人教版（2024）九年级上册弧、弦、圆心角当堂达标检测题

这是一份人教版（2024）九年级上册弧、弦、圆心角当堂达标检测题，文件包含专题05圆中的重要模型之阿基米德折弦定理模型婆罗摩笈多定理模型几何模型讲义数学人教版九年级上册原卷版docx、专题05圆中的重要模型之阿基米德折弦定理模型婆罗摩笈多定理模型几何模型讲义数学人教版九年级上册解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共55页， 欢迎下载使用。
圆在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就圆形中的重要模型（阿基米德折弦（定理）模型、婆罗摩笈多（布拉美古塔）（定理）模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
TOC \ "1-4" \h \z \u TOC \ "1-4" \h \z \u \l "_Tc23281" PAGEREF _Tc23281 \h 1
\l "_Tc201321764" 模型来源 PAGEREF _Tc201321764 \h 1
\l "_Tc201321765" 真题现模型2
\l "_Tc201321766" 提炼模型5
\l "_Tc201321768" 模型运用6
\l "_Tc855" 模型1.阿基米德折弦模型6
\l "_Tc855" 模型2.圆中的“婆罗摩笈多”模型12
\l "_Tc18836" 16
折断的琴弦：“折弦”之名源于其几何形态—从圆周一点 B 引出的两条弦 AB 与 BC 宛如一根被折弯的琴弦。阿基米德通过观察此类折线结构，揭示了隐藏的等量关系，后人便以“折弦定理”命名此模型‌。
数学家的浪漫：据传阿基米德曾用诗歌形式记录该定理（如“折弦端点连中点，垂线落处定等分”），将抽象几何化为韵律，体现了古希腊学者对数学与艺术融合的追求‌尽管原始诗作已佚，这一传说仍被数学史研究者津津乐道。
婆罗摩笈多（布拉美古塔）（定理）模型以‌7世纪印度数学家婆罗摩笈多‌（Brahmagupta）命名，他是首个系统研究圆内接四边形性质的学者。其著作《婆罗摩历算书》首次记载了该定理，比欧洲同类研究早近千年，彰显了古印度数学的卓越成就。有趣的是，西方文献常称其为“布拉美古塔定理”，实为同一人名的音译差异。‌
（2025·湖南长沙·一模）【问题呈现】阿基米德折弦定理：如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，点M是的中点，则从M向所作垂线的垂足D是折弦的中点，即．下面是运用“截长法”证明的部分证明过程．
证明：如图2，在上截取，连接、、和，∵M是的中点，，又，，，
又，，，即
(1)【理解运用】如图1，、是的两条弦，，点M是的中点，于点D，求的长；(2)【变式探究】如图3，若点M是中点，【问题呈现】中的其他条件不变，判断、、之间存在怎样的数量关系？并加以证明．
(3)【实践应用】根据你对阿基米德折弦定理的理解完成下面问题：如图4，是的直径，点A是圆上一定点，点D是圆上一动点，且满足，若，的半径为10，求长．
【答案】(1)3(2)，证明见解析；(3)或．
【详解】（1）解：由阿基米德折弦定理可知，，
，，，；
（2）解：，证明如下：如图3，在上取，连接、、、，
点M是中点，，，
在和中，，，，，
，，，即；
（3）解：是的直径，，
的半径为10，，，由勾股定理得：，，
①当点在上方时，如图，过点作于点，连接、，

，，，，，
，即点是的中点，，
，；
②当点在下方时，如图，过点作于点，
，，，，即点是的中点，
由（2）可知，，，在中，，
综上可知，长为或．
（2024·山西太原·三模）请阅读下面的材料，并解答问题．
婆罗摩笈多（Brahmagupta）约公元598年生，约660年卒，在数学、天文学方面有所成就，他编著了《婆罗摩修正体系》《肯达克迪迦》，婆罗摩笈多的一些数学成就在世界数学史上有较高的地位，其中有著名的婆罗摩笈多定理．婆罗摩笈多定理：圆的内接四边形的对角线与垂直相交于M，过点M的直线与边分别相交于点F、E．则有下两个结论：
如果，那么；如果，那么．
数学课上，赵老师带领大家对该定理的第一条进行了探究．
证明：，，即，，，
在中，，……
请解答以下问题：(1)请完成所给材料的证明过程；(2)请证明结论（2）；(3)应用：如图圆O中，半径为4，A，B，C，D为圆上的点，，连接交于点F，过点F作于E，延长交于G，则的长度为______．

