2025-2026学年江苏省南京市金陵中学高二上学期10月月考数学试卷（含答案）

这是一份2025-2026学年江苏省南京市金陵中学高二上学期10月月考数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若直线x+my+1=0的倾斜角的大小为π6，则实数m=( )
A. 3B. 33C. - 33D. - 3
2.若直线l1:(2a+1)x+ay+1=0，l2:(a+2)x+ay+2=0平行，则a=( )
A. -1B. 1或0C. 0D. 1
3.已知椭圆C:x2k+y2=1的离心率为12，则k的值为( )
A. 43B. 14C. 4或14D. 43或34
4.在圆的方程的探究中，有四位同学分别给出了一个结论，甲：该圆经过点(-12,-1)；乙：该圆的圆心为(2,-3)；丙：该圆的半径为5；丁：该圆经过点(5,1).如果只有一位同学的结论是错误的，那么这位同学是( )
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
5.已知动点M与两个定点O(0,0)，A(3,0)的距离之比为2，那么直线OM的斜率的取值范围是( )
A. [-1,1]B. - 72, 72C. - 33, 33D. - 3, 3
6.曲线y=1+ 4-x2与直线y=kx-2+4有两个不同交点，实数k的取值范围是( )
A. k≥34B. -34≤k512D. 5120)与直线l:y= 3x+2，直线l上存在点P，过点P可以作两条互相垂直且与圆C相切的直线，则r的取值范围是( )
A. 0, 2B. 1, 2C. 2,2D. 2,+∞
8.若圆x2+y2-4x-4y-10=0上至少有三个不同的点到直线l:ax+by=0的距离为2 2，则直线l的斜率的取值范围为( )
A. 2- 3,2+ 3B. -2- 3,2+ 3
C. -2+ 3,2+ 3D. -2- 3,2- 3
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直线l:x-3y+1=0，则下列说法正确的是( )
A. 直线l在x轴上的截距为1
B. 直线l与直线l1:x-3y+2=0之间的距离为 1010
C. 直线l关于x-y=0对称的直线方程是3x-y+1=0
D. 直线l与直线l2:3x+y+1=0垂直
10.已知P为圆O：x2+y2=4上的动点，直线l：4x+3y-12=0与x，y轴分别交于M，N两点，Q为直线MN上的动点，过点Q作圆O的两条切线，切点分别为A，B，则( )
A. 若点C(0,1)，则|PM|+|PC|的最小值为 10
B. ▵PMN的最小面积是4
C. 若∠AOB=120°，则Q点坐标为(0,4)或9625,-2825
D. 四边形QAOB周长的最小值为4 115+4
11.(多选)如图，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.已知椭圆C:x24+y2=1，其左、右焦点分别是F1，F2，P为椭圆C上任意一点，直线l与椭圆C相切于点P，过点P与l垂直的直线与椭圆的长轴交于点M，∠F1PM=∠F2PM，点Q0, 6，给出下列四个结论，正确的是( )
A. ▵PF1F2面积的最大值为 3
B. |PQ|+PF2的最大值为8
C. 若|PM|=MF2，则PF1=3PF2
D. 若F2R⊥l，垂足为Rx0,y0，则x02+y02=4
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设直线l的方程为(a+1)x+y+1-a=0，若直线l在两坐标轴上的截距互为相反数，则a=
13.已知P(1,1)为椭圆x24+y22=1内一定点，经过P引一条弦，使此弦被P点平分，则此弦所在的直线方程为 ．
14.已知O为坐标原点，椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1、F2，过点F1且斜率为k的直线与圆x2+y2=a2交于A,B两点(点B在x轴上方)，线段F1B与椭圆交于点M，MF2延长线与椭圆交于点N，且|AM|=|BF1|,|MF2|=2|F2N|，则椭圆的离心率为 ，直线AF1的斜率为 。
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
(1)已知两直线l1:x-y-1=0,l2:x+y-5=0，求过两直线的交点，且垂直于直线3x+4y-5=0的直线方程；
(2)已知直线l过点P(3,1)，且交坐标轴正半轴于A,B两点，当▵AOB的面积最小时，求▵AOB的周长．
16.(本小题15分)
已知圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2(a>0,r>0)的圆心在直线 3x+y=0上，且截x轴的弦长为2，截y轴的弦长为2 3．
(1)求圆C的方程；
(2)若一光线从点M(- 3,1)出发，经直线x+y-4=0反射后恰好与圆C相切，求反射光线所在的直线方程．
17.(本小题15分)
在平面直角坐标系中，曲线C上的点P到两定点F10,- 3,F20, 3的距离之和等于定值4．
(1)求曲线C的方程；
(2)若直线y=kx+1与C交于A,B两点，且以AB为直径的圆过原点O，求k的值．
18.(本小题17分)
已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为 32，短轴端点到焦点的距离为2．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设点A，B是椭圆C上的任意两点，O是坐标原点，且OA⊥OB．
①求证：原点O到直线AB的距离为定值，并求出该定值；
②任取以椭圆C的长轴为直径的圆上一点P，求ΔPAB面积的最大值．
19.(本小题17分)
已知圆O:x2+y2=1点M(1,4)．
(1)过M作圆O的切线，求切线的方程；
(2)过圆O上一点P12, 32作两条相异直线分别与圆O相交于A，B两点，且直线PA和直线PB的倾斜角互补.求证：直线AB的斜率为定值．
(3)已知A(2,8)，设P为满足方程PA2+PO2=106的任意一点，过点P向圆O引切线，切点为B，试探究：平面内是否存在一定点N，使得PB2PN2为定值?若存在，请求出定点N的坐标，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由．
参考答案
1.D
2.D
3.D
4.A
5.C
6.D
7.D
8.A
9.BD
10.ACD
11.ACD
12.1或-2
13.x+2y-3=0
14. 53；12
15.解：(1)法1：联立x-y-1=0x+y-5=0，解得x=3y=2,
与直线3x+4y-5=0垂直的直线斜率为43，
所以经过l1与l2交点(3,2)且与3x+4y-5=0垂直的直线方程为：y-2=43(x-3)，即4x-3y-6=0；
法2：经过直线l1:x-y-1=0,l2:x+y-5=0交点的直线设为：x-y-1+λ(x+y-5)=0，
即(λ+1)x+(λ-1)y-5λ-1=0，
因其与直线3x+4y-5=0垂直，所以3(λ+1)+4(λ-1)=0，解得λ=17，
所以所求直线方程为4x-3y-6=0；
(2)设A(a,0),B(0,b),a>0,b>0，则AB:xa+yb=1，
因直线AB过P(3,1)，所以3a+1b=1≥2 3ab，则ab≥12，等号成立时a=6,b=2，
所以▵AOB的面积12ab≥6，
此时▵AOB的周长为a+b+ a2+b2=8+2 10．

