九年级上学期数学压轴必考题型——根的判别式与韦达定理练习（含答案）

这是一份九年级上学期数学压轴必考题型——根的判别式与韦达定理练习（含答案），共31页。试卷主要包含了，下列说法等内容，欢迎下载使用。
一．选择题
1．（2021春•九龙坡区期末）若实数a使关于x的一元二次方程（a+1）x2﹣3x+1＝0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（ ）
A．a＜B．a＜且a≠﹣1C．a＞D．a＞且a≠﹣1
2．（2021春•潜山市期末）利用配方法解方程x2﹣x﹣1＝0时，应先将其变形为（ ）
A．（x+）2＝B．（x﹣）2＝
C．（x﹣）2＝D．（x+）2＝
3．（2021春•上城区期末）下列方程的根是无理数的是（ ）
A．（x+）（x﹣）＝﹣4B．（2x﹣1）2＝（3x+1）2
C．x2+4x﹣3＝0D．2x2﹣7x＝0
4．（2021春•拱墅区期末）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2kx+k﹣3＝0有实数根，则k的取值范围为（ ）
A．k≥B．k≥且k≠1C．k≥0D．k≥0且k≠1
5．（2021春•合肥期末）若（a2+b2）（a2+b2﹣3）＝4，则a2+b2的值为（ ）
A．4B．﹣4C．﹣1D．4或﹣1
6．（2021春•安徽期末）已知α，β是方程x2+2017x+1＝0的两个根，则（1+2020α+α2）（1+2020β+β2）的值为（ ）
A．4B．9C．12D．15
7．（2021•庐阳区校级一模）已知三个实数a，b，c满足ab＜0，a+b+c＝0，a﹣b+c＞0，则下列结论成立的是（ ）
A．a＞0，b2≥4acB．a＞0，b2≤4acC．a＜0，b2≥4acD．a＜0，b2≤4ac
8．（2020秋•市中区期中）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：
①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0；
②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根；
③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；
④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则
其中正确的（ ）
A．只有①②B．只有①②④C．①②③④D．只有①②③
9．（2018•咸宁模拟）实数a，b，c满足a﹣b+c＝0，则（ ）
A．b2﹣4ac＞0B．b2﹣4ac＜0C．b2﹣4ac≥0D．b2﹣4ac≤0
10．（2018•鞍山）若关于x的一元二次方程kx2﹣x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＞且k≠0B．k＜且k≠0C．k≤且k≠0D．k＜
二．填空题
11．（2021•湖北）关于x的方程x2﹣2mx+m2﹣m＝0有两个实数根α，β，且＝1，则m＝ ．
12．（2021•南京）设x1，x2是关于x的方程x2﹣3x+k＝0的两个根，且x1＝2x2，则k＝ ．
13．（2021•徐州二模）已知一元二次方程x2﹣5x+c＝0有一个根为4，则另一个根为 ．
14．（2021春•吴兴区校级期中）若关于x的方程（k﹣2）x2﹣4x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ．
15．（2020•大庆）已知关于x的一元二次方程：x2﹣2x﹣a＝0，有下列结论：
①当a＞﹣1时，方程有两个不相等的实根；
②当a＞0时，方程不可能有两个异号的实根；
③当a＞﹣1时，方程的两个实根不可能都小于1；
④当a＞3时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3．
以上4个结论中，正确的个数为 ．
16．（2020•金牛区校级模拟）已知关于x的方程a（x+m）2+b＝0（a、b、m为常数，a≠0）的解是x1＝2，x2＝﹣1，那么方程a（x+m+2）2+b＝0的解 ．
17．（2020秋•常州期中）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有 （填序号）
①方程x2﹣x﹣2＝0是倍根方程；
②若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程：则4m2+5mn+n2＝0；
③若p，q满足pq＝2，则关于x的方程px2+3x+q＝0是倍根方程；
④若方程以ax2+bx+c＝0是倍根方程，则必有2b2＝9ac．
18．（2020秋•奈曼旗月考）一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程x2﹣7x+12＝0的一个根，则此三角形的周长是 ．
19．（2019•简阳市 模拟）设α、β是方程x2+2013x﹣2＝0的两根，则（α2+2016α﹣1）（β2+2016β﹣1）＝ ．
20．（2020•黄州区校级模拟）若方程x2+2（1+a）x+3a2+4ab+4b2+2＝0有实根，则＝
三．解答题
21．（2021春•浦江县期末）解下列方程：
（1）x2﹣4x﹣5＝0； （2）x2﹣7x+1＝0（用公式法解）．