【答案】(1)见解析(2)见解析(3)
【详解】（1）证明：，，即，
，，在中，，，
又∵，∴，∴，
∵，∴∴，∴；
（2）证明：∵∴，∴
又∵，∴，
∵，∴∴，∴；
（3）解：如图，连接，设交于点M，
，，
，，即，，，
，，，由（1）中结论可得，
，，在中，，．
1）阿基米德折弦（定理）模型
条件：如图1所示，AB和BC是⊙O的两条弦(即ABC是圆的一条折弦)，BC>AB，M是 的中点，则从M向BC所作垂线之垂足D是折弦ABC的中点，结论：CD=AB+BD。

图1 图2 图3 图4
证明：法1（垂线法）：如图2，过点M作射线AB，垂足为点H，连接，AC；
∵M是的中点，∴．∵，，∴．
又∵，∴，∴，．∵，，
∴．∴．∴．
法2（截长法）：如图3，在CD上截取DG=BD，连接BM，MC，MA，AC；
∵BD=DG，MD⊥BG，∴MB=MG，∠MBG=∠MGB，∵M是的中点，∴∠MAC=∠MCA，∴MA=MC，
∵∠CMG＋∠MCG=∠MGB=∠MBG=∠MAC=∠MCA=∠ACB＋∠MCG，∴∠CMG=∠ACB=∠AMB，
∵MB=MG，MA=MC，∠BMA=∠GMC，∴△MBA≌△MGC（SAS），∴BA=GC，CD=AB+BD．
法3（补短法）：如图4，如图，延长DB至F，使BF=BA；连接MA、MB、MC、MF、AC，
∵M是的中点， ∴MA=MC，∠MAC=∠MCA，
∵∠MBA=180°-∠MCA，∠MBF=180°-∠CBC=180°-∠MAC=180°-∠MCA，， ∴∠MBA=∠MBF，
在△MBF和△MBA中，， ∴△MBF≌△MBA（SAS）， ∴MF=MA=MC，
又∵MD⊥BC，∴FD=CD， ∴DC=BF+BD=BA+BD；
2）婆罗摩笈多定理（古拉美古塔定理）模型
条件：如图，四边形ABCD内接于，对角线，垂足为点M，直线，垂足为点E，并且交直线AD于点F．结论：．
证明：∵，，∴，
∴，，
∴，∵，∴．
又∵，∴，∴．
在Rt△ADM中，∠ADM＝90°，∴∠DMF＝90°﹣∠AMF，∠ADM＝90°﹣∠CAD，
又∠AMF＝∠CAD，∴∠DMF＝∠ADM，∴FM＝FD，∴AF＝FD
2）婆罗摩笈多定理（古拉美古塔定理）的逆定理
条件：如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD，垂足为M，F为AD上一点，直线FM交BC于点E，FA=FD．结论：FE⊥BC．
证明：∵AF=FD，AC⊥BD，∴∠AMD=90°，∴AF=MF=FD，∴∠FMD=∠ADM，
∵∠DAM+∠ADM=90°，∴∠FMD+∠DAM=90°，
∵∠FMD=∠BME，∠DAM=∠DBC，∴∠DBC+∠BME=90°，∴∠MEB=90°，∴FE⊥BC．
模型1.阿基米德折弦模型
例1（24-25九年级上·河南漯河·期末）定义：圆中有公共端点的两条弦组成的折线称为圆的一条折弦．如图，和 组成圆的折弦，，是的中点，于，则下列结论一定成立的是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：如图，在上截取，连接，，，，
是的中点，，，
和都是所对的圆周角，，
在和中，，，，
又，，，故C选项正确，
现有条件不能证明选项A，B，D中的结论一定成立，故选C．
例2（2024·河南洛阳·校考二模）请阅读下列材料，并完成相应的任务．
阿基米德折弦定理
阿基米德（Archimedes，公元前287~公元212年，古希腊是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．
阿拉伯Al-Biruni（973年-1050年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al-Biruni译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德的折弦定理．
阿基米德折弦定理：如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，是的中点，则从点向所作垂线的垂足是折弦的中点，即，
下面是运用“补短法”证明的部分证明过程．
证明：如图2，延长到点F，使得，连接DA，DB，DC和DF．
∵是的中点∴…
任务：（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分：
（2）填空：如图3，已知等边内接于，，为上一点，．于点，则的周长是______．
【答案】（1）见解析；（2）
【详解】解：（1）证明：∵是的中点∴
∵，AE=CF∴∴
在和中 ∴
∴∴
（2）如图，在BD上截取BF=CD，连接AF，AD，
根据题意得，AB=AC，,在△ABF和△ACD中， ∴△ABF≌△ACD∴AF=AD
∵AE⊥BD∴FE=DE∴CD+DE=BF+FE=BE
∵ ∴ ∴BD+CD=2BE=
∵ΔABC是等边三角形，且AB=BC=6∴的周长为： 故答案为：
例3（24-25九年级上·江苏连云港·期末）【问题呈现】阿基米德折弦定理：
