＝4m，FB＝GD＝1.5m，∠AOE＝∠ABF＝∠CDG＝90°，∠BAF＝∠OAE，∠DCG＝∠OCE．
∵∠BAF＝∠OAE，∠ABF＝∠AOE，
∴△BAF∽△OAE，
∴＝，即＝，
∴OE＝1.5OA，
∵∠DCG＝∠OCE，∠CDG＝∠COE，
∴△GDC∽△EOC，
∴＝，即＝，
∴OE＝OA+4，
∴OE＝1.5OA，
∴1.5OA＝OA+4，
∴OA＝8m，OE＝12m．
答：大树的高度OE为12m．
24．（2020秋•昌图县期末）如图，小明同学为了测量教学楼的高度OE，先在操场上点A处放一面镜子，从点A处后退1m到点B处，恰好在镜子中看到楼的顶部E点；再将镜子向后移动4m放在C处，从点C处向后退1.5m到点D处，恰好再次在镜子中看到楼的顶部E点，测得小明的眼睛距地面的高度FB，GD为1.5m，点O，A，B，C，D在同一水平线上，镜子可看成一个点．求教学楼的高度OE．
【思路引导】根据题意得到△GDC∽△EOC和△BAF∽△OAE，利用相似三角形的对应边的比相等列式计算即可．
【完整解答】解：由已知得，AB＝1m，CD＝1.5m，AC＝4m，FB＝GD＝1.5m，∠AOE＝∠ABF＝∠CDG＝90°，∠BAF＝∠OAE，∠DCG＝∠OCE．
∵∠BAF＝∠OAE，∠ABF＝∠AOE，
∴△BAF∽△OAE，
∴＝，即＝，
∴OE＝1.5OA，
∵∠DCG＝∠OCE，∠CDG＝∠COE，
∴△GDC∽△EOC，
∴＝，即＝，
∴OE＝OA+4，
∴OE＝1.5OA，
∴1.5OA＝OA+4，
∴OA＝8m，OE＝12m．
答：教学楼的高度OE为12m．
25．（2020秋•平阴县期末）如图，某同学想测量旗杆的高度，他在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长1.5米，在同时刻测量旗杆的影长时，因旗杆靠近一楼房，影子不全落在地面上，有一部分落在墙上，他测得落在地面上影长为21米，留在墙上的影高为2米，求旗杆的高度．
【思路引导】过C作CE⊥AB于E，首先证明四边形CDBE为矩形，可得BD＝CE＝21，CD＝BE＝2，设AE＝x，则＝，求出x即可解决问题．
【完整解答】解：过C作CE⊥AB于E，
∵CD⊥BD，AB⊥BD，
∴∠EBD＝∠CDB＝∠CEB＝90°，
∴四边形CDBE为矩形，
∴BD＝CE＝21，CD＝BE＝2，
设AE＝x，
∴＝，
解得：x＝14，
∴旗杆的高AB＝AE+BE＝14+2＝16米．
26．（2020秋•韩城市期末）如图，某中学两座教学楼中间有个路灯，甲、乙两个人分别在楼上观察路灯顶端，视线所及如图①所示．根据实际情况画出平面图形如图②，CD⊥DF，AB⊥DF，EF⊥DF，甲从点C可以看到点G处，乙从点E恰巧可以看到点D处，点B是DF的中点，路灯AB高8米，DF＝120米，tan∠AGB＝，求甲、乙两人的观测点到地面的距离的差．
【思路引导】先用锐角三角函数求出BG，再由相似三角形的性质得出比例式求出CD，
【完整解答】解：由题意可知：BD＝60米，DF＝120米，
∴DG＝60米，EF＝2AB＝16，
∵AB＝8，tan∠AGB＝，
∴BG＝3AB＝24米；
∵CD⊥DF，AB⊥DF，EF⊥DF，
∴AB∥CD∥EF，
∴△ABG∽△CDG，
∴
∴CD＝28米，
∴CD﹣EF＝28﹣16＝12米，
所以两人的观测点到地面的距离的差为12米．
27．（2021•崆峒区一模）如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P、Q、S共线且直线PS与河垂直，接着再过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R．如果测得QS＝45m，ST＝90m，QR＝60m，求河的宽度PQ．
【思路引导】根据相似三角形的性质得出＝，进而代入求出即可．
【完整解答】解：根据题意得出：QR∥ST，
则△PQR∽△PST，
故＝，
∵QS＝45m，ST＝90m，QR＝60m，
∴＝，
解得：PQ＝90（m），
∴河的宽度为90米．