22．（2021春•当涂县期末）（1）计算（﹣2）．


（2）解方程（x+5）（x﹣3）＝2（x﹣3）．


23．（2021春•高邮市期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2a﹣1）x+a2+1＝0两根为x1，x2．
（1）已知x1﹣x2＝0，求a的值；
（2）化简：﹣|2﹣a|．







24．（2020秋•大余县期末）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．



25．（2020秋•兴国县期末）已知关于x的方程x2+（2m﹣1）x+m2＝0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）设α，β是方程的两个实数根，是否存在实数m使得α2+β2﹣αβ＝6成立？如果存在，请求出来；若不存在，请说明理由．



26．（2020秋•来宾期末）已知关于x的方程x2+ax+a﹣2＝0
（1）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根；
（2）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一个根．




27．（2021春•太湖县期末）已知关于x的一元二次方程x2+2x+2k﹣4＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若k为正整数，且该方程的两个根都是整数，求k的值并求出方程的两个整数根．



28．（2020•浙江自主招生）已知关于x的一元二次方程|x2﹣1|＝（x﹣1）（kx﹣2）：
（1）若k＝3，求方程的解；
（2）若方程恰有两个不同解，求实数k的取值范围．



29．（2020秋•巩义市期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+4（k﹣）＝0．
（1）判断这个一元二次方程的根的情况；
（2）若等腰三角形的一边长为3，另两条边的长恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长及面积．
人教版数学九年级全册压轴题专题精选汇编
专题 根的判别式与韦达定理
一．选择题
1．（2021春•九龙坡区期末）若实数a使关于x的一元二次方程（a+1）x2﹣3x+1＝0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（ ）
A．a＜B．a＜且a≠﹣1C．a＞D．a＞且a≠﹣1
【思路引导】根据关于x的一元二次方程（a+1）x2﹣3x+1＝0有两个不相等的实数根知（﹣3）2﹣4×（a+1）×1＞0且a+1≠0，解之即可．
【完整解答】∵关于x的一元二次方程（a+1）x2﹣3x+1＝0有两个不相等的实数根，
∴（﹣3）2﹣4×（a+1）×1＞0且a+1≠0，
解得a＜且a≠﹣1，
故选：B．
2．（2021春•潜山市期末）利用配方法解方程x2﹣x﹣1＝0时，应先将其变形为（ ）
A．（x+）2＝B．（x﹣）2＝
C．（x﹣）2＝D．（x+）2＝
【思路引导】移项，配方，再变形即可得出选项．
【完整解答】x2﹣x﹣1＝0，
移项，得x2﹣x＝1，
配方，得x2﹣x+（）2＝1+（）2，
即（x﹣）2＝，
故选：B．
3．（2021春•上城区期末）下列方程的根是无理数的是（ ）
A．（x+）（x﹣）＝﹣4B．（2x﹣1）2＝（3x+1）2
C．x2+4x﹣3＝0D．2x2﹣7x＝0
【思路引导】先求出选项中每个方程的解，再逐个判断即可．
【完整解答】A．（x+）（x﹣）＝﹣4，
x2﹣5＝﹣4，
x2＝1，
x＝±1，即方程的根是有理数，不是无理数，故本选项不符合题意；
B．（2x﹣1）2＝（3x+1）2，
开方得：2x﹣1＝±（3x+1），
解得：x1＝﹣2，x2＝0，即方程的根是有理数，不是无理数，故本选项不符合题意；
C．x2+4x﹣3＝0，
x2+4x＝3，
配方，得x2+4x+4＝3+4，
（x+2）2＝7，
开方，得x+2＝，
解得：x1＝﹣2+，x2＝﹣2﹣，即方程的根是无理数，故本选项符合题意；
D．2x2﹣7x＝0，
x（2x﹣7）＝0，
x＝0或2x﹣7＝0，，
解得：x1＝0，x2＝，即方程的根是有理数，不是无理数，故本选项不符合题意；
故选：C．
4．（2021春•拱墅区期末）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2kx+k﹣3＝0有实数根，则k的取值范围为（ ）
A．k≥B．k≥且k≠1C．k≥0D．k≥0且k≠1
