辽宁省实验中学2025-2026学年高一上学期10月月考数学试卷

这是一份辽宁省实验中学2025-2026学年高一上学期10月月考数学试卷，共8页。试卷主要包含了单项选择题.，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
考试时间：120 分钟试题满分：150 分命题人：樊本强校对人：胡瑞祥
一、单项选择题（本大题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分）.
R
1、已知全集是 R ，集合 A  x  2  x  2, B  x x  0或x  3，则 A ∩ C B  （ ）
 2,0
 2,3
0,2
 ,2∪ 3,
2、已知集合 M  x x  2k 1, k  Z, N  y y  4k 1, k  Z，则 M ∩ N  （）

B.M
C.N
D.Z
3、若“ 4a  x  a  3 ”是“  3  x  2 ”的必要不充分条件，则实数 a 的取值范围是（ ）
1  a   3
4
1  a   3
4
1  a   3
4
1  a   3
4
4、已知方程 x2  2 p 1x  p2  p  0 的两个实根为 x , x ，若 x 2  x 2  12 ，则 p （ ）
A.4
1
1或4
D.1
1212
5、已知 a  0，b  0, 且 a  b  ab ，则 2a  b 的最小值为（）
2
A.2  2
B.6
C.3  2
D.3  2
2
2
6、已知集合 A   ,1∪ 3,, B  x ax 1  0，若 A ∩ B  B ,则实数 a 的取值范围
是（）
 1 ,1
 1 
C. ,1∪ 0,
 1 ,0 ∪ 0,1


 3 
3 ,1
D.

 3



7、若关于 x 的不等式 2ax2  4x  ax  2 有且只有两个整数解，则实数 a 的取值范围是（）
2  a  1 3
2  a  1 3
2  a  1 3
2  a  1 3





8、高斯，著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称，函数 y  x称为高斯函数，其中x表示不超过实数 x 的最大整数，如1.2  1,1.2  2 ，则关于 x 的不等式 2x 1  x 2 的解集为（ ）
1,1
1,0∪  0, 1  ∪ 1
 3 
1, 1  ∪ 1

2 
2 ,1
D.2 
二、多项选择题（本大题共 3 个小题，每题 6 分，共 18 分，在每小题给出的选项中，有多
项符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分或 3 分或 4 分，有选错的得 0 分）
9、下列命题正确的为（）
cc
A. 若 a  b  0, c  0 ，则  B. 若实数 a, b 满足 a  b2 1 ，则 a  b 1
ab
ba
C. 若 a  b  0 ，则 a   b  D. 若bc2  ac2 ，则b  a
ab
10、已知实数 a, b 满足1  a  b  5,1  a  b  3 ，则下列说法正确的是（）
A.a 的取值范围为0,4
C.3a  2b 的取值范围为 6,14
B.b 的取值范围为1,3
D.2a  3b 的取值范围为1,13
11、已知正实数 a, b 满足 ab  2a  b  6 ，则下列说法正确的是（）
ab 的最大值为2
B.a  b 的最小值为2 3
2
11
C.a  2b 的最小值为3D.  的最大值为1
ab
三、填空题（本大题共 3 个小题，每小题 5 分，共 15 分）
12、命题： x  1,, x2  2x  2  0 的否定为
13、若关于 x 的不等式 x2  bx  c  1 的解集为1,2，则b  c 
14、已知 y  x  0,2x  y  xy ，则
4
2x 1
3
y  2
的最小值为
四、解答题（本大题共 5 个小题，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
2x  9
x  2

15、（13 分）已知集合 A  x

 1, B


 x  3m  4  x  2m 1
若命题 p : x  A, x  B 是真命题，求实数 m 的取值范围
若命题 q : x  A, x  B 是真命题，求实数 m 的取值范围
2x  y  17
 
16、（15 分）（1）求解方程组 
3xy2
x2  y2  2
的解集

求解方程组 y  x  1
的解集
x3  y3  98
求解方程组
x2
y  xy2
 30
的解集
17、（15 分）（1）已知x  R ，使得 ax2  ax 1  0 恒成立，求实数 a 的取值范围
（2）解关于 x 不等式 ax2  ax 1  0
18、（17 分）（1）已知c  1, M 
c , N 

，试比较 M 与 N 大小，并
c 1
c
c 1
用分析法证明
2
已知正数 x, y ，求证权方和不等式： a
x
 b2
y
a  b2
x  y
，并说明取等条件
已知 a, b  R, 求证： a4  b4  2b2  1 成立的充要条件是 a2  b2  1
19、（17 分）已知二次函数 y  ax2  bx  c
设 y  0 的解集为1,2 ，若存在 x  R ，使得不等式 x2  cx  b  4  0 成立，求实数 a 的取值集合
设 y  0 的解集为c, a，且a, b, c  4,1,1,3，求不等式cx2  bx  2a  0 的
解集
若对任意 x  R ， 2x  2  y  2x2  2x  4 恒成立，求 ab 的最大值
一、选择题
1.C2.C3.A4.B5.D6.A7.A8.D
9.BCD10.ABD11.AC
二、填空题
12.∃x ∈ (1, +∞), x2 + 2x − 2 > 0
13.-2
4
14.2√3 − 3
三、解答题
(13 分)
由题意：A = {x | 2 < x < 7} , B = {x | −3m + 4 ≤ x ≤ 2m − 1}
∀ ∈∈⊆
由 p : xA, xB 为真命题可知：AB, 故：−3m + 4 ≤ 2
(2) 由 q : ∃x ∈ A, x ∈ B 为真命题可知：A ∩ B ̸= ∅, 只需：2m − 1 > 2，即 m > 3
2m − 1 ≥ 7
解得：m ≥ 4
2
(15 分)
y = −11
(1)x = 3
(2)x = − −
1 √3
或
2
√
1+√3
x = −
2
√
2
2
y = 1− 3y = 1+ 3
1
(x + y)(x2 − xy + y2) = 98
(3)
原方程组化为：
2
(x + y)xy = −30
1
2
2
+ 3得：(x + y)3 = 8, 即：(x + y) = 2, 带入式得：xy = −15,
−−

