贵州省贵阳市2026届高三上学期开学摸底考试数学试卷（学生版）

这是一份贵州省贵阳市2026届高三上学期开学摸底考试数学试卷（学生版），共6页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知平面向量，则（ ）
A. B. C. 1D. 4
3. 已知事件，若与互斥，与互为对立事件，则是的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4. 已知复数在复平面内对应的点为的共轭复数是，则（ ）
A. B. C. 3D. 5
5. 据某调查机构统计数据显示，截至2024年6月，我国生成式人工智能产品的用户规模达2.3亿人，其中10岁至70岁之间各年龄段用户的占比情况如图所示．根据图中数据，估计其用户年龄的55%分位数约为（ ）

A. 20B. 25
C. 30D. 35
6. 已知双曲线：的焦点到其渐近线的距离为，则的离心率是（ ）
A. B.
C. D.
7. 若，则（ ）
A. -1B. 0C. 1D. 2
8. 已知函数的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
二、多项选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 若函数有偶数个零点，则可以是（ ）
A. B.
C. D.
10. 已知等差数列和的公差分别为的前项和为，下列说法正确的有（ ）
A. 是关于的二次函数
B. 数列是等差数列
C. 若数列是等差数列，则
D. ，则
11. 如图，在棱长为1的正方体中，底面内（含边界）有一动点，下列说法正确的有（ ）
A. 若平面平面，则
B. 若异面直线与所成角为，则的取值范围是
C. 当时，点的轨迹长度为
D. 四棱锥外接球的表面积最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知直线和直线的方向向量分别为，若，则实数的值是___________．
13. 已知正方形的边长为2，其中一个顶点为原点，另外三个顶点中有两个在抛物线上，则___________．
14. 将各位数字之和为9的全体正整数按从小到大的顺序排成一个数列，即，则___________；若，则___________．
四、解答题：共5个小题，满分77分．解答应写出相应的文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 已知，，分别为三个内角，，的对边，，，且的面积为．
（1）求；
（2）若在边上，且线段平分，求线段的长度．
16. 已知函数，．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）讨论函数的极值点个数．
17. 在平面直角坐标系中，已知，直线与相交于点，且两直线的斜率之积为．
（1）设点的轨迹为，求曲线的方程；
（2）设一组斜率为的平行直线与均有两个交点，证明这些直线被截得的线段的中点在同一条直线上．
18. 在三棱台中，．
（1）求证：；
（2）若平面平面，求面与面所成的二面角的正弦值．
19. 某连锁超市为吸引消费者购买产品M，针对性地推出“玩游戏，送礼券”活动．游戏规则如下：在装有2个红球的A盒子与装有3个白球的B盒子中各随机取一球交换放入另一个盒子，记为1次操作，重复进行次操作后，记A盒子中恰有1个红球的概率为，A盒子中的红球个数为，则可对应获得元的消费券用于购买M．为研究推出该活动对购买M是否有促销作用，特在推出活动的前后随机收集部分消费者的数据，得到表格的统计结果．（单位：人）
（1）依据的独立性检验，能否认为购买M与推出“玩游戏，送礼券”活动有关联？
（2）求，的值，并在以下两个数列：①，②中任选一个，证明其为等比数列；
（注：如果两个数列都进行证明，则按第一个解答计分；解答时请在答题卡上注明“证明①”或“证明②”字样）
（3）设在次操作后，消费者获得元消费券，求的数学期望（用表示）．
附：，
活动
产品M
合计
购买
不购买
推出前
100
100
200
推出后
180
120
300
合计
280
220
500
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828