【思路引导】根据根的判别式得出k﹣1≠0且Δ＝（﹣2k）2﹣4（k﹣1）（k﹣3）≥0，再求出k的范围即可．
【完整解答】∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2kx+k﹣3＝0有实数根，
∴k﹣1≠0且Δ＝（﹣2k）2﹣4（k﹣1）（k﹣3）≥0，
解得：k≥且k≠1，
故选：B．
5．（2021春•合肥期末）若（a2+b2）（a2+b2﹣3）＝4，则a2+b2的值为（ ）
A．4B．﹣4C．﹣1D．4或﹣1
【思路引导】设y＝a2+b2，用十字相乘法因式分解，解关于y的一元二次方程，求出它的值，对小于0的值要舍去．
【完整解答】设y＝a2+b2（y≥0），则由原方程得到y（y﹣3）＝4．
整理，得（y﹣4）（y+1）＝0．
解得y＝4或y＝﹣1（舍去）．
即a2+b2的值为4．
故选：A．
6．（2021春•安徽期末）已知α，β是方程x2+2017x+1＝0的两个根，则（1+2020α+α2）（1+2020β+β2）的值为（ ）
A．4B．9C．12D．15
【思路引导】由α、β是方程x2+2017x+1＝0的两个根，可得α2+2017α+1＝0，β2+2017β+1＝0，α+β＝﹣2017，αβ＝1，在将（1+2020α+α2）（1+2020β+β2）进行适当的变形，即可求出结果．
【完整解答】∵α，β是方程x2+2017x+1＝0的两个根，
∴α2+2017α+1＝0，β2+2017β+1＝0，α+β＝﹣2017，αβ＝1，
∴（1+2020α+α2）（1+2020β+β2）
＝（1+2017α+α2+3α）（1+2017β+β2+3β）
＝9αβ
＝9，
故选：B．
7．（2021•庐阳区校级一模）已知三个实数a，b，c满足ab＜0，a+b+c＝0，a﹣b+c＞0，则下列结论成立的是（ ）
A．a＞0，b2≥4acB．a＞0，b2≤4acC．a＜0，b2≥4acD．a＜0，b2≤4ac
【思路引导】设y＝ax2+bx+c，由题意可得b2﹣4ac≥0，再由a+c＝﹣b，a+c＞b，ab＜0，得a、b的符号．
【完整解答】设y＝ax2+bx+c，
∵a+b+c＝0，a﹣b+c＞0
∴方程ax2+bx+c＝0有实数根，
即b2﹣4ac≥0．
由题意知，a+c＝﹣b，a+c＞b，
∴﹣b＞b，
即b＜0，
又∵ab＜0，
∴a＞0．
故选：A．
8．（2020秋•市中区期中）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：
①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0；
②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根；
③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；
④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则
其中正确的（ ）
A．只有①②B．只有①②④C．①②③④D．只有①②③
【思路引导】按照方程的解的含义、一元二次方程的实数根与判别式的关系、等式的性质、一元二次方程的求根公式等对各选项分别讨论，可得答案．
【完整解答】①若a+b+c＝0，则x＝1是方程ax2+bx+c＝0的解，
由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知△＝b2﹣4ac≥0，故①正确；
②∵方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，
∴△＝b2﹣4ac＝0﹣4ac＞0，
∴﹣4ac＞0，
则方程ax2+bx+c＝0的判别式△＝b2﹣4ac＞0，
∴方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根，故②正确；
③∵c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，
则ac2+bc+c＝0，
∴c（ac+b+1）＝0
若c＝0，等式仍然成立，
但ac+b+1＝0不一定成立，故③不正确；
④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，
则由求根公式可得：
x0＝或x0＝
∴2ax0+b＝或2ax0+b＝﹣
∴
故④正确．
故选：B．
9．（2018•咸宁模拟）实数a，b，c满足a﹣b+c＝0，则（ ）
A．b2﹣4ac＞0B．b2﹣4ac＜0C．b2﹣4ac≥0D．b2﹣4ac≤0