如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，点M是的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD＝DB+BA．下面是运用“截长法”证明CD＝DB+BA的部分证明过程．
证明：如图2，在CD上截取CG＝AB，连接MA、MB、MC和MG．
∵M是的中点，∴MA＝MC①
又∵∠A＝∠C② ∴△MAB≌△MCG③ ∴MB＝MG
又∵MD⊥BC∴BD＝DG∴AB+BD＝CG+DG即CD＝DB+BA
根据证明过程，分别写出下列步骤的理由：① ，② ，③ ；
【理解运用】如图1，AB、BC是⊙O的两条弦，AB＝4，BC＝6，点M是的中点，MD⊥BC于点D，则BD＝ ；
【变式探究】如图3，若点M是的中点，【问题呈现】中的其他条件不变，判断CD、DB、BA之间存在怎样的数量关系？并加以证明．
【实践应用】根据你对阿基米德折弦定理的理解完成下列问题：
如图4，BC是⊙O的直径，点A圆上一定点，点D圆上一动点，且满足∠DAC＝45°，若AB＝6，⊙O的半径为5，求AD长．
【答案】（问题呈现）相等的弧所对的弦相等；同弧所对的圆周角相等；有两组边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等；（理解运用）1；（变式探究）DB＝CD+BA；证明见解析；（实践应用）7或．
【详解】（问题呈现）①相等的弧所对的弦相等 ②同弧所对的圆周角相等
③有两组边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等
故答案为：相等的弧所对的弦相等；同弧所定义的圆周角相等；有两组边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等；
（理解运用）CD＝DB+BA，即CD＝6﹣CD+AB，即CD＝6﹣CD+4，解得：CD＝5，
BD＝BC﹣CD＝6﹣5＝1，故答案为：1；
（变式探究）DB＝CD+BA．证明：在DB上截去BG＝BA，连接MA、MB、MC、MG，
∵M是弧AC的中点，∴AM＝MC，∠MBA＝∠MBG．
又MB＝MB∴△MAB≌△MGB（SAS）∴MA＝MG∴MC＝MG，
又DM⊥BC，∴DC＝DG，AB+DC＝BG+DG，即DB＝CD+BA；
（实践应用）如图，BC是圆的直径，所以∠BAC＝90°．
因为AB＝6，圆的半径为5，所以AC＝8．
已知∠D1AC＝45°，过点D1作D1G1⊥AC于点G1，则CG1′+AB＝AG1，
所以AG1＝（6+8）＝7．所以AD1＝7．如图∠D2AC＝45°，同理易得AD2＝．
所以AD的长为7或．
例4（2024·河南·校考二模）阅读下面材料，完成相应的任务：
阿基米德是有史以来最伟大的数学家之一、《阿基米德全集》收集了已发现的阿基米德著作，它对于了解古希腊数学，研究古希腊数学思想以及整个科技史都是十分宝贵的．其中论述了阿基米德折弦定理：从圆周上任一点出发的两条弦，所组成的折线，称之为该圆的一条折弦．一个圆中一条由两长度不同的弦组成的折弦所对的两段弧的中点在较长弦上的射影，就是折弦的中点．
如图1，AB和BC是的两条弦（即ABC是圆的一条折弦），．M是弧的中点，则从M向所作垂线之垂足D是折弦的中点，即．
小明认为可以利用“截长法”，如图2：在线段上从C点截取一段线段，连接．
小丽认为可以利用“垂线法”，如图3：过点M作于点H，连接
任务：(1)请你从小明和小丽的方法中任选一种证明思路，继续书写出证明过程，
(2)就图3证明：．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【详解】（1）证明：如图2，在CB上截取C，连接，
∵是的中点，∴
在和中，∴，∴
∵，∴∴ ；
（2）证明：在中，，在中，，
由（1）可知， ，
∴
；
模型2.圆中的“婆罗摩笈多”模型
例1（2024·河南·校考一模）阅读下列相关材料，并完成相应的任务．
婆罗摩笈多是古印度著名的数学家、天文学家，他编著了《婆罗摩修正体系》，曾经提出了“婆罗摩笈多定理”，也称“布拉美古塔定理”．
定理的内容是：“若圆内接四边形的对角线相互垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线将平分对边”．
按图写出这个定理的已知和求证，并完成这个定理的证明过程；
已知：________________________________________________________________________________，
求证：________________________________________________________________________________，
证明：________________________________________________________________________________．
