2025-2026学年上海市长宁区娄山中学九年级上学期10月月考数学试题

这是一份2025-2026学年上海市长宁区娄山中学九年级上学期10月月考数学试题，共28页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．下列各组四条线段成比例的是（ ）
A．1米，3米，3米，6米B．2米，3米，4米，6米；
C．2米，3米，4米，5米D．3米，4米，5米，6米．
2．已知中，、分别是边、上的点，下列各式中，不能判断的是（ ）
A．B．C．D．
3．如果||＝2，＝-，那么下列说法正确的是（ ）
A．||＝2||B．是与方向相同的单位向量
C．2-＝D．∥
4．如图，在中，是边上的高，已知．下列线段中，则与的比值相等的是（ ）
A．B．C．D．
5．下列命题中，说法正确的是（ ）
A．有两边之比为的两个直角三角形一定相似
B．有两边之比为的两个等腰三角形一定相似
C．有两个内角的度数之比为的两个直角三角形一定相似
D．有两个内角的度数之比为的两个等腰三角形一定相似
6．如图，在中，点D、E分别在边上，点F、G在边上，四边形是平行四边形，交于点N．甲、乙两位同学在研究这个图形时：；②．那么下列说法中，正确的是（ ）
A．①正确②错误B．①错误②正确
C．①、②皆正确D．①、②皆错误
二、填空题
7．若，那么的值为 ．
8．化简：2（+）﹣（﹣）＝ ．
9．上海与南京的实际距离约320千米，在比例尺为的地图上，两地的图上距离约 厘米．
10．已知点是线段上的一点，如果，且，那么 ．
11．如图，，，，，则 ．
12．两个相似三角形的周长比是，则它们的面积之比是 ．
13．如图，，、相交于点E，过E作交于点F，如果，，那么的长等于 ．
14．如图，在中，，点是的重心，连接，如果，，那么 ．
15．如图1是装了液体的长方体容器的主视图（数据如图），将该容器绕地面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好接触到容器口边缘，如图2所示，此时液面宽度 ．
16．如图，在边长为1的正方形网格中，四边形的顶点都在小正方形顶点的位置上，我们称这样的四边形叫做“格点四边形”．连接、相交于点，那么的面积等于 ．
17．如果一条直线把分割成一个三角形和一个四边形，并且分割后得到的三角形与四边形的面积相等、周长也相等，那么我们把这条直线叫做的“完美分割线”．已知的一条“完美分割线”分别交边、边于点D、点E，的周长为4，那么的长为 ．
18．如图，在中，，点在边上，点在射线上，将沿翻折，使得点落在点处，当且时，的长为 ．
三、解答题
19．如图，，．
(1)试说明；
(2)若，，求的长．

20．如图，在平行四边形中，点是边的中点，与对角线交于点，设，．
(1)用向量、表示向量；
(2)在图中求作向量分别在、方向上的分向量．（不写作法，写出答句）
21．如图，在四边形ABCD中，ADBC，∠C＝90°，AB＝AD＝25，BC＝32，连接BD，AE⊥BD，垂足为E．
（1）求证：ABE∽DBC；
（2）求线段AE的长．
22．已知图1、图2、图3都是的正方形网格图，每个最小的正方形的边长都为1，它的顶点叫做格点．
(1)填空：如图1，点A、点B、点C、点D都是格点，连接、并延长交于点O，那么的长为______；
(2)尺规作图是起源于古希腊的数学课题，在初中阶段的数学学习中我们已经有所了解和掌握，这里所使用的尺是指无刻度的直尺．我们规定在正方形网格图中，无刻度的直尺只能用来连接格点作线段．
以下两题请你只能使用无刻度的真尺和铅笔作图（保留作图痕迹）：
①如图2，点A、点B、点C都是格点，作出的重心G；
②如图3，点A、点B、点C、点D都是格点，在边上作出点M，使得与相似．
23．如图，在中，，点、点都在边上，且．
(1)求证：；
(2)点在延长线上，如果，求证：．
24．已知在直角坐标平面内，直线分别与轴交于点A、与轴正半轴交于点，．
(1)求直线的表达式；
(2)点在函数的图象上，连接并延长，交轴于点C，且．
①求点的坐标，
②点在函数的图象上，，交线段于点，连接．当与相似，求点的坐标．
25．已知，在中，，点E是射线CA上的动点，点O是边BC上的动点，且，射线OE交射线BA于点D．
(1)如图1，如果，求的值；
(2)联结AO， 如果是以AE为腰的等腰三角形，求线段OC的长；
(3)当点E在边AC上时， 联结， 求线段OC的长．
《上海市娄山中学2025-2026学年上学期10月考九年级数学试卷》参考答案