【思路引导】根据根的判别式，一元二次方程有两个相等或不相等的实数根时，b2﹣4ac≥0．
【完整解答】设一元二次方程为ax2+bx+c＝0
当x＝﹣1时，原方程化为a﹣b+c＝0
所以一元二次方程为ax2+bx+c＝0有实数根，
所以b2﹣4ac≥0．
故选：C．
10．（2018•鞍山）若关于x的一元二次方程kx2﹣x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＞且k≠0B．k＜且k≠0C．k≤且k≠0D．k＜
【思路引导】根据二次项系数非零及根的判别式△≥0，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出结论．
【完整解答】∵关于x的一元二次方程kx2﹣x+1＝0有实数根，
∴k≠0且△＝（﹣1）2﹣4k≥0，
解得：k≤且k≠0．
故选：C．
二．填空题
11．（2021•湖北）关于x的方程x2﹣2mx+m2﹣m＝0有两个实数根α，β，且＝1，则m＝ 3 ．
【思路引导】根据△的意义得到△≥0，即（﹣2m）2﹣4（m2﹣m）≥0，可得m≥0，根据根与系数的关系得到α+β＝2m，αβ＝m2﹣m，再将＝1变形得到关于m的方程，解方程即可求解．
【完整解答】∵关于x的方程x2﹣2mx+m2﹣m＝0有两个实数根α，β，
∴△＝（﹣2m）2﹣4（m2﹣m）≥0，解得m≥0，
α+β＝2m，αβ＝m2﹣m，
∵＝1，即＝1，
∴＝1，
解得m1＝0，m2＝3，
经检验，m1＝0不合题意，m2＝3符合题意，
∴m＝3．
故答案为：3．
12．（2021•南京）设x1，x2是关于x的方程x2﹣3x+k＝0的两个根，且x1＝2x2，则k＝ 2 ．
【思路引导】根据根与系数的关系求得x2＝1，将其代入已知方程，列出关于k的方程，解方程即可．
【完整解答】根据题意，知x1+x2＝3x2＝3，则x2＝1，
将其代入关于x的方程x2﹣3x+k＝0，得12﹣3×1+k＝0．
解得k＝2．
故答案是：2．
13．（2021•徐州二模）已知一元二次方程x2﹣5x+c＝0有一个根为4，则另一个根为 1 ．
【思路引导】设方程的另一个根为x2，根据两根之和得出x2+4＝5，解之可得答案．
【完整解答】设方程的另一个根为x2，
则x2+4＝5，
解得x2＝1，
故答案为：1．
14．（2021春•吴兴区校级期中）若关于x的方程（k﹣2）x2﹣4x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 k＜6且k≠2 ．
【思路引导】先根据关于x的方程（k﹣2）x2﹣4x+1＝0有两个不相等的实数根得出关于k的不等式组，求出k的取值范围即可．
【完整解答】∵关于x的方程（k﹣2）x2﹣4x+1＝0有两个不相等的实数根，
∴，
解得：k＜6且k≠2．
故答案为：k＜6且k≠2．
15．（2020•大庆）已知关于x的一元二次方程：x2﹣2x﹣a＝0，有下列结论：
①当a＞﹣1时，方程有两个不相等的实根；
②当a＞0时，方程不可能有两个异号的实根；
③当a＞﹣1时，方程的两个实根不可能都小于1；
④当a＞3时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3．
以上4个结论中，正确的个数为 3 ．
【思路引导】根据判别式，根与系数的关系，二次函数的性质一一判断即可．
【完整解答】∵x2﹣2x﹣a＝0，
∴△＝4+4a，
∴①当a＞﹣1时，△＞0，方程有两个不相等的实根，故①正确，
②当a＞0时，两根之积＜0，方程的两根异号，故②错误，
③方程的根为x＝＝1±，
∵a＞﹣1，
∴方程的两个实根不可能都小于1，故③正确，
④当a＞3时，由（3）可知，两个实根一个大于3，另一个小于3，故④正确，
故答案为3．
16．（2020•金牛区校级模拟）已知关于x的方程a（x+m）2+b＝0（a、b、m为常数，a≠0）的解是x1＝2，x2＝﹣1，那么方程a（x+m+2）2+b＝0的解 x3＝0，x4＝﹣3 ．
【思路引导】把后面一个方程中的x+2看作整体，相当于前面一个方程中的x求解．
【完整解答】∵关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝2，x2＝﹣1，（a，m，b均为常数，a≠0），
∴方程a（x+m+2）2+b＝0变形为a[（x+2）+m]2+b＝0，即此方程中x+2＝2或x+2＝﹣1，
解得x＝0或x＝﹣3．
故答案为：x3＝0，x4＝﹣3．
17．（2020秋•常州期中）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有 ②③④ （填序号）
①方程x2﹣x﹣2＝0是倍根方程；
