第2部分-预习-第19讲 弧长和扇形面积（学生版）-新九年级数学暑假衔接讲义（人教版）

这是一份第2部分-预习-第19讲 弧长和扇形面积（学生版）-新九年级数学暑假衔接讲义（人教版），共13页。学案主要包含了例1-1，例1-2，变式1-1，变式1-2，变式1-3，变式1-4，变式2-1，变式2-2等内容，欢迎下载使用。

知识点1.弧长公式（重点）
（1）圆周长公式：C＝2πR
（2）弧长公式：l=nπR180（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）
①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．
②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长．
③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示．
④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一．
知识点2.扇形的面积公式（重点）
（1）圆面积公式：S＝πr2
（2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．
（3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则
S扇形=n360πR2或S扇形=12lR（其中l为扇形的弧长）
（4）求阴影面积常用的方法：
①直接用公式法；
②和差法；
③割补法．
（5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．
知识点3.圆锥的侧面积和全面积（难点）
圆锥的侧面积：S侧=12•2πr•l＝πrl．
圆锥的全面积：S全＝S底+S侧＝πr2+πrl
考点1.求弧长
【例1-1】在半径为1cm的圆中，圆心角为120°的扇形的弧长是________cm.
【例1-2】如图，⊙O的半径为6cm，直线AB是⊙O的切线，切点为点B，弦BC∥AO.若∠A＝30°，则劣弧eq \(BC,\s\up8(︵))的长为________cm.
【变式1-1】（2024•清城区一模）如图，的半径为2，四边形是圆内接四边形，，则的长为
A．B．C．D．
【变式1-2】（2024•福田区三模）为纪念北京奥运会成功举办，国务院批准从2009年起，将每年8月8日设置为“全民健身日”．因为为了认真发展体育运动，增强人民体质，贯彻执行《中华人民共和国体育法》，网上各种健身项目层出不穷．如图是侧抬腿运动，可以保证全身得到锻炼已知小敏大腿根部距脚尖，即，当其完成图中一次动作时，脚尖划过的轨迹长度为 ．
A．B．C．D．
【变式1-3】（2024•广安）如图，在等腰三角形中，，，以为直径作半圆，与，分别相交于点，，则的长度为
A．B．C．D．
【变式1-4】（2024•瑶海区校级模拟）如图，四边形内接于圆，，，，则的长度为
A．B．C．D．
考点2.利用弧长求半径或圆心角
【例2】(1)已知扇形的圆心角为45°，弧长等于eq \f(π,2)，则该扇形的半径是________；
(2)如果一个扇形的半径是1，弧长是eq \f(π,3)，那么此扇形的圆心角的大小为________．
【变式2-1】（2024春•巴彦县校级月考）已知扇形的半径为20，弧长为，那么这个扇形的圆心角为
度．
【变式2-2】（2024•盐都区校级一模）一个扇形的弧长是，圆心角是，则此扇形的半径是
．
【变式2-3】（2024•哈尔滨模拟）若半径为8的扇形弧长为，则该扇形的圆心角度数为 ．
【变式2-4】（2023秋•于都县期末）如图1所示的铝合金窗帘轨道可以直接弯曲制作成弧形．若制作一个圆心角为的圆弧形窗帘轨道（如图需用此材料，则此圆弧所在圆的半径为 ．
考点3.求动点运行的弧形轨迹
【例3】如图，Rt△ABC的边BC位于直线l上，AC＝eq \r(3)，∠ACB＝90°，∠A＝30°.若Rt△ABC由现在的位置向右无滑动地翻转，当点A第3次落在直线l上时，点A所经过的路线的长为________(结果用含π的式子表示)．
【变式3-1】（2024•任城区模拟）如图，放置在直线上的扇形，由①图滚动（无滑动）到图②，在由图②滚动到图③，若半径，，则点的路径长为 ．
【变式3-2】（2023•罗山县三模）如图，把一个含角的直角三角板在桌面上沿着直线无滑动的翻滚一周，若，，则点运动的路径长是 ．