消 y 得：x(2x) =15, 解得：x = 5
y = −3
或 x = −3
y = 5
(15 分)
∀ ∈−≥
由题意： xR, ax2 ax+10 恒成立，则：a > 0
∆ = a2 − 4a ≤ 0
解得：0 < a ≤ 4
1
当 a = 0 时，原不等式为：1 > 0，恒成立，此时解集为 R
当 a ̸= 0 时：∆ = a2 − 4a
2
当 a < 0 时：∆ = a2 − 4a > 0 恒成立，此时，方程：ax2 − ax + 1 = 0 有两根:
1
2
2a
x = 1 + √a2 −4a
x = 1 − √a2 −4a ,x < x
2
2
2a
1
2
此时：不等式解集为：( 1 + √a2 −4a , 1 − √a2 −4a )
3
当 a > 0 时：
22a22a
当 ∆ < 0, 即 0 < a < 4 时，ax2 − ax + 1 > 0 恒成立，此时，不等式解集为 R
当 ∆ = 0, 即 a = 4 时，不等式解集为：(−∞, 4) ∪ (4, +∞)
当 ∆ > 0, 即 a > 4 时，方程：ax2 − ax + 1 = 0 有两根:
1
2
2a
x = 1 + √a2 −4a
x = 1 − √a2 −4a ,x > x
2
2
2a
1
2
2
2a
2
2a
此时，不等式解集为：(−∞, 1 − √a2 −4a ) ∪ ( 1 + √a2 −4a , +∞)
综上： 1当 a < 0 时：不等式解集为：( 1 + √a2 −4a , 1 − √a2 −4a )
22a22a
当 0 ≤ a < 4 时，不等式解集为：R
当 a = 4 时，不等式解集为：(−∞, 4) ∪ (4, +∞)
2
2a
2
2a
当 a > 4 时，不等式解集为：(−∞, 1 − √a2 −4a ) ∪ ( 1 + √a2 −4a , +∞)
(17 分)
证明：M < N
⇐= √c + 1 − √c < √c − √c − 1
⇐= √ 1 √ < √ √1
√√
c+1+ cc+ c−1
√√
⇐= √c +c − 1 0 .
a
a
所以 1 + 2 = − b , 1 × 2 = c , 故 b = −3a, c = 2a ,
所以 x2 + cx + b + 4 < 0 , 即 x2 + 2ax + 4 − 3a < 0 ,
因为存在实数 x , 使得不等式成立,
所以 ∆ = 4a2 − 4 (4 − 3a) > 0 , 解得 a > 1 或 a < −4 ,
又 a > 0 , 所以 a > 1 ,
所以实数 a 的取值集合为 (1, +∞) .
{
( 2 ) 因为 ax2 + bx + c < 0 的解集为 {x | c < x < a} , {a, b, c} ⊆ {−4, −1, 1, 3} ,
所以a > 0
{
a > c ≠0
ax2 + bx + c = a (x − c) (x − a) = ax2 − a (a + c) x + a2c ,
所以b = −a (a + c)
c = a2c
a = 1
⇒ {
b = − (c + 1)
, 故 c ∈ {−1, −4},
若 c = −1 , 则 b = 0 ∈/ {−4, −1, 1, 3} , 不合题意;
若 c = −4 , 则 b = 3 , 此时 ∆ = b2 − 4ac = 9 − 4 × (−4) = 25 > 0 满足题意,综上, a = 1, b = 3, c = −4,
所以不等式 cx2 + bx − 2a < 0 , 即为 4x2 − 3x + 2 > 0
由 ∆ = 9 − 32 = −23 < 0 , 知: 不等式的解集为 R .
(3) 令 x = 1 , 则 4 ≤ a + b + c ≤ 4 , 所以 a + b + c = 4 ,
对任意 x ∈ R, 2x + 2 ≤ ax2 + bx + c 恒成立,所以 ax2 + (b − 2) x + c − 2 ≥ 0 恒成立,
所以 a > 0 ∆ = (b − 2)2 − 4a (c − 2) = (a + c − 2)2 − 4a (c − 2) = (a − c + 2)2 ≤ 0
, 所以 c = a + 2 , 此时 b = 2 − 2a,
2
当仅当 a = 1 , b = 1, c = 5 时取等号,
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
所以 ab = a (2 − 2a) = 2a (1 − a) = −2(a − 1 )2 + 1 ≤ 1 ,
此时 2x2 − 2x + 4 − ( 1 x2 + x + 5 ) = 3 x2 − 3x + 3 = 3 (x − 1)2 ≥ 0 成立;
故 ab 的最大值为 1 .