湖南省常德市第一中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题

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（满分150分 考试用时120分钟 命题人：高二数学备课组）
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 直线的一个方向向量是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】 因为直线的斜率为，所以直线的一个方向向量为，
又因为与共线，所以的一个方向向量可以是，故选：A.
2. 已知A，B，C三点不共线，O是平面ABC外任意一点，若OM=25OA+16OB+λOC，则A，B，C，M四点共面的充要条件是（ ）
A．λ=1730 B．λ=1330 C．λ=-1730 D．λ=-1330
【答案】B
【解析】O是平面ABC外任意一点，且OM=25OA+16OB+λOC，
若A，B，C，M四点共面的充要条件是25+16+λ=1，即λ=1330. 故选：B.
3. 直线l过圆C：的圆心，并且与直线垂直，则直线l的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由圆C：，则，又直线l与直线垂直，即，
∴直线l的方程为，即. 故选：D
4. 在四面体PABC中，PA，PB，PC两两垂直且相等，E是AB的中点，则异面直线AC和PE所成角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由于是的中点，取的中点，则，
则或补角即为异面直线与所成的角．
可设，由于、、两两垂直，且均相等，
则，，，
即有，，，
则有．故选：．
5. 两条平行直线和间的距离为，则，分别为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【解析】两直线平行，，解得，
将化为，. 故选：D.
6. 已知两点A(3,2)和B(－1,4)到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，则实数m的值为( )
A．－6或eq \f(1,2) B．－eq \f(1,2)或1 C．－eq \f(1,2)或eq \f(1,2) D．0或eq \f(1,2)
【答案】 A
【解析】 eq \f(|3m＋2＋3|,\r(m2＋12))＝eq \f(|－m＋4＋3|,\r(m2＋12))，即|3m＋5|＝|7－m|，解得m＝－6或eq \f(1,2).故选：A.
7. 空间直角坐标系中，经过点，且法向量为的平面方程为，经过点且一个方向向量为的直线的方程为，阅读上面的材料并解决下面问题：现给出平面的方程为，经过的直线的方程为，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为平面的方程为，故其法向量为，
因为直线的方程为，故其方向向量为，
故直线与平面所成角的正弦值为，故选：B.
8. 直线：，点，，若与线段相交，则的范围为（ ）
A． B．C．D．
【答案】C
【解析】直线方程变形得：.
由得，∴直线恒过点，
，，
由图可知直线的斜率的取值范围为：或，
又，∴或，即或，
又时直线的方程为，仍与线段相交，∴的取值范围为. 故选：C.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A．过，两点的直线方程为
B．点关于直线的对称点为
C．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2
D．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为
【答案】BC
【解析】对于A：当，时，过，两点的直线方程为，故A不正确；
对于B：点 (0,2) 与 (1,1) 的中点坐标， 满足直线方程, 并且两点的斜率为： −1, 所以点 (0,2) 关于直线 y=x+1 的对称点为 (1,1) ，所以 B 正确；
对于C：直线在两坐标轴上的截距分别为： 2,−2, 直线与坐标轴围成的三角形的面积是，所以C 正确；
对于D：经过点 (1,1) 且在 x 轴和 y 轴上截距都相等的直线方程为 x+y−2=0 或 y=x ，所以 D 不正确；
故选：BC.
10. 已知，，，，则下列说法正确的有（ ）
A．与夹角的余弦为B．的面积为
C．平面的一个法向量D．四面体的体积为
【答案】ACD
【解析】A：，，则，正确；
B：由A知：，错误；
C：若是面的一个法向量，则，令，有，正确；
D：，则到面的距离，所以四面体的体积为，正确. 故选：ACD
11. 如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝60°，将△ABD沿对角线BD翻折到△PBD位置，连结PC，则在翻折过程中，下列说法正确的是（ ）
A．PC与平面BCD所成的最大角为45°
B．存在某个位置，使得PB⊥CD
C．当二面角P﹣BD﹣C的大小为90°时，PC
D．存在某个位置，使得B到平面PDC的距离为
【答案】BC
【解析】选项A，取BD的中点O，连接OP、OC，则OP＝OC．由题可知，△ABD和△BCD均为等边三角形，由对称性可知，在翻折的过程中，PC与平面BCD所成的角为∠PCO，当PC时，△OPC为等边三角形，此时∠PCO＝60°＞45°，即选项A错误；
选项B，当点P在平面BCD内的投影为△BCD的重心点Q时，有PQ⊥平面BCD，BQ⊥CD，∴PQ⊥CD，
又BQ∩PQ＝Q，BQ、PQ⊂平面PBQ，∴CD⊥平面PBQ，∵PB⊂平面PBQ，∴PB⊥CD，即选项B正确；
选项C，当二面角P﹣BD﹣C的大小为90°时，平面PBD⊥平面BCD，∵PB＝PD，∴OP⊥BD，
∵平面PBD∩平面BCD＝BD，∴OP⊥平面BCD，∴OP⊥OC，又OP＝OC，∴△POC为等腰直角三角形，∴PCOP，即选项C正确；
选项D，∵点B到PD的距离为，点B到CD的距离为，
∴若B到平面PDC的距离为，则平面PBD⊥平面PCD．平面CBD⊥平面PCD，
则有DB平面PCD，即DB⊥CD，与△BCD是等边三角形矛盾．
故选：BC．
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知空间向量两两夹角均为，其模均为1，则____.