【答案】见解析
【详解】解：已知：如图，在圆内接四边形ABCD中，对角线AC⊥BD于点M，过点M作AB的垂线分别交AB、DC于点F，E．
求证：点E是DC的中点．
证明：∵AC⊥BD，EF⊥AB，
∴∠BMF＋∠AMF＝90°，∠MAF＋∠AMF＝90°，∴∠BMF＝∠MAF，
∵∠EDM＝∠MAF，∠EMD＝∠BMF，
∴∠EDM＝∠EMD，∴DE＝ME，同理可证ME＝CE，
∴DE＝CE，∴点E是DC的中点．点E是DC的中点．
∵AC⊥BD，EF⊥AB，∴∠BMF＋∠AMF＝90°，∠MAF＋∠AMF＝90°，
∴∠BMF＝∠MAF，∵∠EDM＝∠MAF，∠EMD＝∠BMF，
∴∠EDM＝∠EMD，∴DE＝ME，同理可证ME＝CE，∴DE＝CE；
例2（2024·河南周口·二模）婆罗摩笈多（Brahmagupta）是古代印度著名数学家、天文学家，他在三角形、四边形、零和负数的算术运算规则、二次方程等方面均有建树，他曾经提出了“婆罗摩笈多定理”，该定理也称为“古拉美古塔定理”，该定理的内容及部分证明过程如下：
古拉美古塔定理：如图①，四边形ABCD内接于，对角线，垂足为点M，直线，垂足为点E，并且交直线AD于点F．则．
证明：∵，，∴，
∴，，∴，
∵，∴．
又∵，∴，∴．…
任务：(1)将上述证明过程补充完整；
(2)古拉美古塔定理的逆命题：如图②，四边形ABCD内接于，对角线，垂足为点M，直线FM交BC于点E，交AD于点F．若，则．请证明该命题．
【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析
【详解】（1）在Rt△ADM中，∠ADM＝90°，
∴∠DMF＝90°﹣∠AMF，∠ADM＝90°﹣∠CAD，
又∠AMF＝∠CAD，∴∠DMF＝∠ADM，∴FM＝FD，∴AF＝FD
（2）在Rt△AMD中，AF＝FD，∴FM＝AF＝FD，∴∠MAD＝∠AMF，∠ADM＝∠FMD，
∵，∴∠MAD＝∠CBD，∵∠BME＝∠FMD，∴∠BME＝∠ADM，
∴∠CBD+∠BME＝∠MAD+∠ADM＝90°，∴∠BEM＝90°，∴FE⊥BC．
例3（24-25九年级·江苏·假期作业）阅读材料并完成相应任务：婆罗摩笈多是一位印度数学家与天文学家，他的一些数学成就在世界数学史上有较高的地位．其中就包括他提出的婆罗摩笈多定理（也称布拉美古塔定理）．
婆罗摩笈多定理：若圆内接四边形的对角线相互垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线将平分对边．
下面对该定理进行证明．
已知：如图（1），四边形内接于，对角线于点，于点，延长交于点．求证：．
证明：，，，，．……
任务：(1)请完成该证明的剩余部分；(2)请利用婆罗摩笈多定理完成如下问题：如图（2），已知中，，，，分别交于点，，连接，交于点．过点作，分别交，于点，．若，求的长．
【答案】(1)见解析(2)
【详解】（1）解：证明：，，
，，，
，，，，同理，，；
（2）四边形是内接四边形，，
，，，，
，，．
1．（24-25九年级上·河南漯河·期末）定义：圆中有公共端点的两条弦组成的折线称为圆的一条折弦．如图，和 组成圆的折弦，，是的中点，于，则下列结论一定成立的是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：如图，在上截取，连接，，，，
是的中点，，，
和都是所对的圆周角，，
在和中，，，，
又，，，故C选项正确，
现有条件不能证明选项A，B，D中的结论一定成立，故选C．
2．（23-24九年级上·浙江温州·期中）婆罗摩芨多是公元7世纪古印度伟大的数学家，他研究过对角线互相垂直的圆内接四边形，我们把这类四边形称为“婆氏四边形”．如图，在中，四边形是“婆氏四边形”，对角线相交于点E，过点E作于点H，延长交于点F，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】解：∵，∴，
∴，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴，
∴，∴，∴，故选A．
3．（2024山东·校考二模）阿基米德折弦定理：如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，是弧的中点，则从向所作垂线的垂足是折弦的中点，即．请应用阿基米德折弦定理解决问题：如图2，已知等边内接于，，为上一点，，于点，则的周长是 ．
【答案】
【详解】解：∵是等边三角形，∴，，
∴外接圆中，，即点是弧的中点，且于点，
∴根据阿基米德折弦定理得，，∵中，，于点，且，
∴，，即是等腰直角三角形，则，
∴，∴，
∵的周长为，∴，故答案为：．
4．（24-25九年级下·江西南昌·期末）婆罗摩笈多是公元7世纪的古印度伟大数学家，曾研究对角线互相垂直的圆内接四边形，我们把这类四边形称为“婆罗摩笈多四边形”．如图，四边形是的内接四边形，且是“婆罗摩笈多四边形”、若，则的半径为 ．