【变式3-3】（2023秋•普陀区校级期末）如图，一个半径长为1厘米的半圆面，将它沿直线作顺时针方向的翻动，翻动一周，那么圆心所经过的路程是 厘米．
考点4.求扇形面积
【例4-1】一个扇形的圆心角为120°，半径为3，则这个扇形的面积为________．(结果保留π)
【例4-2】如图，把一个斜边长为2且含有30°角的直角三角板ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°到△A1B1C，则在旋转过程中这个三角板扫过图形的面积是( )
A．π B.eq \r(3) C.eq \f(3π,4)＋eq \f(\r(3),2) D.eq \f(11π,12)＋eq \f(\r(3),4)
【变式4-1】在中，，，，把绕点顺时针旋转后，得到△（如图所示），则线段所扫过的面积为
A．B．C．D．
【变式4-2】（2024春•越秀区校级月考）如图，点，，在上，，连接，．若的半径为3，则扇形（阴影部分）的面积为 （结果保留．
考点5.求阴影部分的面积
【例5】如图，半径为1cm、圆心角为90°的扇形OAB中，分别以OA、OB为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为( )
A．πcm2 B.eq \f(2,3)πcm2 C.eq \f(1,2)cm2 D.eq \f(2,3)cm2
【变式5-1】（2024•兴庆区校级一模）如图，在等边中，，以为直径作，与，分别交于，两点，则图中阴影部分的面积为
A．B．C．D．
【变式5-2】（2024•旺苍县三模）如图．点、是以为直径的半圆的三等分点，的长为．则图中阴影部分的面积为
A．B．C．D．
【变式5-3】（2024•青山区校级三模）如图，在矩形中，以点为圆心，长为半径画弧，以点为圆心，长为半径画弧，两弧恰好交于边上的点处，若，则阴影部分的面积为 ．
考点6.求圆锥的侧面积
【例6】小红要过生日了，为了筹备生日聚会，准备自己动手用纸板制作一个底面半径为9cm，母线长为30cm的圆锥形生日礼帽，则这个圆锥形礼帽的侧面积为( )
A．270πcm2 B．540πcm2 C．135πcm2 D．216πcm2
【变式6-1】（2024•扬州三模）已知圆锥的底面半径是，母线长为，则圆锥的侧面积是
A．B．C．D．
【变式6-2】（2024•云南）某校九年级学生参加社会实践，学习编织圆锥型工艺品．若这种圆锥的母线长为40厘米，底面圆的半径为30厘米，则该圆锥的侧面积为
A．平方厘米B．平方厘米
C．平方厘米D．平方厘米
【变式6-3】（2024•五华区校级模拟）如图，的斜边，一条直角边，现以边所在直线为轴将这个三角形旋转一周，得到一个圆锥，则这个圆锥的侧面积为
A．B．C．D．
【变式6-4】（2024春•崇义县期中）圆锥底面圆半径为，高为，则它侧面展开图的面积是
A．B．C．D．
考点7.求圆锥底面的半径
【例7】用半径为3cm，圆心角是120°的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为( )
A．2πcm B．1.5cm C．πcm D．1cm
【变式7-1】一个圆锥的侧面展开图是圆心角为，半径为3的扇形，这个圆锥的底面圆的半径为
A．B．3C．2D．1
【变式7-2】某圆锥母线长为60，其侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的底面圆的半径为
A．36B．18C．D．
【变式7-3】（2024•河口区校级模拟）如图，在矩形中，以点为圆心，以长为半径画弧交于点，将扇形剪下来做成圆锥，若，则该圆锥底面半径为
A．B．C．1D．2
考点8.求圆锥的高
【例8】小明用图中所示的扇形纸片作一个圆锥的侧面，已知扇形的半径为5cm，弧长是6πcm，那么这个圆锥的高是( )
A．4cm B．6cm C．8cm D．2cm
【变式8-1】小明用图中所示的扇形纸片作一个圆锥的侧面．已知扇形的半径为，弧长是，那么这个圆锥的高是
A．B．C．D．
【变式8-2】（2023秋•霸州市期中）底面直径为的圆锥的侧面展开图的圆心角为，则这个圆锥的高为
A．B．C．D．
【变式8-3】如图，四边形是边长为4的正方形，用图中阴影部分的扇形围成一个圆锥的侧面（不计接缝），则这个圆锥的高为
A．B．C．2D．
考点9.圆锥的侧面展开图的圆心角
【例9】一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则此圆锥侧面展开图的圆心角是( )