16.【详解】(1)依题意得： 3a+b=012+b2=r2 32+a2=r2，由a>0,r>0解得a=1b=- 3r=2
∴圆C的方程为:(x-1)2+y+ 32=4
(2)设M关于直线x+y-4=0的对称点为M'(x0,y0)，
由y0-1x0+ 3⋅(-1)=-1x0- 32+y0+12-4=0 ⇒x0=3y0=4+ 3,∴M'(3,4+ 3)
设过M'与圆C相切的直线为l，
当斜率不存在时，l：x=3，圆心到直线距离d=3-1=r符合条件；
当斜率存在时，设l：y-4- 3=k(x-3)即kx-y-3k+4+ 3=0
圆心到直线的距离d=|k+ 3-3k+4+ 3| 1+k2=2，解得k= 3，
则直线l的方程为：y-4- 3= 3(x-3)，即： 3x-y+4-2 3=0.
所以反射光线所在直线为：x=3或 3x-y+4-2 3=0．

17.【详解】(1)由题设PF1+PF2=4>2 3=F1F2，
故曲线C是以2a=4为长轴长，以F10,- 3,F20, 3为焦点的椭圆，
所以a2=4,c2=3，故b2=4-3=1，
故椭圆方程为y24+x2=1．
(2)Ax1,y1,Bx2,y2满足y24+x2=1,y=kx+1.
消去y得：k2+4x2+2kx-3=0，
Δ=4k2+12k2+4=16k2+48>0恒成立，
由题意x1+x2=-2kk2+4,x1x2=-3k2+4，
其中y1y2=kx1+1kx2+1=k2x1x2+kx1+x2+1，
而以AB为直径的圆过原点O，
所以OA⋅OB=x1x2+y1y2=k2+1x1x2+kx1+x2+1
=-3k2+1k2+4-2k2k2+4+1=1-4k2k2+4=0，
解得k=±12．


