广东省深圳市福田区红岭中学2026届高三二模数学试卷（含答案）

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C【解析】
【详解】由，得，解得，
所以，
又，.故选：C.
2. 若命题“”是假命题，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】命题“”是假命题，
则 是真命题，∴，
解得：或，即a的范围是故选：D.
3. 设是平面，m，n是两条直线，则下列命题正确的是（ ）
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若与所成的角相等，则
【答案】B
4 . 若数列满足，其前项和为，若，
则（ ）
A. 0B. 1C. 5D. 11
【答案】D
【详解】因为，所以数列为等差数列.
设首项为，公差为，
则.
所以.故选：D
5. 若函数有唯一零点，且，则（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】C【详解】由于有唯一的零点，所以也有唯一的零点，
由于均为偶函数，所以为偶函数，
因此，故，故选：C
6. 已知，则（ ）
A. 3B. C. D. 2
【答案】A
【详解】因为，所以，所以，
又，所以，所以，
所以，故.故选：A
7. 中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C取决于信道带宽W､信道内信号的平均功率S､信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计，按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比从1000提升至5000，则C大约增加了（ ）（附：）
A. 20%B. 23%C. 28%D. 50%
【8题答案】【答案】B【解析】
【详解】将信噪比从1000提升至5000时，C大约增加了
故选：B.
8. 已知双曲线的左焦点为，直线与C的右支于点A，若C的左支上存在点B满足，且，则C的离心率为（ ）
A. 3B. C. 2D.
【答案】D【解析】
【详解】设双曲线的右焦点为，取的中点为，连接，
因为分别为和的中点，所以，
因为，且，所以，所以，
所以，由可知，所以，
又，所以，所以，
所以，在中，，，
所以，
由得，
所以C的离心率为. 故选：D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 若，，则下列判断正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【详解】因为，，所以，故A正确；
由可得（，等号不成立），故C错误；
由可得（，等号不成立），故B正确；
因为，故D正确.故选：ACD
10.若函数满足：对，都有，
则称该函数具有性质，下列函数具有性质的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BD【解析】
【详解】由性质的定义可知，当时，，
且时，.
对于A，因为的定义域为，值域为，
当时，必有，
所以函数不具有性质，故A错误；
对于B，因为与在上单调递增，所以在上单调递增，
且，即为奇函数，
设，即，则，所以；
设，即，则，
所以，所以函数具有性质，故B正确；
对于C，取，，即，
则，
所以函数不具有性质，故C错误；
对于D，因为，所以在上单调递增，
且，所以是奇函数，
设，即，则，所以；
设，即，则，
所以，所以函数具有性质，故D正确；故选：BD
11. 设函数，，则下列结论正确的是（ ）
A. ，在上单调递减
B. 若且，则
C. 若在上有且仅有2个不同的解，则的取值范围为
D. 存在，使得的图象向右平移个单位长度后得到的函数为奇函数
【答案】ACD
【详解】，
对于A，，当时，，
由复合函数、正弦函数单调性可知在上单调递减，故A正确；
对于B，若且，则，故B不正确；
对于C，若，则，
若在上有且仅有2个不同的解，如图所示：
可得，解得，也就是的取值范围为，故C正确；
对于D，，可知当时，
是奇函数，故D正确.故选：ACD.
填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，则______．
【解析】【详解】由得，
又因为，
13. 抛掷2颗骰子，观察掷得的点数，记事件为“2个骰子的点数不相同”，事件为“点数之和大于8”，则在事件发生的条件下，事件发生的概率是 ______．
【答案】
【详解】事件包含的基本事件有30个，则，事件包含的基本事件有8个，则，所以．
14. 直线与曲线：及曲线：分别交于点A，B.曲线在A处的切线为，曲线在B处的切线为.若，相交于点C，则三角形ABC面积的最小值为____________.
【答案】2【详解】设，
由，得到，由，得到
所以由导数的几何意义得：，
，联立方程解得：
的面积，
令，所以，
当且仅当，即时取等号.故答案为：2
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸.
15. （本题13分）在三角形ABC中，角所对的边分别为，
已知，且.
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】（1） （2）
【小问1详解】 因为，
所以由正弦定理得，
所以,
所以，所以，
所以由正弦定理得，所以；
【小问2详解】
因为，所以，
所以，
即，
所以，
所以由正弦定理得，
由（1）得，所以，得，
所以由余弦定理得，
因为，所以，
所以.
16. （本题15分）已知数列的首项为，前项和为，且.
（1）求数列的通项公式； （2）求满足的的最小值；
（3）已知，记数列的前项和为，求证：.
【答案】（1） （2）最小值为 （3）证明见解析
【小问1详解】
由已知，
则，
即，则，，，，
等式左右分别相加可得，
则；
【小问2详解】
由（1）得，且，
即，化简可得，
又，即，所以满足的的最小值为；
【小问3详解】
依题意得，，
则，
又，所以，所以，即.
17. （本题15分）如图，在四棱锥中，底面是等腰梯形，，，，，．
（1）求证：；
（2）求二面角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析 (2)
【小问1详解】
连接，因为底面是等腰梯形，，，，，
由余弦定理可得，
所以，则，
因为，，，所以，则，
因为，、平面，所以平面，
因此平面，所以.
【小问2详解】
在中，，，
由余弦定理可得，
因为，，则，
因为四边形为等腰梯形，且，则，，
所以，，，
故为等腰三角形，且，
因为平面，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴，
平面内过点且垂直于的直线为轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、，
设平面的一个法向量为，，，
所以，取，可得，
设平面的一个法向量为，，
所以，取，可得，
所以，
所以.
因此，二面角的正弦值为.
18.（本题17分）已知椭圆的离心率为，焦距为，
过的左焦点的直线与相交于、两点，与直线相交于点．
(1)求椭圆的标准方程； (2)若，求证：；
(3)过点作直线的垂线与相交于、两点，
与直线相交于点．求的最大值．
【详解】（1）证明：设、，
因为椭圆的焦距为，所以，解得．
又因为椭圆的离心率，所以，
所以，
所以椭圆的方程为
因为直线经过、，，
所以，直线的方程为，
设点、，联立可得，
由，得，.
所以，
，
因此，
（2）证明：若直线、中两条直线分别与两条坐标轴垂直，则其中有一条必与直线平行，不合乎题意，
所以，直线的斜率存在且不为零，设直线方程为，
则直线方程为，其中
联立可得，
设、，则，
由韦达定理可得，，
易知且，将代入直线的方程可得，即点，
所以
，
同理可得，
所以
，当且仅当时，等号成立，
因此，的最大值为
19．（本题17分）已知函数．
(1)若，，求实数a的取值范围；
(2)设是函数的两个极值点，证明：．
19:【详解】（1）依题意，.
①当时，在上，所以在上单调递减，
所以，所以不符合题设.
②当时，令，得，解得，，所以当时，所以在上单调递减，
所以，所以不符合题设
③当时，判别式，所以，
所以在上单调递增，所以
综上，实数a的取值范围是
（2）由（1）知，当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以是的极大值点，是的极小值点
由（1）知，，，则
综上，要证，只需证，
因为
，
设，.
所以，
所以在上单调递增，所以.
所以，即得成立．所以原不等式成立.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
D
B
D
C
A
B
D
ABD
BD
题号
11









答案
ACD