2025-2026学年上海市宝山区淞谊实验学校九年级上学期10月月考数学试题

这是一份2025-2026学年上海市宝山区淞谊实验学校九年级上学期10月月考数学试题，共26页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．下列各组中的四条线段成比例的是（ ）
A．，，，B．，，，
C．，，，D．，，，
2．若线段，点是线段的黄金分割点，且，则的长为（ ）
A．B．C．D．
3．如果两个相似三角形对应边之比是，那么它们的面积比是（ ）
A．B．C．D．
4．在中，点D、E分别在边上，以下能推出的条件是（ ）
A．B．
C．D．
5．已知线段a、b、c，作线段x，使，则正确的作法是（ ）
A．B．
C．D．
6．如图，点 是 的角平分线 的中点， 点 分别在 边上，线段 过点 ， 且 ，下列结论中， 错误的是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
7．如果，那么 ．
8．如果一幅地图的比例尺为，那么实际距离是km的两地在地图上的图距是 cm．
9．已知点D、E分别在的边AB、AC的反向延长线上，且，如果，，那么边BC的长是 ．
10．若线段b是线段a和c的比例中项，且a=1cm，c=9cm，则b= cm．
11．如图，直线和直线分别与直线、、相交于点A、D、B、E、C、F，其中：，若，，则的长为 ．
12．如图，在四边形ABCD中，，对角线AC、BD相交于点，如果，，那么 ．（用含有字母a的代数式表示）
13．已知在 中， ， 点 是 的重心， 那么点 到斜边 的距离是 ．
14．如图，在中，已知线段经过三角形的重心，，四边形的面积为，那么的面积为 ．
15．如图，在中，，，，四边形是正方形，其中D、E分别在边、上，F、在上，则正方形的边长是 ．
16．如图，在等腰中，，点在的延长线上，，点在边上，，则的值是 ．
17．如图，已知中，，，将绕点旋转至，如果直线，垂足记为点，那么的值为 ．
18．如图，已知中，，．
按下列步骤作图：
步骤1：以点B为圆心，小于的长为半径作弧分别交、于点、；
步骤2：分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点；
步骤3：作射线交于点．
那么线段的长为 ．
三、解答题
19．已知，求代数式的值
20．已知：如图，在中，
(1)求证
(2)如果，求的长．
21．如图，在△ABC和△ADE中，∠BAD=∠CAE，∠ABC=∠ADE．
（1）求证：△ABC∽△ADE；
（2）判断△ABD与△ACE是否相似？并证明．
22．已知：如图，在中，平分交于，点在的延长线上，．

(1)求证：
(2)过点C作交AE于点F，求证：．
23．已知：如图，在中，点D在边上，，，与交于点F．
(1)求证：；
(2)连接，如果，求证∶．
24．综合实践：
(1)填空：在上图中位似中心是点_____．
(2)如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点P是第一象限内的一个点且点P的纵坐标是．联结、，如果把沿翻折，所得四边形恰为菱形，若在直线上存在点Q，使与相似，求出点Q的坐标．

(3)若（2）中点Q位于x轴上方，指出与是否位似？若位似，请直接写出其位似中心的坐标．
25．在梯形中，，，点E是腰上的点，且．
(1)如图（1），点F是腰上的点，且，连接．
①求证：；
②若，连接，求的值
(2)如图（2），若，梯形的高是8，连接、，当是直角三角形时，求边的长．
九年级第一学期教材第2页
结合教材图形给出新定义
对于下图中的三个四边形，通常可以说，缩小四边形ABCD，得到四边形；放大四边形ABCD，得到四边形．
图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动．将一个图形放大或缩小后，就得到与它形状相同的图形．图中，四边形和四边形都与四边形ABCD形状相同，我们把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似形．
如图，对于两个多边形，如果它们的对应顶点的连线相交于一点，并且这点与对应顶点所连线段成比例，那么这两个多边形就是位似多边形，这个点就是位似中心．
《上海市宝山区淞谊实验学校2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试卷》参考答案
1．B
【分析】本题考查了比例线段：对于四条线段，如果其中两条线段的比（即它们的长度比)与另两条线段的比相等，则或，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．根据比例线段的定义对各选项进行判断．
【详解】解：A．由于，则，，，不成比例，故A选项不符合题意；
