2025-2026学年安徽省皖南八校高三上学期第一次大联考数学试卷（附答案解析）

这是一份2025-2026学年安徽省皖南八校高三上学期第一次大联考数学试卷（附答案解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知命题，总有，则命题的否定为（ ）
A．，使得B．，使得
C．，总有D．，总有
2．已知全集为，集合，集合，则下列关系正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．若直线与曲线相切，则实数的值为（ ）
A．0B．1C．D．
4．在中，角的对边分别是．若，则（ ）
A．B．C．D．
5．已知点在幂函数的图象上，则函数的零点所在区间为（ ）
A．B．C．D．
6．设是定义在上的函数，若是奇函数，是偶函数，则的值为（ ）
A．B．C．D．
7．数学家威廉•邓纳姆认为“终极优雅”是“无言的证明”，即通过一个直观､精巧的图示就能完整传达数学定理的证明.如图所示正是数学家所达到的“终极优雅”，该图（四边形为矩形）完美地展示并证明了正弦和余弦的二倍角公式，通过推导可知（ ）
A．B．C．D．
8．已知关于的不等式，其中，且，若该不等式的解集为，则的值为（ ）
A．B．1C．D．2
二、多选题
9．若，则“”的充分不必要条件是（ ）
A．B．
C．D．
10．已知函数是偶函数，设函数，则下列说法一定正确的是（ ）
A．
B．在区间上单调递增
C．的值域是
D．在区间上单调递减
11．已知正实数满足，则下列选项正确的是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
12．已知正实数满足，则的最小值为
13．已知角满足，则 ．
14．已知点满足：是函数图象上任意一点.则的最小值为 .
四、解答题
15．已知函数的最小值为，
(1)求的值；
(2)已知正实数均不等于1，且是方程的两个根，求的值.
16．已知函数的最小正周期为.
(1)求的值以及函数的对称中心；
(2)将函数的图象向右平移个单位长度后，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，求函数在上的最小值.
17．已知函数．
(1)当时，求函数的最大值；
(2)当时，讨论函数的单调性；
(3)若函数的图像关于点中心对称，求实数的值．
18．在中，角的对边分别为，满足，点是上的一动点，且.
(1)求角的大小；
(2)若为边上的高，且，求的面积；
(3)若为的角平分线，求的最小值.
19．已知函数为函数的导函数.
(1)证明：；
(2)若函数，请判断在区间上的零点个数，并说明理由；
(3)若函数，证明：当时，.
《安徽省皖南八校2026届高三上学期第一次大联考数学试卷》参考答案
1．A
【分析】根据全称命题的否定概念即可求解．
【详解】全称命题的否定规则为：全称命题，它的否定，
所以对于命题，总有，
根据全称命题的否定规则，它的否定是：，使得．
故选：A．
2．D
【分析】先求出集合，再根据补集的定义求出，从而确定包含关系，最后判断各选项即可．
【详解】，解得或，
或，
，
，
或，
，，故A，B，C错误，D正确，
故选：D．
3．B
【分析】先对曲线方程求导，根据导数的几何意义得出切点处的导数等于直线斜率，从而求出切点坐标，最后把切点坐标代入直线方程求出．
【详解】曲线方程求导得，
直线与曲线相切，设切点为，则，解得，
代入曲线方程得，故切点坐标为，
切点同时位于直线上，
，解得．
故选：B．
4．C
【分析】先根据余弦定理求出边，再利用余弦定理求出角的余弦值，最后结合三角形角的取值范围得出角的值．
【详解】由余弦定理可得：，
，
，
，
．
故选：C．
5．C
【分析】由已知条件求出，则，判断函数的单调性及的正负，结合零点存在性定理得出结果.
【详解】由于点在幂函数的图象上，所以，
所以，则.
又因为函数在上都单调递增，
则函数在定义域上单调递增，
，
因为，即，所以，
，
因为，即，所以，
因为在上单调递增，，
所以在上只有一个零点，且在内.
故选：C.
6．A
【分析】由题意得出，解出这个方程组可得出的值.
【详解】由于函数是奇函数，函数为偶函数，
所以，，即，化简得 ，
解得.
故选：A.
7．D
【分析】根据题意，结合直角三角形中三角函数的定义，准确化简，即可求解.
【详解】在中，因为，可得，
在直角中，可得
在直角中，可得，
所以.
故选：D.
8．A
【分析】令，分类讨论，作出函数的图象，数形结合可得答案.
【详解】令
要使不等式的解集为，
当时，如图1，故解得；
当时，如图2，无法满足的解集为，故舍去.
故选：A.
9．BD
【分析】由充分不必要条件的定义逐项验证求解即可.
【详解】，故“”是“”的充要条件，故A错误
由得，能推出，反之不成立，
所以“”是“”的充分不必要条件，故B正确；
若不成立，故充分性不成立，
若不成立，故必要性不成立，
所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故C错误；
，所以“”是“”的充分不必要条件，故D正确.
故选：BD.