【答案】
【解析】
.
13．已知直线，当变化时，点到直线的距离的取值范围是____.
【答案】
【解析】由题意知直线过定点，且不与轴垂直，
当直线经过点时，，点到直线的距离最小为0，
当过点的直线垂直于x轴时，点到该直线的距离最大,最大值为3，如图示：
由于的斜率存在，故点到直线的距离小于3，
即点到直线的距离的取值范围是
14．平面直角坐标系上有两点，直线的方程为 ，直线上有一点P，最短，则P点的坐标为 .
【答案】
【解析】设点关于直线l的对称点，则，线段中点在直线l上，
所以，整理得，解得，即.
因为点在一条直线上时最短，所以点P的坐标是直线与直线l的交点，
由得直线的方程为，所以，解得，即.故答案为：.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（13分）已知：，，，求：
(1)； (2)与所成角的余弦值．
【答案】(1) (2)
【解析】（1），，解得，故
又因为，所以，即，解得，故
（2）由(1)可得 设向量与所成的角为，，
, 则．
16.（15分）已知直线.
（1）若直线过点，且，求直线的方程；
（2）若直线，且直线与直线之间的距离为，求直线的方程.
【答案】（1） （2）或.
【解析】（1）因为直线的方程为，所以直线的斜率为.
因为，所以直线的斜率为.
因为直线过点，所以直线的方程为，即.
（2）因为直线与直线之间的距离为，所以可设直线的方程为，
所以，解得或.故直线的方程为或.
17.（15分）已知△ABC的顶点C（2，﹣8），直线AB的方程为y＝﹣2x+11，AC边上的高BH所在直线的方程为x+3y+2＝0．
（1）求顶点A和B的坐标；
（2）求△ABC外接圆的一般方程．
【答案】（1）A（5，1）B（7，﹣3） （2）x2+y2﹣4x+6y﹣12＝0．
【解析】（1）由y=-2x+11x+3y+2=0可得顶点B（7，﹣3），
又因为AC⊥BH得，kBH=-13，
所以设AC的方程为y＝3x+b，
将C（2，﹣8）代入得b＝﹣14，
由y=-2x+11y=3x-14可得顶点为A（5，1），
所以A和B的坐标分别为（5，1）和（7，﹣3），
（2）设△ABC的外接圆方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，
将A（5，1）、B（7，﹣3）和C（2，﹣8）三点的坐标分
别代入得5D+E+F+26=07D-3E+F+58=02D-8E+F+68=0则有D=-4E=6F=-12，
所以△ABC的外接圆的一般方程为x2+y2﹣4x+6y﹣12＝0．
18.（17分）如图，在四棱锥中，面．，四边形满足，，，点为中点，点为边上的动点
（Ⅰ）求证：平面．
（Ⅱ）是否存在点，使得二面角的余弦值为？若存在，求出线段的长度；若不存在，说明理由．
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）存在，．
【解析】
（Ⅰ）因为平面，所以，，又，所以，，两两垂直．以为空间坐标原点建立空间直角坐标系，如下图所示．
则，，，
点为中点，故
故，又，
所以
所以，，为共面向量，平面，所以平面．
（Ⅱ）设，,依题意可知平面的法向量为，，
设平面的法向量为，则，
令，则．因为二面角的余弦值为，所以，即，解得或．
所以存在点符合题意，当或时，二面角的余弦值为．
19.（17分）在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为2，宽为1，AB，AD边分别在x轴、y轴的正半轴上，点A与坐标原点重合如图所示将矩形折叠，使点A落在线段DC上．
（1）若折痕所在直线的斜率为k，试求折痕所在直线的方程
（2）当时，求折痕长的最大值．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）①当时，此时点A与点D重合，折痕所在直线的方程为．
②当时，将矩形折叠后点A落在线段DC上的点记为，，
所以点A与点G关于折痕所在的直线对称，有，
故点G的坐标为，
从而折痕所在的直线与OG的交点线段OG的中点为，
故折痕所在直线的方程为，即．
综上所述，折痕所在直线的方程为．
当时，折痕的长为
当时，折痕所在的直线交直线BC于点，交y轴于点．
,,则在上，
，，的取值范围为，
故点M在线段上．，
折痕长度的最大值为
而，故折痕长度的最大值为