B．由于，则，，，成比例，故B选项符合题意；
C．由于，则，，，不成比例，故C选项不符合题意；
D．由于，则，，，不成比例，故D选项不符合题意．
故选：B．
2．B
【分析】本题考查了黄金分割．应该识记黄金分割的公式：较长的线段=原线段的．根据黄金分割点的定义和得出，代入数据即可得出的长度进而求出结论．
【详解】解：由于P为线段的黄金分割点，且，
则，
．
故选：B．
3．D
【分析】本题考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形的性质是解本题的关键；因此此题可根据“两个三角形相似，那么它们的面积比是相似比的平方”进行求解即可．
【详解】解：∵两个相似三角形对应边的比为，
∴两个相似三角形的相似比为，
∴它们的面积比是，
故选：D．
4．C
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线的判定；画出图形，根据相似三角形的判定与性质逐一判断即可．
【详解】解：画出图形如下：
A、由不能得出相似，故不能判定；
B、由不能得出相似，故不能判定；
C、∵，则有，∴，则，
∴，从而；
D、由不能得出相似，故不能判定；
故选：C．
5．B
【分析】此题考查的是平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理列比例式是解决此题的关键．
根据平行线分线段成比例定理判断即可．
【详解】解：A、由平行线分线段成比例可得，故A选项错误；
B、由平行线分线段成比例可得，故B选项正确；
C、由平行线分线段成比例可得，故C选项错误；
D、由平行线分线段成比例可得，故D选项错误；
故选：B．
6．D
【分析】根据AG平分∠BAC，可得∠BAG=∠CAG，再由点 是 的中点，可得 ，然后根据，可得到△DAE∽△CAB，进而得到△EAF∽△BAG，△ADF∽△ACG，即可求解．
【详解】解：∵AG平分∠BAC，
∴∠BAG=∠CAG，
∵点 是 的中点，
∴ ，
∵，∠DAE=∠BAC，
∴△DAE∽△CAB，
∴ ，
∴∠AED=∠B，
∴△EAF∽△BAG，
∴ ，故C正确，不符合题意；
∵，∠BAG=∠CAG，
∴△ADF∽△ACG，
∴ ，故A正确，不符合题意；D错误，符合题意；
∴，故B正确，不符合题意；
故选：D
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．
7．/
【分析】本题考查了比例的性质，分式的求值，根据即可求解．
【详解】解：
．
故答案为：．
8．6
【分析】设两地在地图上的图距是xcm，然后根据比例尺的定义，即可得到方程，解此方程即可求得答案，
【详解】解：设两地在地图上的图距是xcm，
根据题意得：
∴x=6cm
故答案为：6．
【点睛】此题考查了比例线段．此题难度不大，解题的关键是理解题意，根据比例尺的定义列方程，注意统一单位．
9．6
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．证明，利用相似三角形的性质即可解决问题．
【详解】解：如图．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
故答案为：6．
10．3
【详解】根据题意可得b2=ac，代入数值，解答出即可，注意线段为正值．
解：由题意得，b2=ac，
∵a=1cm，c=9cm，
∴b2=1×9 =9，
b=3，b=-3（负值舍去）；
故答案为3cm．
11．6
【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，理解并熟练运用此定理是解题关键．
直接根据平行线分线段成比例定理求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：6．
12．
【分析】此题主要考查了平行线分线段成比例和等高的两个三角形面积的比等于它们的底之比．
首先根据等高三角形面积的比等于底的比，由，，可得；根据平行线分线段成比例可得，然后根据等高三角形面积的比等于底的比即可求出，，由此即可解题．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴．
∴，
∴，
同理可得：，
∴，
故答案为：．
13．
【分析】过C点作CE⊥AB于E，如图，先利用勾股定理计算出AB，再利用面积法求出CE=，接着根据G是△ABC的重心得到DG=CD，然后证明△DHG∽△DEC，利用相似比可求出GH的长度．
【详解】解：过C点作CE⊥AB于E，如图，
∵∠C=90°，AC=8，BC=6，
∴，
∵，
∴，
∵G是△ABC的重心，
∴DG=CG，
∴DG=CD，
∵CE⊥AB，GH⊥AB，
∴GH∥CE，