1．B
【分析】本题主要考查了成比例线段，根据定义解答即可.若a，b，c，d满足，我们称这四条线段是成比例的线段，称述为比例线段．
【详解】因为，所以这四条线段不是成比例的线段，则A不符合题意；
因为，所以这四条线段是成比例的线段，则B符合题意；
因为，所以这四条线段不是成比例的线段，则C不符合题意；
因为，所以这四条线段不是成比例的线段，则D不符合题意．
故选：B．
2．A
【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理的推论，熟练掌握该知识是解题的关键．若使线段，则其对应边必成比例，进而依据对应边成比例即可判定．
【详解】解：如图，
若使线段，则其对应边必成比例，
即＝，＝，故选项D、B可判定；
＝，即＝，故选项C可判定；
而由不能判断，故A选项答案错误．
故选：A．
3．D
【分析】根据平面向量的模和向量平行的定义解答．
【详解】A、由＝-得到||＝||＝1，故本选项说法错误．
B、由＝-得到是与的方向相反，故本选项说法错误．
C、由＝-得到2+＝，故本选项说法错误．
D、由＝-得到∥，故本选项说法正确．
故选D．
【点睛】考查了平面向量，需要掌握平面向量的模的定义，向量的方向与大小以及向量平行的定义等知识点，难度不大．
4．C
【分析】本题主要考查了三角函数的定义，掌握正弦函数是对边与斜边的比是解题的关键．
先说明，然后根据正弦的定义即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∵是边上的高，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即C选项符合题意．
故选C．
5．B
【分析】本题考查相似三角形的判定，直角三角形和等腰三角形的性质．根据直角三角形中有两边之比为，可能是两直角边的比，也可能是直角边与斜边的比，可判定A；根据等腰三角形中有两边之比为，只能是底与腰的比为，所有这样的等腰三角形三边对应成比例，一定相似，可判定B；若一个直角三角形中直角是锐角的2倍，则这个三角形是等腰直角三角形，另一个直角三角形中一锐角是另一锐角的2倍，则两锐角为和，所以所有这样的直角三角形不相似，可判定C；设等腰三角形两角为x和，则三个内角分别为x，，或x，x，；所以所有这样的等腰三角形不一定相似，可判定D．
【详解】解：A、如果一个直角三角形中有两边之比为，那么所有这样的直角三角形不一定相似，如：一个直角三角形两直角边为a、b，斜边为c，且，另一个直角三角形两直角边为d，e，斜边为f，且，则这两个直角三角形不相似；故此选项不符合题意；
B、如果一个等腰三角形中有两边之比为，那么等腰三角形只能是底与腰的比是，所以所有这样的等腰三角形三边对应成比例，所以一定相似，故此选项符合题意；
C、如果一个直角三角形中有两个内角的度数之比为，若一个直角三角形中直角是锐角的2倍，则这个三角形是等腰直角三角形，若是直角三角形中一锐角是另一锐角的2倍，则两锐角为和，所以所有这样的直角三角形不相似，故此选项不符合题意；
D、如果一个等腰三角形中有两个内角的度数之比为，设这两角为x和，则三个内角分别为x，，或x，x，；所以所有这样的等腰三角形不一定相似；故此选项不符合题意；
故选：B．
6．C
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，证明三角形相似是解题的关键．由平行线分线段成比例和相似三角形的性质可得，，，，即可求解．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
7．/0.6
【分析】本题考查了分式的性质．熟练掌握分式的性质是解题的关键．
根据，可得，再代入化简即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故答案为：
8．
【分析】根据平面向量的线性运算直接求解即可．
【详解】解：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，熟练掌握平面向量的线性运算是解题的关键．
9．8
【分析】本题主要考查了比例尺的应用，根据比例尺图上距离：实际距离，列出比例式，求解即可得出两地的图上距离．
【详解】解：设图上距离为x厘米，则
，
所以（厘米）．
上海与南京的图上距离约8厘米．
故答案为：8．
10．
【分析】本题考查一元二次方程的应用．由代入列方程计算即可．