【答案】1
【详解】解：连接，交于点E，连接并延长交于F，连接，设的半径为r，

∵是直径，∴，由题意知，∴，
∵，∴，∴，∴，∴，
∵，∴，
同理可得，∴，
∴，即的半径为1，故答案为：1．
5．（24-25·山西阳泉·九年级统考期末）请阅读下列材料，并完成相应的任务：
任务：(1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
(2)填空：如图3，已知等边内接于，为上一点，，于点，，则折弦的长是______．

【答案】(1)见解析；(2)．
【详解】（1）∵是弧的中点，∴，∵，∴，
∵和所对的弧是，∴，
在和中，，∴，∴，，
∵，∴，∴，∴．
（2）∵是等边三角形，∴，，∵，∴，
∵于点，∴，∴，∵，∴，∵，
∴折弦的长为：，故答案为：．
6．（2024·河南安阳·校考一模）阅读下列材料，并完成相应的任务．
任务：(1)填空：①依据1指的是中点的定义及________；②依据2指的是________．
(2)请将证明过程补充完整．(3)善于思考的小虎发现当点P是的中点时，，请你利用图（2）证明该结论的正确性．
【答案】(1)①直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；②圆内接四边形对角互补(2)见解析(3)见解析
【详解】（1）①依据1指的是中点的定义及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，
②依据2指的是圆内接四边形对角互补，
故答案为：①直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；②圆内接四边形对角互补；
（2）如图（1），连接PB，PC，DE，EF，取PC的中点Q，连接QE、QF，
则EQ=FQ=PC=PQ=CQ，∴点E，F，P，C四点共圆，∴∠FCP+∠FEP=180°，
又∵∠ACP+∠ABP=180°，∴∠FEP=∠ABP，同上可得点B，D，P，E四点共圆，∴∠DBP=∠DEP，
∵∠ABP+∠DBP=180°，∴∠FEP+∠DEP=180°，∴点D，E，F在同一直线上；
（3）如图，连接．
∵点P是的中点，∴，∴．
又∵，∴，∴，∴．
7．（24-25·湖南长沙九年级月考）婆罗摩芨多是公元7世纪古印度伟大的数学家，他在三角形、四边形、零和负数的运算规则，二次方程等方面均有建树，他也研究过对角线互相垂直的圆内接四边形，我们把这类对角线互相垂直的圆内接四边形称为“婆氏四边形”．
（1）若平行四边形ABCD是“婆氏四边形”，则四边形ABCD是．（填序号）
①矩形；②菱形；③正方形
（2）如图1，RtABC中，∠BAC=90°，以AB为弦的⊙O交AC于D，交BC于E，连接DE、AE、BD，AB=6，，若四边形ABED是“婆氏四边形”，求DE的长．
（3）如图2，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，连接AC，BD，OA，OB，OC，OD，已知∠BOC+∠AOD=180°．
①求证：四边形ABCD是“婆氏四边形”；
②当AD+BC=4时，求⊙O半径的最小值．
【答案】（1）③；（2）3；（3）①见解析；②
【详解】解：（1）如下图，
∵平行四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠ABC=∠ADC，∠ABC+∠ADC=180°，
∴∠ABC=∠ADC=90°，∴平行四边形ABCD为矩形，
∵四边形ABCD是“婆氏四边形”，∴AC⊥BD，∴矩形ABCD为正方形，故答案为：③；
（2）∵∠BAC=90°，AB=6，，∴，,BD为直径，
∴∠BED=∠DEC=90°，∵四边形ABED是“婆氏四边形”，∴AE⊥BD，∴AD=DE，AB=BE=6，
设AD=DE=m，则DC=8-m，EC=10-6=4，在Rt△EDC中，根据勾股定理,
,即，解得，即DE=3；
（3）①设AC，BD相交于点E如图所示
∵，，∠BOC+∠AOD=180°，
∴，∴∠CED=90°，即AC⊥BD，
又∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴四边形ABCD是“婆氏四边形”；
②如下图，作OM，ON分别垂直与AD，BC，
∴，，∠AMO=∠BNO=90°，∴∠AOM+∠OAM=90°，
∵OA=OB=OC=OD，∴,，
∵∠BOC+∠AOD=180°，∴，∴，
在△OAM和△BON中∵∴△OAM≌△BON（AAS），∴，
∵AD+BC=4设，则，，，
在Rt△BON中，，
当时，取得最小值，即⊙O半径的最小值为．
8．（2024·山西临汾·九年级统考阶段练习）阅读与思考
请阅读下列材料，并完成相应的任务．
任务：(1)补全证明过程，(2)如图3，在中，，，若，，，则到的距离是____________，到的距离是____________，的半径是____________．
【答案】(1)证明见解析 (2)；；
【详解】（1）证明：如图2，在上截取，连接，，和．
∵是的中点，∴，∵，∴，∴，
又∵，∴，∴；