∴△DHG∽△DEC，
∴，
∴．
故答案为．
【点睛】本题考查了三角形的重心：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．
14．27
【分析】连接并延长交于，由为的重心，可得，而，有，，故，设，有，即可解得答案．
【详解】解：连接并延长交于，如图：
为的重心，
，
，
，
，，
，
，
设，则，
，
解得，
故答案为：27．
【点睛】本题考查三角形的重心，涉及相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握三角形重心的性质．
15．/
【分析】本题考查的是相似三角形的判定和性质、正方形的性质、勾股定理等知识；正确作出辅助线、灵活运用相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
过点C作于点M，交于点N，首先由勾股定理得出的长，由面积法即可求出的长，可证得，再根据相似三角形的性质，即可得出答案．
【详解】解：如图，过点C作于点M，交于点N，
中，，，，
，
，
∴，
∵正方形内接于，
，，
，
，即，
解得：，
故答案为：．
16．
【分析】过点P作交DC延长线于点E，根据等腰三角形判定与性质，平行线的性质可证，再证，可得，再利用平行线分线段成比例得，结合线段的等量关系及比例的性质即可得到结论．
【详解】如图：过点P作交DC延长线于点E，
在和中
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，以及全等三角形的判定，解题关键是正确作出辅助线，列出比例式．
17．或
【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，正弦函数，相似三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
设，则，，分两种情况讨论，画出图形，利用相似三角形的判定和性质，列式计算即可求解．
【详解】解：
设，则，
∴中，，
∵将绕点旋转至，
∴，则，，，，
如图，当将绕点顺时针旋转至时，在上，则，，，
∴，
∴，则，
∴，
∴，
∴；
如图，当将绕点逆时针旋转至时，在上，则，，，
∴，
∴，则，
∴，
∴，
∴；
故答案为：或．
18．
【分析】由题意得，为的平分线，可得，进而可得，设，则，结合已知条件证明，则，即，求出的值，即可得出答案．
【详解】解：由题意得，为的平分线，
，
，，
，
，
，，
，
，
设，则，
，，
，
，即，
解得或（舍去），
．
故答案为：．
【点睛】本题考查尺规作图、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握角平分线的作图方法、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．
19．
【分析】将所求式子第一个因式的分母利用平方差公式分解因式，约分后得到最简结果，然后由已知的等式用b表示出a，将表示出的a代入化简后的式子中计算，即可得到所求式子的值．
【详解】解：∵==
又
∴
∴原式====
【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握平方差公式化简原式．
20．(1)见解析
(2)3
【分析】（1）根据DE∥BC，可得 ，从而得到，进而得到 ，可证得△AEF∽△ACD，从而得到∠AFE=∠ADC，即可求证；
（2）根据△AEF∽△ACD，可得 ，从而得到AF=12，即可求解．
【详解】（1）证明：∵DE∥BC，
∴ ，
∵，
∴，
∴ ，
∵∠A=∠A，
∴△AEF∽△ACD，
∴∠AFE=∠ADC，
∴EF∥CD；
（2）∵△AEF∽△ACD，，
∴ ，
∵ ，
∴AF=12，
∴DF=AD-AF=3．
【点睛】本题主要考查了平行分线段成比例，相似三角形的判定和性质，熟练掌握平行分线段成比例，相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．
21．(1)见解析 (2) △ABD∽△ACE
【详解】分析：
（1）由∠BAD=∠CAE易得∠BAC=∠DAE，这样结合∠ABC=∠ADE，即可得到△ABC∽△ADE．
（2）由（1）中结论易得，从而可得： ，这样结合∠BAD=∠CAE即可得到
△ABD∽△ACE了．
详解；
（1）∵∠BAD=∠CAE，
∴∠BAC=∠DAE，
∵∠ABC=∠ADE，
∴△ABC∽△ADE．
（2）△ABD∽△ACE，理由如下：
由（1）可知△ABC∽△ADE，
∴，
∴，
又∵∠BAD=∠CAE，
∴△ABD∽△ACE．
点睛：这是一道考查“相似三角形的判定与性质的题目”，熟悉“相似三角形的判定定理和性质”是解答本题的关键.