【详解】解：∵点P是线段上的一点，且，
∴，
∵，
∴，
解得，
∵，
∴，
故答案为：．
11．//
【分析】根据平行线分线段成比例可得，代入可求得答案．
【详解】解：∵，，，，
∴，即，
解得．
故答案是：．
【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键．
12．/
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，理解并掌握相似三角形的性质是解题关键．根据“相似三角形的面积比等于相似比的平方”，即可获得答案．
【详解】解：∵两个相似三角形的周长比是，
∴两个相似三角形的相似比是，
∴它们的面积之比是．
故答案为：．
13．15
【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握并运用平行线的性质是解题的关键．
首先得出，然后证明，列出比例式即可求出，然后证明，列出比例式即可求出结论．
【详解】解：∵，
∴
∵
∴
∴
∴
．
故答案为：15．
14．
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形重心性质，勾股定理，过作于，延长交于点，则有，所以，证明，故有，又点是的重心，则，，求出，通过勾股定理求出，然后通过线段和差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：如图，过作于，延长交于点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点是的重心，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
15．
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线的判定与性质．熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
如图，作于，则，由题意知，，，则，证明，则，即，计算求解即可．
【详解】解：如图，作于，则，
由题意知，，，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
解得，，
故答案为：．
16．
【分析】此题考查了网格中求三角形的面积，用到相似三角形的性质及判定，中线平分三角形的面积，利用网格的特点进行解答即可．
取格点E，则，可得，从而得到，即可求解．
【详解】解：如图，取格点E，则，
∴，
∴，
即，
∴．
故答案为：
17．/
【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，先证出，再由面积相等得到，设，得到，利用周长相等得出，代入计算即可．
【详解】解：∵
∴
∴
∵分割后得到的三角形与四边形的面积相等
∴
设
∴
∵分割后得到的三角形与四边形的周长相等， 且周长为4
∴
即
整理：代入得，
∴
故答案为：．
18．/
【分析】求出，勾股定理求出，根据题意，易得：，，进而求出的长，过作，过点作，过点作，交于点，延长交于点，易得四边形，四边形均为矩形，分别求出，得到，设，则：，分别用含的式子，表示出，利用勾股定理求出的值，进而得解．
【详解】解：在中，，
∴；，
∵将沿翻折，使得点落在点处，当且，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
过作，过点作，过点作，交于点，延长交于点，
∵，
∴，
∴四边形，四边形均为矩形，
∴，，
∴，
∴，
设，则：，
∴，，，
连接，则：，
在中，，即：，
解得：，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查折叠的性质，矩形的判定和性质，解直角三角形．本题难度大，综合性强，根据题意，准确的作图，构造特殊图形，是解题的关键．
19．证明见解析；．
【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理进行推导即可得；
（2）由题意可求得OC的长，然后将OA、AC、OC的长代入（1）中的结论即可求得答案.
【详解】∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，结合图形熟练应用是解题的关键.