（2）解：如图，过点作于点，于点，连接，
∵，，∴，∴，
由（1）的结论，并结合图形，可得：，
∴，解得：，∵，∴，
∴，∴到的距离是，
∵，，∴，∴，∴到的距离是，
∵，，∴，∴的半径是．故答案为：；；．
9．（24-25··福建泉州·九年级校考期中）材料：如图①，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），点是弧的中点，则从点向所作垂线的垂足是折弦的中点，即。（1）如图②，已知等边内接于为弧上--点，于点，求的周长；（2）求证：．
【答案】（1）△BDC的周长为；（2）证明见解析
【详解】（1）解：∵AE⊥BD，∠ABD=45°，∴△AEB是等腰直角三角形，∴，
又∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∴A为弧BDC的中点，
∴AE平分折弦CDB，即BE=ED+DC，∴BD+DC=2BE=；
∴△BDC的周长=BD+CD+BC=；
（2）证明：如图，在CB上截取CG=AB，连接MA，MB，MC和MG，
∵M是弧ABC的中点，∴MA=MC．
在△MBA和△MGC中，，∴△MBA≌△MGC（SAS），∴MB=MG，
又∵MD⊥BC，∴BD=GD，∴DC=GC+GD=AB+BD．
10．（2024·山东临沂·统考一模）（1）如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC>AB，点M是的中点，MD⊥BC，垂足为D．求证：CD＝DB+BA．
（2）如图2，BC是半⊙O的直径，点A是半圆上一定点，点D是半圆上一动点，且满足∠DAC＝45°，若AB＝5，⊙O的半径为6.5，
①请在图2上作出D点，说明理由；②结合（1）的结论，求AD的长．
【答案】（1）见解析；（2）①作图见解析，理由：∠DAC＝∠DOC＝45°；②
【详解】（1）证明：如图，在CD上截取CG＝AB，连接MA、MB、MC和MG．
∵M是的中点，∴MA＝MC，又∵∠A＝∠C，∴△MAB≌△MCG∴MB＝MG
又∵MD⊥BC，∴BD＝DG∴AB+BD＝CG+DG，即CD＝DB+BA ；
（2）①如图2，过点O作DO⊥BC交半圆于点D，即为所求．理由：∠DAC＝∠DOC＝45°
②过点D作DM⊥AC ，∵DO⊥BC，∴D为半圆弧的中点，由（1）得，CM＝AM+BA ，
∵BC是半⊙O的直径，⊙O的半径为6.5，∴∠CAB=90°，BC=13，∵A B＝5，∴，
∴AM=AC-CM=AC-（AM+AB），∴ =（12-5）= ，
∵∠DAC＝45°，∴AD=AM= ．
11．（24-25··浙江·九年级专题练习）如图中所示，AB和BC组成圆的折弦，AB＞BC，D是的中点，DE⊥AB，垂足为E．连结AD，AC，BD．（1）写出所有与∠DBA相等的角（不添加任何线段）__________．
（2）判断AE，BE，BC之间的数量关系并证明．（3）如图，已知AD＝7，BD＝3，求AB·BC的值．
【答案】（1）；（2），见解析；（3）40
【详解】（1）是的中点，故答案为：（2）
理由如下：如图，在线段上截取，∵
∴是的中垂线∴ ，
∵点D是的中点，∴，，∴
∵∴，
∵，∴ ，∴，
∴，∴即
（3）∵∴
∴
12．（24-25·江苏·九年级期中）小明学习了垂径定理，做了下面的探究，请根据题目要求帮小明完成探究．
(1)更换定理的题设和结论可以得到许多真命题．如图1，在中，C是劣弧的中点，直线于点E，则．请证明此结论；(2)从圆上任意一点出发的两条弦所组成的折线，成为该圆的一条折弦．如图2，，组成的一条折弦．C是劣弧的中点，直线于点E，则．可以通过延长、相交于点F，再连接证明结论成立．请写出证明过程；
(3)如图3，，组成的一条折弦．C是优弧的中点，直线于点E，则，与之间存在怎样的数量关系？写出结论，不必证明．

