江苏省苏州市苏州立达中学校2025-2026学年上学期八年级数学10月月考卷

这是一份江苏省苏州市苏州立达中学校2025-2026学年上学期八年级数学10月月考卷，共30页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．下列数据是三根小棒的长度，用它们能组成三角形的是（ ）
A．、、B．、、
C．、、D．、、
【答案】D
【分析】本题主要考查了三角形三边关系，灵活运用“两边之和大于第三边”是解题的关键．
根据两边之和大于第三边逐项判断即可．
【详解】解：A．由，与两边之和大于第三边矛盾，故A不符合题意；
B．由，与两边之和大于第三边矛盾，故B不符合题意；
C．由，与两边之和大于第三边矛盾，故C不符合题意；
D．由，符合两边之和大于第三边，故D符合题意．
故选：D．
2．已知图中的两个三角形全等，则等于（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用三角形内角和先求出的度数，再根据全等三角形的性质即可得出结果．
【详解】解：如图，
，
，
，
故选：．
【点睛】本题考查了三角形内角和，三角形全等的性质，找对全等三角形的对应角是解答本题的关键．
3．如图，，是和的平分线，添加下列一个条件后，不能得到的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查全等三角形的判定，解答此题的关键是明确全等三角形的判定方法．
根据题意得到，，证明，结合，再分别对每个选项进行判断即可．
【详解】解：是和的平分线，
∴，
∴，即
又，
当，，故选项A不符合题意；
当，不能判断，故选项B符合题意；
当，，故选项C不符合题意；
当，，故选项D不符合题意；
故选：B．
4．已知，，用尺规作图的方法在上取一点，使得，则下列选项正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了作线段垂直平分线，垂直平分线的性质，根据题意可得，则点在线段的垂直平分线上，即可求解．
【详解】解：∵，
∴点在线段的垂直平分线上，
故可判断D选项正确．
故选：D．
5．下列各式从左到右的变形，是因式分解的是：（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据因式分解的定义对各选项进行逐一分析即可．
【详解】解：A、（x+3）（x-3）+6x不是几个因式积的形式，故不是因式分解，故本选项错误；
B、x2+3x-10不是几个因式积的形式，故不是因式分解，故本选项错误；
C、方程右边是几个因式积的形式，故是因式分解，故本选项正确；
D、等式右边是分式积的形式，故不是分解因式，故本选项错误．
故选C．
【点睛】本题考查的是分解因式的定义，即把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．
6．如图，在中，已知点、分别为边、的中点，且 ，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查三角形的中线的性质，根据三角形的中线平分面积，推出，即可．
【详解】解：∵点D，E分别为边，上的中点，
∴分别为的中线，
∴，，，
∴．
故选：A．
7．东湖高新区为打造成“向往之城”，正建设一批精品口袋公园．如图所示，是一个正在修建的口袋公园．要在公园里修建一座凉亭H，使该凉亭到公路、的距离相等，且使得，则凉亭H是（ ）
A．的角平分线与边上中线的交点
B．的角平分线与边上中线的交点
C．的角平分线与边上中线的交点
D．的角平分线与边上中线的交点
【答案】A
【分析】题考查了角平分线的性质，根据角平分线的性质定理可得点H在的角平分线上，再根据三角形的中线性质可得，，然后利用等式的性质可得，即可解答．
【详解】解：如图：
∵平分，点H在上，
∴点H到、的距离相等，
∵是边上的中线，
∴，，
∴，
∴，
∴凉亭H是的角平分线与边上中线的交点，
故选：A．
8．如图，，，，则的面积为（ ）
A．8B．32C．4D．16
【答案】D
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解决此题的关键是合理的作出辅助线；先作出辅助线，根据等腰三角形的性质得到的长，证明三角形全等，进而得到的长，根据三角形的面积公式即可得到答案；
【详解】解：如图所示：过点A作于点F，过点D作的延长线于点G．
∴
又∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴
∴
∴，
∴，
∴．
故选：D．
二、填空题
9．若ab=2，a﹣b=﹣1，则代数式a2b﹣ab2的值等于 ．
【答案】﹣2
【分析】提取公因式ab，将已知整体代入求出即可
【详解】∵ab=2，a﹣b=﹣1，
∴．
10．如图，为上一点，点分别在两侧．，，若，，则的度数为 ．
【答案】/35度
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据三角形内角和定理求出，根据线段的和差关系整理得，根据平行线的性质得，进而证出，即可作答．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，且，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