②若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程：则4m2+5mn+n2＝0；
③若p，q满足pq＝2，则关于x的方程px2+3x+q＝0是倍根方程；
④若方程以ax2+bx+c＝0是倍根方程，则必有2b2＝9ac．
【思路引导】①求出方程的解，再判断是否为倍根方程，
②根据倍根方程和其中一个根，可求出另一个根，进而得到m、n之间的关系，而m、n之间的关系正好适合，
③当p，q满足pq＝2，则px2+3x+q＝（px+1）（x+q）＝0，求出两个根，再根据pq＝2代入可得两个根之间的关系，进而判断是否为倍根方程，
④用求根公式求出两个根，当x1＝2x2，或2x1＝x2时，进一步化简，得出关系式，进行判断即可．
【完整解答】①解方程x2﹣x﹣2＝0得，x1＝2，x2＝﹣1，得，x1≠2x2，
∴方程x2﹣x﹣2＝0不是倍根方程；
故①不正确；
②若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，x1＝2，
因此x2＝1或x2＝4，
当x2＝1时，m+n＝0，
当x2＝4时，4m+n＝0，
∴4m2+5mn+n2＝（m+n）（4m+n）＝0，
故②正确；
③∵pq＝2，则：px2+3x+q＝（px+1）（x+q）＝0，
∴x1＝﹣，x2＝﹣q，
∴x2＝﹣q＝﹣＝2x1，
因此是倍根方程，
故③正确；
④方程ax2+bx+c＝0的根为：x1＝，x2＝，
若x1＝2x2，则，＝×2，
即，﹣×2＝0，
∴＝0，
∴＝0，
∴3＝﹣b
∴9（b2﹣4ac）＝b2，
∴2b2＝9ac．
若2x1＝x2时，则，×2＝，
即，则，×2﹣＝0，
∴＝0，
∴﹣b+3＝0，
∴b＝3，
∴b2＝9（b2﹣4ac），
∴2b2＝9ac．
故④正确，
故答案为：②③④
18．（2020秋•奈曼旗月考）一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程x2﹣7x+12＝0的一个根，则此三角形的周长是 14 ．
【思路引导】先求出方程的解，再根据三角形的三边关系定理判断能否组成三角形，再求出即可．
【完整解答】解方程x2﹣7x+12＝0得：x＝3或4，
当腰为3时，三角形的三边为3，3，6，3+3＝6，此时不符合三角形三边关系定理，此时不行；
当腰为4时，三角形的三边为4，4，6，此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长为4+4+6＝14，
故答案为：14．
19．（2019•简阳市 模拟）设α、β是方程x2+2013x﹣2＝0的两根，则（α2+2016α﹣1）（β2+2016β﹣1）＝ ﹣6056 ．
【思路引导】根据α、β是方程x2+2013x﹣2＝0的两实数根，把x＝α与x＝β代入得到关系式，利用根与系数得到关系式，原式变形后代入计算即可求出值．
【完整解答】∵α、β是方程x2+2013x﹣2＝0的两实数根，
∴α2+2013α﹣2＝0，β2+2013β﹣2＝0，α+β＝﹣2013，αβ＝﹣2，
则（α2+2016α﹣1）（β2+2016β﹣1）＝（α2+2013α﹣2+3α+1）（β2+2013β﹣2+3β+1）＝（3α+1）（3β+1）＝9αβ+3（α+β）+1＝﹣18﹣6039+1＝﹣6056．
故答案为：﹣6056．
20．（2020•黄州区校级模拟）若方程x2+2（1+a）x+3a2+4ab+4b2+2＝0有实根，则＝ ﹣．
【思路引导】由二次方程有实根，得到△≥0，即△＝4（1+a）2﹣4（3a2+4ab+4b2+2）≥0，通过代数式变形可得两个非负数的和小于或等于0，从而得到a，b的方程组，解方程组即可求出它们的比．
【完整解答】∵方程有实根，
∴△≥0，即△＝4（1+a）2﹣4（3a2+4ab+4b2+2）≥0，
化简得：2a2+4ab+4b2﹣2a+1≤0，
∴（a+2b）2+（a﹣1）2≤0，而（a+2b）2+（a﹣1）2≥0，
∴a+2b＝0，a﹣1＝0，解得a＝1，b＝﹣，
所以＝﹣．
故答案为﹣．
三．解答题
21．（2021春•浦江县期末）解下列方程：
（1）x2﹣4x﹣5＝0；
（2）x2﹣7x+1＝0（用公式法解）．
【思路引导】（1）先把方程的左边分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可；
（2）先求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出答案即可．
【完整解答】（1）x2﹣4x﹣5＝0，
（x﹣5）（x+1）＝0，
x﹣5＝0或x+1＝0，
解得：x1＝5，x2＝﹣1；