【答案】(1)见解析(2)见解析(3)，证明见解析
【详解】（1）如图1，连接，，

∵C是劣弧的中点，∴，∵，∴，
∴，，∴，∴是等腰三角形，∵，∴；
（2）如图2，延长、相交于点F，再连接，
∵四边形是圆内接四边形，∴，∵C是劣弧的中点，∴，
∵，∴∵∴∴
∴，，∴，∴，∴
（3）．理由如下：连接，，，与相交于点F，
∵，∴，∵，∴，，
∵，∴，∴，，∴，
∴，，∴，∴，∴．
13．（2024·山西大同·三模）阅读与思考：阿基米德（公元前287年－公元前212年），伟大的古希腊哲学家、百科式科学家、数学家、物理学家、力学家、静态力学和流体静力学的奠基人，并且享有“力学之父”的美称，留给后人的最有价值的书是《阿基米德全集》．在该书的“引理集”中有这样一道题：
如图1，以为直径作半圆O，弦是一个内接正五边形的一条边（即：），点D是的中点，连接并延长与直径的延长线交于点E，连接交于点F，过点F作于点M．求证：是半圆的半径．
下面是勤奋小组的部分证明过程：证明：如图2，过点D作于点H．
∵，∴．（依据1）
∵点D是的中点，∴．∵，∴．
∴．（依据2）
∵以为直径作半圆O，∴．（依据3）
∴．∵四边形是半圆O的内接四边形，
∴．（依据4）
∵，∴．
∵于点M，∴．
∵，∴．∵．∵．
∴．∴．……
通过上面的阅读，完成下列任务：(1)任务一：直接写出依据1，依据2，依据3和依据4；
(2)任务二：根据勤奋小组的解答过程完成该题的证明过程．（提示：先求出的度数，再根据等腰三角形的性质或判定完成该题的证明过程）
【答案】(1)依据1：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角度数的一半．（或圆周角定理）；依据2：同弧或等弧所对的圆周角相等；依据3：直径所对的圆周角是直角；依据4：圆内接四边形的对角互补(2)见解析
【详解】（1）解：依据1：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角度数的一半（或圆周角定理）；
依据2：同弧或等弧所对的圆周角相等；依据3：直径所对的圆周角是直角；
依据4：圆内接四边形的对角互补；
（2）解：∵，∴，∵于点H，∴，∴，
∵是的外角，∴，∴，
∴，∴，∴，∴，∴是半圆的半径．
14．（2024·重庆·统考一模）阅读下列相关材料，并完成相应的任务．婆罗摩笈多是古印度著名的数学家、天文学家，他编著了《婆罗摩修正体系》，他曾经提出了“婆罗摩笈多定理”，也称“布拉美古塔定理”．定理的内容是：“若圆内接四边形的对角线互相垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线平分对边”．
任务：（1）按图（1）写出了这个定理的已知和求证，并完成这个定理的证明过程；
已知：__________________ 求证：_________________ 证明：
（2）如图（2），在中，弦于M，连接分别是上的点，于于H，当M是中点时，直接写出四边形是怎样的特殊四边形：__________．
【答案】（1）见解析；（2）菱形
【详解】（1）已知：如图，在圆内接四边形中，对角线于点M，过点M作的垂线分别交于点． 求证：点E是的中点
证明： ，，
，，，
同理可证，，∴点E是的中点
故答案为：已知：如图，在圆内接四边形中，对角线于点M，过点M作的垂线分别交于点． 求证：点E是的中点
（2）四边形是菱形
理由：由布拉美古塔定理可知，分别是的中点，
是中点
∴四边形是菱形故答案为：四边形是菱形
15．（24-25··江苏·九年级假期作业）问题呈现：阿基米德折弦定理：如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，M是的中点，则从M向所作垂线的垂足D是折弦的中点，即．下面是运用“截长法”证明的部分证明过程．

（1）证明：如图2，在上截取，连接和．
∵M是的中点，∴…… 请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
实践应用：（2）如图3，已知内接于，，D是的中点，依据阿基米德折弦定理可得图中某三条线段的等量关系为 ．
（3）如图4，已知等腰内接于，，D为上一点，连接，，于点E，的周长为，，请求出的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）4
【详解】（1）证明：如图2，在上截取，连接和．