故答案为：．
11．如图，是的角平分线，于点，且，，，则的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、角平分线的性质，过点作的垂线交于点，先证明，得到后，将拆成，利用三角形面积公式求解即可．
【详解】解：过点作的垂线交于点，
，
，
是的角平分线，
，
在和中，
，
，
，
．
故答案为：．
12．如图，线段AB、BC的垂直平分线、相交于点O，若∠1＝38°，则∠AOC的度数为 ．
【答案】76 °
【分析】如图，利用线段垂直平分线的性质结合三角形外角性质得到，再利用垂直的定义结合三角形外角性质得到，，利用平角的定义得到，计算即可求解．
【详解】如图，连接BO并延长，
∵、分别是线段AB、BC的垂直平分线，
∴，，，
∴，，
∴，，，
∴，
∵，
∴，，
而，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质，垂直的定义，平角的定义，注意掌握辅助线的作法，掌握整体思想与数形结合思想的应用是解题关键．
13．如图，在格点中找一点，使得是等腰三角形，且以为腰，这样的点一共有 个．
【答案】5
【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，解决此题的关键是要分情况讨论；根据两边相等的三角形是等腰三角形画出等腰三角形，因为不确定哪个点是顶点，所以分情况讨论进而得到答案；
【详解】解：如图所示：
共5个点，
故答案为：5．
14．如图，，平分于点D，交于点C，若，则的长为 ．

【答案】6
【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质即可得到结论．
【详解】解：过P作于E，

∵，平分
∴，
∴，
∵交于点C，
∴，，
∴
∴，
∴，
∴
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，平行线的性质的应用，注意：角平分线上的点到角的两边距离相等．
15．如图，是的角平分线，且，，则的度数为 ．
【答案】32
【分析】在上截取，则，证明，再利用等腰三角形的判定和性质，三角形外角性质，三角形内角和定理解答即可．
【详解】解：在上截取，则，
∵，
∴，
∴；
∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得，
故答案为：32．
【点睛】本题考查了角的平分线，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形外角性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等和等腰三角形的性质是解题的关键．
16．如图，在中，，的角平分线、相交于点，过作交的延长线于点，交于点．现有下列结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号为 ．
【答案】①②④
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，根据三角形内角和以及角平分线的定义得，继而得出的度数，即可判断①；推出，根据证明即可，即可判断②；证明，得，，根据外角的性质可判断③；通过等量代换可判断④．证明三角形全等是解题的关键．
【详解】解：在中，，
∴，
∵分别平分、，
∴，
∴，
∴，故结论①正确；
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，故结论②正确；
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵是的外角，
∴，
∴，故结论③错误；
又∵，
∴，
即，故结论④正确，
∴正确的是①②④个．
故答案为：①②④．
三、解答题
17．因式分解：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了因式分解的方法，解决此题的关键是熟练掌握因式分解的各种方法；
（1）根据提公因式法分解因式即可；
（2）先提公因式，再运用完全平方公式分解因式即可得到答案；
【详解】（1）解：
；
（2）解：
，
18．计算：．
【答案】
【分析】本题主要考查了运用平方差公式进行有理数的简便运算，解决此题的关键是熟练掌握平方差公式；先根据平方差公式写出运算过程，进而运用简便计算即可得到答案；
【详解】解：
，
，
．
19．如图，，点D在边上，，和相交于点O．求证：．

【答案】见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定，三角形的内角和定理，根据对顶角相等，结合三角形的内角和定理推出，利用即可得证．
【详解】证明：∵和相交于点O，
∴，
在和中，，，
∴，
∵，
∴，
∴， 即；
在和中
；
∴．
20．如图，于点，于点．，．求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定方法，是解题的关键．先证明，再证明，根据全等三角形的性质可得出．
【详解】证明：，
∴，
即，
于点E，于点F，