A．120° B．180° C．240° D．300°
【变式9-1】已知圆锥的底面半径为，母线长为，则该圆锥的侧面展开图的圆心角为
A．B．C．D．
【变式9-2】（2024•吉木萨尔县校级模拟）如图，已知圆锥的母线长为，底面半径长为，则将其侧面展开得到的扇形的圆心角为 度．
A．30B．45C．60D．180
【变式9-3】（2024•黑龙江）若圆锥的底面半径为3，侧面积为，则这个圆锥侧面展开图的圆心角是
．
一．选择题（共5小题）
1．（2024•通辽模拟）如图，，是半径为6的半圆上的两个点，是直径，，若的长度为，则图中阴影部分的面积为
A．B．C．D．
2．（2024•红河州一模）“莱洛三角形”是机械学家莱洛研究发现的一种曲边三角形，转子发动机的设计就是利用了莱洛三角形．它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧，若该等边三角形的边长为10，则这个“莱洛三角形”的周长是
A．10B．C．30D．
3．（2024•广水市模拟）如图，在中，，，斜边是半圆的直径，点是半圆上的一个动点，连接与交于点，若时，弧的长为
A．B．C．D．
4．（2024•盂县三模）荷花寓意“家庭美满，生活和谐”，图1是一幅环形荷花装饰挂画．将其视为如图2的扇形环面（由扇形挖去扇形，，的长度是，的长度是，则该环形荷花装饰挂画的面积是
A．B．C．D．
5．（2024•威县校级三模）如图，菱形中，与交于点，，以为圆心为半径作弧，再以为圆心，为半径作弧分别交于点，于点，若，则图中阴影部分的面积为
A．B．C．D．
二．填空题（共8小题）
6．（2024•南岗区校级三模）如图，四边形中，，，交于点，以点为圆心，为半径的圆交于点，若，则阴影部分的面积为 ．
7．（2024•呼兰区校级一模）一个扇形的圆心角为，该扇形面积为，则该扇形的半径为 ．
8．（2024•宝安区校级模拟）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点，，均在小正方形的顶点上，且点在上，，则的长为 ．
9．（2024•沭阳县校级二模）一个圆锥的母线长为6，底面圆的直径为8，那么这个圆锥的侧面积是 ．
10．（2024•让胡路区模拟）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆半径，扇形的圆心角，则该圆锥的母线长为 ．
11．（2024•任城区校级三模）如图，在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型．若圆的半径为1，扇形的圆心角等于，则扇形的半径是 ．
12．（2024•祁阳市二模）用半径为，圆心角为的扇形纸片，围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径为 ．
13．（2024•梧州二模）如图，圆锥底面圆的半径为3，母线与底面圆的夹角，则该圆锥侧面积为 ．
三．解答题（共5小题）
14．（2024•垦利区三模）已知：如图，是的直径，弦，垂足为，，．
（1）求弦的长；
（2）求图中阴影部分的面积．
15．（2024•金安区校级三模）如图，四边形是边长为4的正方形，以边为直径作，点在边上，连接交于点，连接并延长交于点．
（1）求证：；
（2）若，求劣弧的长．（结果保留
16．（2024•城厢区校级一模）（1）如图1，在锐角的外部找一点，使的面积与的面积相等且点在以为直径的圆上，请用尺规作图的方法确定点的位置（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）中，若以为直径的圆上与、相交于点、，若，且，求弧的长 ．
17．（2023秋•乌海期末）如图，四边形为菱形，点、在以点为圆心的弧上，若，．求扇形的面积．
18．（2024•沿河县一模）如图，已知是的直径，点，在上，且，过点作交于点，垂足为．
（1）的度数为 ；
（2）求的长；
（3）求阴影部分的面积．
模块一 思维导图串知识
模块二 基础知识全梳理（吃透教材）
模块三 核心考点举一反三
模块四 小试牛刀过关测
了解扇形的概念，理解n°的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式，并会计算弧长和扇形的面积。
了解圆锥母线的概念理解圆锥与其展开图的对应关系，并掌握圆锥侧面积和全面积的计算方法。
会利用平移及旋转求不规则图形的面积。