10．ACD
【分析】对于A，根据是偶函数可得的等式，解出即可；对于B，根据正弦函数图象的性质即可求解；对于C，对k分奇偶讨论，两种情况下解出的值域并综合判断即可；对于D，对k分奇偶讨论，两种情况下求解在区间上的单调情况并综合判断即可．
【详解】对于A，因为是偶函数，即函数图象关于轴对称，所以，，即，故A正确；
对于B，，当时，，当时，，所以在区间上可能单调递增或者单调递减，故B错误；
对于C，由A知，当时，，当，时，，故C正确；
对于D，由C知，当为奇数时，，当为偶数时，，当时，，所以无论为奇数还是偶数，均单调递减，故D正确．
故选：ACD．
11．BCD
【分析】利用基本不等式即可求解AB，根据题中所给等式，结合余弦定理的形式可构造三角形，进而根据图形关系求解CD.
【详解】对于A，因为为正实数，，
结合基本不等式可得，解得，当且仅当时等号成立，
当时，代入得，此时这个等式不成立，
所以，所以，故A错误；
对于B，由基本不等式可得，解得，
当且仅当，即时等号成立，
当时，代入，可得，
再把代入，得，两方程的解不一致，
所以，
所以，故B正确；
对于C，由，可得，
构造成余弦定理得，
由，也构造成余弦定理得，
由，构造成勾股定理得1，
令，如图:
则，
可知，则，
则，即，进而
所以，故C正确；
，又由，
而，
所以有，故D正确.
故选：BCD.
12．16
【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．
【详解】∵正实数满足，
∴16，当且仅当y＝4x＝8时取等号．
故答案为16．
【点睛】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
13．
【分析】利用三角函数的性质及两角和的正切公式，对已知条件进行化简变形求解．
【详解】，，不能同时为0，
，
．
故答案为：．
14．
【分析】设利用导数研究函数的单调性，得出当时，函数最小值为.从而可得点在直线上运动.，设与平行的直线与相切于点，利用求导求得切点，结合图形计算出点到直线的距离即可.
【详解】设，
设，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
所以，
所以，即点在直线上运动.
设与平行的直线与相切于点，令，
得，故切点为，由图知其到直线的距离，即为的最小值.
故答案为：
15．(1)
(2)
【分析】（1）根据二次函数以及指数函数的单调性，即可求解；
（2）利用韦达定理以及对数的运算性质即可求解.
【详解】（1），
则函数的最小值为，
得到，又，则.
（2），
则的两根为，
，
即.
16．(1)，；
(2).
【分析】（1）利用二倍角公式及辅助角公式化简函数，再利用正弦函数的性质求解.
（2）由（1）中函数，由给定的图象变换求出，进而求出，再利用二倍角正弦公式，结合换元法求出最小值.
【详解】（1）依题意，函数，
由函数的最小正周期为，得，解得，则，
令，解得，
所以的对称中心为.
（2）将函数图象向右平移个单位长度后，得，
再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，得，
，
令，由，得，则，
，则当时，取得最小值，
所以函数在上的最小值为.
17．(1)
(2)答案见解析
(3)
【分析】（1）先化简，再求导分析单调性，进而求出最大值；
（2）先对函数求导，再根据导数确定函数的单调性；
（3）利用中心对称的性质得出关于的等式，进而求出实数．
【详解】（1）当时，，求导得，
当时，，函数单调递增；当时，，单调递减，
函数在时取得最大值，即．
（2），求导得，
令，解得或．
当时，令，解得或；令，解得，
在上单调递增，在上单调递减；
当时，，在上单调递增；
当时，令，解得或；令，解得，
在上单调递增，在上单调递减，
当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减．
（3）函数的图像关于点中心对称，
函数的定义域为，且关于点中心对称，
，即①，
为奇函数，
，
，整理得②．
①代入②得，即，
，当且仅当时，等号成立，即不恒为0，
，即，
．
18．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由，由正弦定理得，结合，化简可求得，从而可求得；
（2）由和可求得，由余弦定理得，进而可得的面积；
（3）由可得，利用基本不等式可得，利用条件和正弦定理化简，然后基本不等式求解即可．
【详解】（1）由，由正弦定理得，
，
，
，
，
.
（2）因为，即，
又，所以，
由余弦定理得，
化简可得，解得，
所以的面积.
（3）因为为的角平分线，且，
因为，
所以，
所以，又，可得，
所以，当且仅当时，等号成立，
所以
，
当且仅当且，即时取等号，
又当时，，符合题意，
故的最小值为12.
19．(1)证明见解析
(2)，理由见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）先求出的导数，再分别计算和，通过三角函数的两角和公式展开化简，证明二者相等；
（2）先求出的导数，根据导数判断函数单调性，再结合零点存在定理确定在上的零点个数；
（3）令，再求的值，利用积化和差转换即可证明.
【详解】（1）证明：由题可得，
，
.
故.
（2），故，
，设，则，
当时，，故单调递增，
所以，故函数单调递减，，
故函数在上无零点；
当时，，
设，则，
设，则，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
且，
故存在，使，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
因为，
故，又因为，
故函数在上有1个零点.
综上所述，在区间内的零点个数为2.
（3）证明：令，
所以
，
当且仅当时，上式取得等号，但不可能成立，
所以当时，.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
D
B
C
C
A
D
A
BD
ACD
题号
11









答案
BCD