（2）x2﹣7x+1＝0，
∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣7）2﹣4×1×1＝45＞0，
∴x＝＝，
解得：x1＝，x2＝．
22．（2021春•当涂县期末）（1）计算（﹣2）．
（2）解方程（x+5）（x﹣3）＝2（x﹣3）．
【思路引导】（1）先化简括号内的二次根式，再计算括号内二次根式的加减，最后计算除法即可；
（2）利用因式分解法求解即可．
【完整解答】（1）原式＝（3+﹣2）÷
＝2÷
＝2；

（2）∵（x+5）（x﹣3）＝2（x﹣3），
∴（x+5）（x﹣3）﹣2（x﹣3）＝0，
则（x﹣3）（x+3）＝0，
∴x﹣3＝0或x+3＝0，
解得x1＝3，x2＝﹣3．
23．（2021春•高邮市期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2a﹣1）x+a2+1＝0两根为x1，x2．
（1）已知x1﹣x2＝0，求a的值；
（2）化简：﹣|2﹣a|．
【思路引导】（1）根据根与系数的关系，列出关于a的方程，解方程即可求解；
（2）根据判别式可求a的取值范围，再化简即可求解．
【完整解答】Δ＝（2a﹣1）2﹣4（a2+1）＝﹣4a﹣3≥0，
解得a≤﹣，
（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣（2a﹣1）x+a2+1＝0两根为x1，x2，
∴x1+x2＝2a﹣1，x1x2＝a2+1，
∵x1﹣x2＝0，
∴（x1+x2）2﹣4x1x2＝0，
即（2a﹣1）2﹣4（a2+1）＝﹣4a﹣3＝0，
解得a＝﹣；
（2）﹣|2﹣a|＝1﹣a﹣（2﹣a）＝﹣1．
24．（2020秋•大余县期末）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
【思路引导】（1）把x＝﹣1代入方程得a+c﹣2b+a﹣c＝0，整理得a＝b，从而可判断三角形的形状；
（2）根据判别式的意义得△＝（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）＝0，即b2+c2＝a2，然后根据勾股定理可判断三角形的形状；
（3）利用等边三角形的性质得a＝b＝c，方程化为x2+x＝0，然后利用因式分解法解方程．
【完整解答】（1）△ABC是等腰三角形；
理由：把x＝﹣1代入方程得a+c﹣2b+a﹣c＝0，则a＝b，所以△ABC为等腰三角形；
（2）△ABC为直角三角形；
理由：根据题意得△＝（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）＝0，即b2+c2＝a2，所以△ABC为直角三角形；
（3）∵△ABC为等边三角形，
∴a＝b＝c，
∴方程化为x2+x＝0，解得x1＝0，x2＝﹣1．
25．（2020秋•兴国县期末）已知关于x的方程x2+（2m﹣1）x+m2＝0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）设α，β是方程的两个实数根，是否存在实数m使得α2+β2﹣αβ＝6成立？如果存在，请求出来；若不存在，请说明理由．
【思路引导】（1）根据判别式的意义得到△＝（2m﹣1）2﹣4m2≥0，然后解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得到α+β＝﹣（2m﹣1），αβ＝m2，利用α2+β2﹣αβ＝6得到（α+β）2﹣3αβ＝6，则（2m﹣1）2﹣3m2＝6，然后解方程后利用（1）中m的范围确定m的值．
【完整解答】（1）根据题意得△＝（2m﹣1）2﹣4m2≥0，
解得m≤；
（2）存在．
根据题意得α+β＝﹣（2m﹣1），αβ＝m2，
∵α2+β2﹣αβ＝6，
∴（α+β）2﹣3αβ＝6，
即（2m﹣1）2﹣3m2＝6，
整理得m2﹣4m﹣5＝0，解得m1＝5，m2＝﹣1，
∵m≤；
∴m的值为﹣1．
26．（2020秋•来宾期末）已知关于x的方程x2+ax+a﹣2＝0
（1）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根；
（2）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一个根．
【思路引导】（1）根据根的判别式判断可得；
（2）将x＝1代入原方程求出a的值，将a代入原方程可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【完整解答】（1）∵△＝a2﹣4×1×（a﹣2）＝a2﹣4a+8＝（a﹣2）2+4＞0，
∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根；