∴和是直角三角形，
在和中，
，
，
∴．
21．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在BC上，且BD＝BA，点E在BC的延长线上，且CE＝CA．
(1)试求∠DAE的度数；
(2)如果把原题中“AB＝AC”的条件去掉，其余条件不变，那么∠DAE的度数会改变吗．为什么．
【答案】(1) 45°；(2)不变，理由见解析．
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质求出∠B=∠ACB=45°，根据等边对等角的性质求出∠BAD=∠BDA，∠E=∠CAE，再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和即可求出∠DAE的度数；
（2）由BD=BA可得∠BAD=∠BDA=（180°-∠B），由CE=CA可得∠E=∠CAE=∠ACB=（90°-∠B），再根据三角形外角的性质即可得到结论．
【详解】解：（1）∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=∠ACB=45°，
∵BD=BA，
∴∠BAD=∠BDA=（180°-45°）=67.5°，
∵CE=CA，
∴∠E=∠CAE=×45°=22.5°，
∴∠DAE=∠BDA-∠E=67.5°-22.5°=45°；
（2）∵BD=BA，
∴∠BAD=∠BDA=（180°-∠B），
∵CE=CA，
∴∠E=∠CAE=∠ACB=（90°-∠B），
∴∠DAE=∠BDA-∠E=（180°-∠B）-（90°-∠B）=90°-∠B-45°+∠B=45°，
即∠DAE的度数不变．
【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，三角形的外角性质，解答本题的关键是熟练掌握三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
22．已知，求作：的平分线，甲、乙、丙三位同学的方案如图所示．
(1)甲、乙、丙三种方案中，可以得出是平分线是______．（填：甲，乙2，丙）
(2)证明其中一种是角平分线的作法．
【答案】(1)甲乙
(2)见解析；
【分析】本题主要考查了角平分线的尺规作图，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，掌握全等三角形的判定和性质是解决此题的关键；
（1）甲同学的运用平行线的性质进行判断即可；乙同学的运用三次全等即可判定；丙同学的无法证明是角平分线；
（2）选择（1）中甲乙的任何一种证明即可；
【详解】（1）解：甲同学方法的证明过程如下：
∵，
∴,
∵，
∴，
∴，
∴是平分线；
乙同学方法的证明过程如下：
∵，,，
∴,
∴,
∵，，
∴，
∴,
∵，，，
∴,
∴,
∵，，，
∴,
∴,
∴是平分线；
丙同学方法的说明如下：
∵，
∴,
∵，
∴，
无法证明，
∴无法证明是平分线；
故答案为：甲乙；
（2）解：选甲同学：
∵，
∴,
∵，
∴，
∴，
∴是平分线；
选乙同学：
∵，,，
∴,
∴,
∵，，
∴，
∴,
∵，，，
∴,
∴,
∵，，，
∴,
∴,
∴是平分线；
23．如图1，在中，，，是上的一点，过点作，垂足为点为的中点，连接．
(1)判定与的数量关系，以及位置关系，并证明；
(2)如图，连接，若，则______．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到两个底角是，由斜边上的中线是斜边的一半得到边相等和等腰三角形，根据等腰三角形的性质和外角的性质得到直角，进而得到答案即可；
（2）先判断出等腰直角三角形和等边三角形，再判断出等腰三角形，根据外角的性质即可得到答案；
【详解】（1）解： ，理由如下：
∵，，
∴
∵，为的中点，
∴，
同理得：
∴，
∴
∵
，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∴
∵， ，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了斜边上的中线等于斜边的一半，等腰直角三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形中角所对的边是斜边的一半等知识点，解决此题的关键是熟练运用斜边上的中线是斜边的一半这个知识点；
24．如图，与中，，，，过作垂足为，交的延长线于点，连接．
(1)求证：平分；
(2)若，，则的长______．
【答案】(1)见解析
(2)2
【分析】（1）先过点作于，判定，得出，再根据角平分线的判定定理，得出答案即可；
（2）先判定，得出，再根据，求得的面积为，进而得到的长．
【详解】（1）证明：过点作于，如图所示：
∵与中，，
∴，
∴，
又∵，
即，
∴，
∵，
∴点A在的角平分线上，
∴平分；
（2）解：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴
，
∵，，
∴，
∴的面积为，
∵，
∴，
解得：．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，三角形面积的计算，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，解题时注意：全等三角形的面积相等．