22．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到，等量代换得到，根据角平分线的定义得到，根据相似三角形的判定定理即可得到结论；
(2)根据得到，再得到，由证得，再根据得到，即可得到，整理即可求解．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
23．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
（1）证明，即可得出；
（2）先推导出，证明，得，即可证明进而得出结论．
【详解】（1）证明：，，
，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）证明：如图：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
24．(1)P；
(2)或，
(3)是位似三角形，位似中心为点
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，位似图形的定义．理解新定义，利用数形结合思想解答是解题的关键．
（1）根据位似图形的定义，即可求解；
（2）根据菱形性质可得，垂直平分线，由此求出点，再根据与相似可得对应关系为，由此得出对应相等比，继而求出，得出点Q的坐标，
（3）根据定义判断它们的对应边平行（或共线）且对应顶点所在的直线相交于一点，即可得出结论．
【详解】（1）解：在上图中位似中心是点P．
故答案为：P；
（2）解：连接交轴于点，交轴于点；

∵ 四边形恰为菱形，
∴，垂直平分线，
∵点B的坐标为，，
∴点、的横坐标为，
又∵点P是第一象限内的一个点且点P的纵坐标是．
∴，
∵点A的坐标为，点B的坐标为，
∴直线垂直平分，
∴，
如图，当在第一象限时，与相似，即，
∴，
∴，
∴，
∴点坐标为，
当在第四象限时，即点为关于轴对称点，
综上所述：点为或，
（3）和为位似三角形，理由如下：
∵，
∴，
∴，
∵、、在同一直线上，、、在同一直线上，
∴与是位似三角形，位似中心的坐标为点．
25．(1)①见解析；②，
(2)或
【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定、等腰梯形的性质、勾股定理等，解题关键是寻找合适的相似三角形，通过线段比的转化得出线段或面积的数量关系．
（1）①连接并延长交延长线于，先证明，进而可得，由相似三角形性质可得，从而判定．
②由可得，，设，再利用等高三角形面积比等于底边之比得出各三角形面积之间关系，由此得出，，从而求解；
（3）当是直角三角形时，分和两种不同情况，利用相似三角形判定和性质得出线段比，列方程即可求解．
【详解】（1）解：①连接并延长交延长线于，如图，
∵，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
②连接、，
∵，
∴，
∴，，
∴，，
设，则，
又∵，
∴，
∴
同理：，
∴，
，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）如图（2）-1，连接并延长交延长线于，过点作，垂足为，过点作，垂足为，
依题意得：，四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
，
由（1）得：，
设，则，，
①当，是直角三角形时，
∵，，
∴，
∴，即
解得：，即，
②当，是直角三角形时，如图（2）-2
过点作，垂足为，
，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，即
解得：，（不符合题意，舍去）即，
综上所述：当是直角三角形时，边或．
题号
1
2
3
4
5
6




答案
B
B
D
C
B
D