（2）将x＝1代入方程，得：1+a+a﹣2＝0，
解得a＝，
将a＝代入方程，整理可得：2x2+x﹣3＝0，
即（x﹣1）（2x+3）＝0，
解得x＝1或x＝﹣，
∴该方程的另一个根﹣．
27．（2021春•太湖县期末）已知关于x的一元二次方程x2+2x+2k﹣4＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若k为正整数，且该方程的两个根都是整数，求k的值并求出方程的两个整数根．
【思路引导】（1）根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式的值大于0列出关于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的范围；
（2）找出k的取值范围中的正整数解出k的值，再利用求根公式得出方程的解为x＝﹣1±，由方程的解为整数，得到5﹣2k为完全平方数，则k的值为2，进而求出方程的两个整数根．
【完整解答】（1）根据题意得：△＝4﹣4（2k﹣4）＝20﹣8k＞0，
解得：k＜；

（2）由k为正整数，得到k＝1或2，
利用求根公式表示出方程的解为x＝﹣1±，
∵方程的解为整数，
∴5﹣2k为完全平方数，
则k的值为2，
将k＝2代入x＝﹣1±，
得x1＝0，x2＝﹣2．
28．（2020•浙江自主招生）已知关于x的一元二次方程|x2﹣1|＝（x﹣1）（kx﹣2）：
（1）若k＝3，求方程的解；
（2）若方程恰有两个不同解，求实数k的取值范围．
【思路引导】（1）将k＝3代入原方程，然后根据绝对值的性质把原方程化成两个一元二次方程进行解答；
（2）由于x＝1恒为方程|x2﹣1|＝（x﹣1）（kx﹣2）的解，当x≠1时，只需函数y＝与函数y＝kx﹣2的图象只有一个交点就可以，画出x≠1时函数y＝，根据图象确定直线y＝kx﹣2与函数y＝图象只有一个交点时，k的取值范围便可．
【完整解答】（1）把k＝3代入|x2﹣1|＝（x﹣1）（kx﹣2）中，得|x2﹣1|＝（x﹣1）（3x﹣2），
当x2＞1，即x＞1或x＜﹣1时，原方程可化为：x2﹣1＝（x﹣1）（3x﹣2），
解得，x＝1（舍），或x＝；
当x2≤1，即﹣1≤x≤1时，原方程可化为：1﹣x2＝（x﹣1）（3x﹣2），
解得，x＝1，或x＝；
综上，方程的解为x1＝，x2＝1，x3＝；