20．(1)
(2)作图见解析．
【分析】本题主要考查平行四边形的性质、平面向量的含义；
（1）根据题意得，，再利用向量的三角形法得根据相似三角形的判定及性质得从而即可得解．
（2）利用平行四边形法则过作交于，过作交于，即可得到结论
【详解】（1）解：∵四边形为平行四边形，
∴，，
∵点是边的中点，
∴，
∵，，
∴
∵，
∴，
∴
∴
∴
∴；
（2）解：如图，过作交于，过作交于，
∴向量分别在、方向上的分向量是与
21．（1）证明见解析；（2）AE=15．
【分析】（1）由等腰三角形的性质可知∠ABD＝∠ADB，由AD∥BC可得∠ADB＝∠DBC，即可得出∠ABD＝∠DBC，根据∠AEB＝∠C＝90°，即可可证明△ABE∽△DBC；
（2）由等腰三角形的性质可知，BD＝2BE，根据相似三角形的性质可求出BE的长，在Rt△ABE中，利用勾股定理求AE即可得答案．
【详解】（1）∵AB＝AD＝25，
∴∠ABD＝∠ADB，
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
∴∠ABD＝∠DBC，
∵AE⊥BD，
∴∠AEB＝∠C＝90°，
∴△ABE∽△DBC；
（2）∵AB＝AD，AE⊥BD，
∴BE＝DE，
∴BD＝2BE，
∵△ABE∽△DBC，
∴，
∵AB＝AD＝25，BC＝32，
∴，
∴BE＝20，
∴AE＝＝15．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键．
22．(1)
(2)①见解析；②见解析
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，重心的概念与性质；
（1）由图形可得，则，代入求值即可；
（2）①找到和的中点，再作三角形的中线，交点即为重心G；
②作点与关于对称，连接与的交点即为点M，，，则．
【详解】（1）解：由图形可得，，，，
∴，
∴，
∴，
解得，
故答案为：；
（2）解：①如图2，的重心G即为所求：
②如图3作点与关于对称，连接与的交点即为点M，
此时，，
∴．
23．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，平行线的性质与判定．
（1）根据等边对顶角可得，根据已知得出，根据相似三角形的性质可得，进而根据三角形的外角的性质，等量代换即可得证；
（2）根据题意得出，进而可得，结合（1）的结论证明，进而得出，则，等量代换可得，即可得证．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
又∵，
∴，，
∴，
∴；
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
24．(1)
(2)①；②．
【分析】本题主要考查了求一次函数解析式、相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理、等腰三角形的判定与性质等知识点，灵活运用数形结合的思想分析问题是解题的关键．
（1）首先确定点，利用比例式可得，即，然后利用待定系数法求解即可；
（2）①如图：过点P作轴于点H，设点，根据题意可得，证明，由相似三角形的性质解得x的值，即可确定点P坐标，进而可得，然后结合平行线分线段成比例定理解得，即可确定点C的坐标；②过点Q作轴，设，则，然后分和两种情况解答即可．
【详解】（1）解：∵直线与轴交于点A，
令，可得，即，
∴，
∵．
∴，
∵直线与轴正半轴交于点，
∴
将点代入直线，可得，解得，
∴直线的表达式为．
（2）解：①如图：过点P作轴于点H，
设点，则，
∵，
∴
∵，，
∴，
∴，
∴，即，解得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，解得∶，
又∵点C在x轴的负半轴上，
∴点C的坐标为；
②如图：过点Q作轴，
设，
∵交线段于点，
∴，
∵，，，
∴，，，，
∴，即为等腰三角形且为锐角三角形，
∵，
∴，即点与点对应，
当时，
∴，
∴，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∴点Q的横坐标为，
∵点Q在函数的图像上，
∴，即，
∴，
∵，
∴，整理可得∶，解得：或，
∴或（舍去）或（舍去）或（舍去），
∴．
当时，
∴，
∴，
∵，，
设直线的解析式为，
则有，解得：，
∴直线的解析式为，
∵，
设直线的解析式为：，
将代入可得：，解得：，
∴设直线的解析式为：，
联立，整理得：，
∴，解得：（不符合题意）或（不符合题意），
∴这种情况不存在．
综上，．
25．(1)0.09
(2)或
(3)
【分析】（1）先证明，求出，再证明，利用面积比等于相似比的平方即可得解；
（2）分当点E在线段上和当点E在线段的延长线上两种情况讨论，根据等腰三角形的性质和线段的转化，得到，再利用，列比例式求解即可；
（3）证明，，得到，设，，根据，求出，再代入到即可得解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴ ，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）当点E在线段上，
∵ 是以为腰的等腰三角形，
∴，
∵，
设，
由（1）得，，
∴，
∴，
解得，；
则的长是为；
当点E在线段的延长线上时，如图2，
∵是等腰三角形，
由(1）可知：，
综上所述：为或；
（3）由（1）得，，
∵，
∴，
∴A、B、O、E四点共圆，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
设，，
∵，
∴，
∴，
解得，，
∴
∴，
解得，，（舍去），
则的长是为．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质．通过已知条件推出三角形相似，利用相似三角形的对应边对应成比例列式计算是解题的关键．
题号
1
2
3
4
5
6




答案
B
A
D
C
B
C