25．在学习等腰三角形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“邻等对补四边形”进行研究．定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形．
(1)操作理解
小明用分别含有和角的直角三角形纸板拼出如图所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有___________；（填序号）
(2)性质探究
根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质．下面研究与对角线相关的性质．
如图1，四边形是邻等对补四边形，是它的一条对角线．
求证：平分；
(3)拓展应用
如图2，在中，，分别在边上取点M、N，使四边形是邻等对补四边形，则的大小为___________度．
【答案】(1)②
(2)证明见解析
(3)，或
【分析】本题考查了全等三角形判定与性质，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练运用相关性质进行推理证明，利用分类讨论的思想求角的大小．
（1）根据邻等对补四边形的定义，从对角是否互补，是否有一组邻边相等逐个验证，可得结果；
（2）过点A作于E，作，交延长线于F，先后证明，，可得，所以平分；
（3）先根据邻等对补四边形的对角互补，推出，，再根据邻等对补四边形有一组邻边相等，分类讨论，求出每一种情况下的度数，综合可得结果．
【详解】（1）解：①，不满足对角互补，所以该四边形不是邻等对补四边形；
②，，满足对角互补，且有两组邻边相等，所以该四边形是邻等对补四边形；
③，不满足对角互补，所以该四边形不是邻等对补四边形；
④该四边形没有相等的两条邻边，所以不是邻等对补四边形；
综上可知，是邻等对补四边形的有②．
（2）证明：过点A作于E，作，交延长线于F，如图1.1所示：
则，
四边形是邻等对补四边形，
，
又，
，
又由题知，
，
，
又，
，
，
平分．
（3）解：在中，，
∴，
四边形是邻等对补四边形，
，，
，．
根据邻等对补四边形至少有一组邻边相等，可得
当时，如图2.1：
结合，可得，
．
当时，如图2.2：
，
，
．
当时，如图2.3：
，
．
当时，如图2.4：
结合，可得，
．
综上可知，大小为或或．
26．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：
【模型理解】
（1）如图①，，共顶点A，，，，连．由，得．又，，可以推理得到，进而得到______，______．
【问题研究】
（2）小明同学在思考完上述问题后，解决了下面的尺规作图问题．
如图②，已知直线a、b及点P，a与b不平行．作等腰直角，使得点A、B分别在直线a、b上．

小明同学作法简述如下：如图③，过点P作，垂足为点D，以P为直角顶点作等腰直角三角形，过点E作，交b于点B，在a上截取，连．即为所要求作的等腰直角三角形．
请证明小明的作法是正确的．
【深入研究】
小明同学经过研究发现：在上题条件下，也能作出等边，使得点A、B分别在直线a、b上．
（3）请你简述作法，并在图④中画出示意图．（不需要尺规作图）

【答案】（1） （2）见解析（3）见解析
【分析】（1）由推导出，则，，即可证明，得，，于是得到问题的答案；
（2）由，，得，而，，可证明，得，，可证明，所以即为所要求作的等腰直角三角形；
（3）作于点F，依次在右侧作出等边和等边，连接交直线a于点I，再连接并延长交直线b于点B，在射线上取一点A，使，连接，即得到所要求作的等边，理由是：先证明，进而证明，得，再推导出，则是等边三角形．
【详解】解：（1）∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
故答案为：．
（2）∵是以P为直角顶点的等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴即为所要求作的等腰直角三角形．
（3）如图④，
作法：1．作于点F；
2．以为边在右侧作等边；
3．以为边在上方作等边c；
4．连接交直线a于点I；
5．连接并延长交直线b于点B；
6．在射线上取一点A，连接，使；
7．连接，
就是所要求作的等边三角形．
证明：由作法得和都是等边三角形，，
∴，
∴点P、点H都在的垂直平分线上，
∴直线垂直平分，
∴IG=IF，
在和中，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴就是所要求作的等边三角形．
【点睛】此题重点考查全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、线段的垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质、尺规作图等知识．
甲
①利用直尺和三角板画；
②在上截取；
③作射线，即为所求．
乙
①利用圆规截取，；
②连接，相交于点；
③作射线，即为所求．
丙
①在上取点，利用圆规截取；
②过点作；
③作射线，即为所求．