（2）∵x＝1恒为方程|x2﹣1|＝（x﹣1）（kx﹣2）的解，
∴当x≠1时，方程两边都同时除以x﹣1得，，
要使此方程只有一个解，只需函数y＝与函数y＝kx﹣2的图象只有一个交点．
∵函数：，
作出函数图象，
由图象可知，当k＜0时，直线y＝kx﹣2与函数y＝图象只有一个交点；
当k＝0时，直线y＝kx﹣2＝﹣2与函数y＝图象只有一个交点；
当k＝1时，y＝kx﹣2＝x﹣2与y＝x+1平行，则与函数y＝图象只有一个交点；
∵当直线y＝kx﹣2过（1，2）点时，2＝k﹣2，则k＝4，
∴函数图象可知，当k≥4时，直线y＝kx﹣2与函数y＝图象也只有一个交点，
∴要使函数图象与y＝kx﹣2图象有且只有一个交点，则实数k的取值范围是k≤0或k＝1或k≥4．
综上，实数k的取值范围：k≤0或k＝1或k≥4．
29．（2020秋•巩义市期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+4（k﹣）＝0．
（1）判断这个一元二次方程的根的情况；
（2）若等腰三角形的一边长为3，另两条边的长恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长及面积．
【思路引导】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出△＝（2k﹣3）2≥0，由此即可得出该方程有两个实数根；
（2）分3为底边长及腰长两种情况考虑：①当3为底边长是，由△＝0可求出k值，将其代入原方程可求出三角形的腰长，再根据周长及面积公式可求出等腰三角形的周长及面积；②当3为腰长时，将x＝3代入原方程可求出k值，代入k值可求出等腰三角形的底边长度，再根据周长及面积公式可求出等腰三角形的周长及面积．综上即可得出结论．
【完整解答】（1）∵△＝[﹣（2k+1）]2﹣4×4（k﹣）＝4k2﹣12k+9＝（2k﹣3）2≥0，
∴该方程有两个实数根；
（2）①当3为底边长时，△＝（2k﹣3）2＝0，
∴k＝，
此时原方程为x2﹣4x+4＝0，
解得：x1＝x2＝2．
∵2、2、3能组成三角形，
∴三角形的周长为2+2+3＝7，三角形的面积为×3×＝；
②当3为腰长时，将x＝3代入原方程，得：9﹣3×（2k+1）+4（k﹣）＝0，
解得：k＝2，
此时原方程为x2﹣5x+6＝0，
解得：x1＝2，x2＝3．
∵2、3、3能组成三角形，
∴三角形的周长为2+3+3＝8，三角形的面积为×2×＝2．
综上所述：等腰三角形的周长为7或8，面积为或2．