∵M是的中点，∴．
在和中，，∴，∴，
又∵，∴，∴；
（2）根据阿基米德折弦定理得，，答案为：；
（3）根据阿基米德折弦定理得，，
∵的周长为，∴，∴，
∵，∴，在中，，∴．
16．（2023·江苏宿迁·统考二模）【阅读】婆罗摩笈多是七世纪印度数学家，他曾提出一个定理：若圆内接四边形的对角线相互垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线平分对边．
证明：如图1所示内接于圆的四边形的对角线互相垂直，垂足为点，过点的直线垂直于，垂足为点，与边交于点，由垂直关系得，，所以，由同弧所对的圆周角相等得，所以，则，同理，，故；
【思考】命题“若圆内接四边形的对角线相互垂直，则平分对边且过对角线交点的直线垂直于另一边”为 （填“真命题”，“假命题”）；
【探究】（1）如图2，和为共顶点的等腰直角三角形，，过点的直线垂直于，垂足为点，与边交于点．证明：点是的中点；
（2）如图3，和为共顶点的等腰直角三角形，点是的中点，连接交于点，若，求的长．
【答案】【思考】真命题；【探究】（1）证明见解析；（2）4．
【详解】解：【思考】“若圆内接四边形的对角线相互垂直，则平分对边且过对角线交点的直线垂直于另一边”为真命题．理由如下：如下图，
∵，为的中点，∴．∴．
∵，∴．∵，∴．
∴．∴．即：．
∴命题“若圆内接四边形的对角线相互垂直，则平分对边且过对角线交点的直线垂直于另一边”为真命题．
故答案为：真命题．
【探究】（1）如下图，过点作，交的延长线于点，
∵，∴．∵，∴．
∵，∴．∴．∵，∴．
∵，∴．∴．
∵为等腰直角三角形，∴．在和中，
∴．∴．∵，∴．
在和中，∴．∴．即是的中点．
（2）如下图，过点作，交的延长线于点，
∵，∴．
在和中，∴．
∴．∴． ∵，∴．
∵，
∴．在和中，
∴．∴．
17.（24-25九年级上·江苏盐城·期中）【了解概念】我们知道，折线段是由两条不在同一直线上且有公共端点的线段组成的图形．如图1，线段、组成折线段．若点在折线段上，，则称点是折线段的中点．
(1)如图2，的半径为2，是的切线，为切点，点是折线段的中点．若，则 ；
(2)【定理证明】阿基米德折弦定理：如图3，和是的两条弦（即折线段是圆的一条折弦），，点是的中点，从向作垂线，垂足为，求证：是折弦的中点；
【变式探究】(3)如图4，若点是的中点，【定理证明】中的其他条件不变，则、、之间存在怎样的数量关系？请直接写出结论．
【灵活应用】(4)如图5，是的直径，点为上一定点，点为上一动点，且满足，若，，则 ．
【答案】(1)3(2)见解析(3)(4)或
【详解】（1）解：是的切线，为切点，，，
，，，，是折线段的中点，，故答案为：3；
（2）证明：在上截取，连接、、、，

点是的中点，，，（SAS），，
，，，是折弦的中点；
（3）解：，理由如下：
如图，在上截取，连接、、、，点是的中点，，
，（SAS），，，
，，；
（4）解：是的直径，，
，，，当点在上时，如图，
，，过点作交于点，
，，；
当点在上时，如图，，过点作交于点，
，，；
综上所述：的长为或，故答案为：或．

阿基米德折弦定理
阿基米德（Archimedes，公元前～公元前年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．
阿拉伯Al-Biruni（年～年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al-Biruni译本出版了像文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德的折弦定理．
阿基米德折弦定理：
如图1，和是的两条弦（即折线是固的一条折弦），，是弧的中点，则从向所作垂线的垂足是折弦的中点，即．
这个定理有根多证明方法，下面是运用“垂线法”证明的部分证明过程．
证明：如图2．作射线，垂足为，连接，，．
∵是弧的中点，
∴．…


西姆松定理是一个平面几何定理，其表述为：过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边或其延长线的垂线，则三垂足共线（此线常称为西姆松线）．
某数学兴趣小组的同学们尝试证明该定理．
如图（1），已知内接于，点P在上（不与点A，B，C重合），过点P分别作，，的垂线，垂足分别为．点D，E，F求证：点D，E，F在同一条直线上．
如下是他们的证明过程（不完整）：

如图（1），连接，，，，取的中点Q，连接，，则，（依据1）
∴点E，F，P，C四点共圆，∴．（依据2）
又∵，∴．
同上可得点B，D，P，E四点共圆，……
在《阿基米德全集》中记述了伟大的古希腊数学家、哲学家、物理学家阿基米德提出的关于圆的一些问题，其中有这样一个问题：如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，是的中点，则从点向所作垂线的垂足是折弦的中点，即．其部分证明过程如下：证明：如图2，在上截取，连接，，和．
∵是的中点，∴，
∵，∴，∴，……