2025-2026学年山东省聊城第三中学高二上学期第一次月考数学试卷（含答案）

这是一份2025-2026学年山东省聊城第三中学高二上学期第一次月考数学试卷（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.甲、乙两人进行投篮练习，甲每次投中的概率为0.8，乙每次投中的概率为0.7.若甲、乙两人各投篮一次，且是否投中互不影响，则恰有一人投中的概率为( )
A. 0.38B. 0.44C. 0.56D. 0.62
2.如图，设OA=a,OB=b,OC=c，若AN=NB,BM=2MC，则MN=( )
A. 12a+16b-23cB. -12a-16b+23cC. 12a-16b-13cD. -12a+16b+13c
3.缙云山是著名的旅游胜地．天气预报中秋节连续三天，每天下雨的概率为0.5，现用随机模拟的方法估计三天中至少有两天下雨的概率：先由计算器产生0到9之间的整数值的随机数，指定0，1，2，3，4表示当天下雨，5，6，7，8，9表示当天不下雨，每3个随机数为一组，代表三天是否下雨的结果，经随机模拟产生了20组随机数：
926 446 072 021 392 077 663 817 325 615
405 858 776 631 700 259 305 311 589 258
据此估计三天中至少有两天下雨的概率约为( )
A. 0.45B. 0.5C. 0.55D. 0.6
4.如图，二面角α-l-β的棱上有两点A,B，线段BD与AC分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱l，若AB=2,AC=3,BD=4,CD= 41，则二面角α-l-β的大小为( )
A. π6B. π3C. 23πD. 5π6
5.已知A(1,1,0),B(0,3,0),C(2,2,3)，则向量AC在AB上的投影向量的坐标是( )
A. -15,25,0B. -15,25,1C. -15,-25,0D. 15,25,0
6.已知空间向量a=(2,1,3)，b=(-1,2,-2)，c=(7,6,λ)，若向量a,b,c共面，则实数λ的值为( )．
A. 9B. 10C. 11D. 12
7.已知向量a,b,c是空间的一个基底，向量a+b,a-b,c是空间的另一个基底，一向量p在基底a,b,c下的坐标为(1,2,3)，则向量p在基底a+b,a-b,c下的坐标为( )
A. (12,32,3)B. (32,-12,3)C. (3,-12,32)D. (-12,32,3)
8.在中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上､下底面平行，且均为扇环形(扇环是指圆环被扇形截得的部分).现有一个如图所示的曲池，它的高为2，AA1，BB1，CC1，DD1均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为1和2，对应的圆心角为90°，则图中异面直线AB1与CD1所成角的余弦值为( )
A. 45B. 35C. 34D. 23
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题中正确的是( )
A. 已知向量a//b，则存在向量可以与a，b构成空间的一个基底
B. 若两个不同平面α，β的法向量分别是u，v，且u=1,2,-2，v=2,1,2，则α⊥β
C. “存在实数x,y，使p=xa+yb”是“p与a，b共面”的充要条件
D. 已知OA,OB,OC是空间向量的一个基底，且OD=13OA+13OB+13OC，则点D在平面ABC内，且D为▵ABC的重心
10.袋子中有6个大小、质地完全相同的球，其中3个红球、3个黄球，从中任取3个球，设事件A=“取出的3个球至少有一个红球”，B=“取出的3个球至多有一个红球”，C=“取出的3个球既有红球又有黄球”，D=“取出的3个球全是红球”，则( )
A. 事件C与D互斥B. 事件A与D互为对立事件
C. 事件B与C相互独立D. 事件A与C相互独立
11.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，Q是棱DD1上的动点，则下列说法正确的是( )
A. 存在点Q，使得C1Q//A1C
B. 存在点Q，使得C1Q⊥A1C
C. 对于任意点Q，Q到A1C的距离的取值范围为 22, 63
D. 对于任意点Q，▵A1CQ都是钝角三角形
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.现有7名数理化成绩优秀者，分别用A1，A2，A3，B1，B2，C1，C2表示，其中A1，A2，A3的数学成绩优秀，B1，B2的物理成绩优秀，C1，C2的化学成绩优秀.从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，组成一个小组代表学校参加竞赛，则A1和B1不全被选中的概率为 ．
13.点A1,2,1,B3,3,2,Cλ+1,0,-1，若AB，AC的夹角为钝角，则λ的取值范围为 ．
14.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD=AA1=3,AB=4，E,F,G分别是棱C1D1,BC,CC1的中点，M是平面ABCD内一动点，若直线D1M与平面EFG平行，则MB1⋅MD1的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知空间中三点A2,0,-2，B1,-1,-2，C3,0,-4，设a=AB，b=AC．
(1)若c=3，且c//BC，求向量c⇀；
(2)已知向量ka+b与互相垂直，求k的值；
(3)求ΔABC的面积．
16.(本小题15分)
袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球，3个黄球．
(1)若这5个球分别标有数字1，2，3，4，5，现从袋中每次任取一个球，每次取出后不放回，连续取两次，求两个小球所标数字之和为3的倍数的概率；
(2)若从中摸出一个球，观察颜色后放回，再摸出一个球，求两球颜色恰好不同的概率．
17.(本小题15分)
已知四棱锥P-ABCD，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60 ∘，PA=PD，∠APD=90 ∘，F为AD中点，BP=AD．
(1)证明：平面PBF⊥平面ABCD；
(2)求BF与平面PBC所成的角．
18.(本小题17分)
中国乒乓球队是中国体育军团的王牌之师，屡次在国际大赛上争金夺银，被体育迷们习惯地称为“梦之队”.2024年巴黎奥运会，中国乒乓球队包揽全部五枚金牌.其中团体赛由四场单打和一场双打比赛组成，采用五场三胜制.每个队由三名运动员组成，当一个队赢得三场比赛时，比赛结束.2024年8月10日，中国队对战瑞典队，最终以3:0取得团体赛冠军，赛前某乒乓球爱好者对赛事情况进行分析，根据以往战绩，中国队在每场比赛中获胜的概率均为45．
(1)求中国队以3:0的比分获胜的概率；
(2)求中国队在已输一场的情况下获胜的概率；
(3)求至多进行四场比赛的概率．
19.(本小题17分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD⊥平面ABCD，▵PAD是边长为2的等边三角形，底面ABCD为直角梯形，其中BC//AD，AB⊥AD，AB=BC=1．
(1)取线段PA中点M，连接BM，证明：BM//平面PCD；
(2)求B到平面PCD的距离；
(3)线段PD上是否存在一点E，使得平面EAC与平面DAC夹角的余弦值为 105？若存在，求出PEPD的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
1.A
2.A
3.B
4.C
5.A
6.B
7.B
8.A
9.BD
10.AC
11.BC
12.56
13.λ