18.试题解析：(1)因为椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为 32，短轴端点到焦点的距离为2，所以ca= 32a=2解得a=2，c= 3∴b2=a2-c2=1，椭圆的方程为x24+y2=1．
(2)①当直线AB的斜率不存在时，直线AB的方程为x=±2 55，原点O到直线AB的距离为2 55；
当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+m，A(x1,y1)，B(x2,y2)
由x24+y2=1y=kx+m得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0，Δ=16(1+4k2-m2)>0
x1+x2=-8km1+4k2，x1x2=4m2-41+4k2，OA⋅OB=x1x2+y1y2=5m2-4-4k21+4k2=0，m2=45(1+k2)
所以原点O到直线AB的距离d=|m| k2+1= 45(1+k2) 1+k2=2 55，
综上，原点O到直线AB的距离为2 55．
②当直线AB的斜率不存在时|AB|=4 55
当直线AB的斜率存在时k≠0时，|AB|= (1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]=4 5 1+9k216k4+8k2+1
当k≠0时，|AB|=4 5 1+9k216k4+8k2+1=1+916k2+1k2+8≤ 5，当k=±12时等号成立；
k=0时|AB|=4 55所以|AB|的最大值为 5．
由①知点P到直线AB的距离的最大值为2 55+2，所以SΔPAB的最大值为1+ 5．
考点：1、椭圆的几何性质；2、直线与椭圆；3、韦达定理；4、点到直线的距离．
【易错点睛】设直线AB的方程时，要分斜率存在和不存在两种情况，由斜率不存在这种特殊情况先得到O到直线AB的距离值，再计算斜率存在时O到直线AB的距离值，若只考虑斜率存在，则很容易出错．

19.解：(1)根据圆的方程可知，圆O的圆心坐标为O(0,0)，半径为1，
点M距离圆心O的距离 12+42= 17>1，故点M在圆外，过点M的切线有两条，
当过点M的直线不存在斜率时，切线方程为x-1=0，
圆心O距此直线的距离为1，与半径相等，故此直线与圆相切，
当过点M的直线存在时，设直线方程为y-4=k(x-1)，即kx-y+4-k=0，
圆心O距离此直线的距离应为1，故|4-k| k2+1=1，解得k=158，
故直线方程为158x-y+4-158=0，即15x-8y+17=0，
所以过点M且与圆O相切的直线方程为：x-1=0和15x-8y+17=0；
(2)证明：假设过点P的一条直线倾斜角为π2，
由题目条件得另一条直线的倾斜角也为π2，但过直线外一点做该直线的垂线只有一条，与两条直线相异矛盾，
故过P的直线不可能垂直于x轴，
由于两直线的倾斜角互补，因为tanα=-tan(π-α)，故两直线的斜率互为相反数，
设直线l1:y- 32=k1(x-12)与圆相交于P，A两点，
直线l2:y- 32=-k1(x-12)与圆相交于P，B两点，
点AxA,yA在l1上，则x2+y2=1y- 32=k1(x-12),
化简得k12+1x2+ 3k1-k12x+14k12- 32k1-14=0，
由根与系数关系得xA+12=k12- 3k1k12+1，
点BxB,yB在l2上，则x2+y2=1y- 32=-k1(x-12),
化简得k12+1x2- 3k1+k12x+14k12+ 32k1-14=0，
由根与系数关系得xB+12=k12+ 3k1k12+1，
则直线AB的斜率为kAB=yA-yBxA-xB=k1xA+xB-1xA-xB，
易得xA+xB-1=-2k12+1，xA-xB=-2 3k1k12+1，故kAB= 33，
故直线AB的斜率为定值 33；
(3)设P(p,q)，因PA2+PO2=106，所以(p-2)2+(q-8)2+p2+q2=106，化简得，(p-1)2+(q-4)2=62，
所以点P的轨迹是一个圆，圆心为点M(1,4)，半径为6，
因MO= 17